四川省泸县第五中学2023届高三三诊模拟理科数学Word版含解析.docx

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泸县五中高2020级高三三诊模拟考试理科数学试卷本试卷共4页.考试结束后,只将答题卡交回答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效.第I卷选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,若,则a的取值范围为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据,分,和三种情况讨论即可.【详解】因为,且,若,则,不符题意,若,则,与题意矛盾,若,则,由,所以,即a的取值范围为.故选:C.2.欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起,充分体现了数学的和谐美.若复数z满足,则的虚部为()AB.C.1D.【答案】B【解析】【分析】由欧拉公式和复数除法运算可求得,由复数虚部定义求得结果【详解】由欧拉公式知: ,,,的虚部为.故选:B3.2022年3月15日国家统计局发布了截止到2022年前两个月的主要经济数据,其中按消费类型分零售额同比增速折线图如图所示,下列说法中错误的是()A.2022年1-2月份,餐饮收入同比增速为8.9%B.2022年1-2月份,商品零售同比增速为6.5%C.2021年每月的餐饮收入的同比增速为正D.2021年每月的商品零售的同比增速为正【答案】C【解析】【分析】根据折线图逐一判断即可【详解】由图可知A正确;由图可知B正确;对于C,由图可知2021年8月,11月同比增速为负,故C错误;由图可知,D正确故选:C4.在等比数列中,已知,则等于()A.128B.64C.64或D.128或【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可得,求出的值,再结合条件求出公比,进而即得.【详解】由等比数列的性质可得, ∴或,设数列的公比为,因为,当时,,即,则;当时,,即,则.故选:D.5.设函数,则()A.2B.-2C.D.【答案】A【解析】【分析】先计算,再计算.【详解】,∴.故选:A.【点睛】本题考查分段函数,分段函数求函数值时分类计算,根据自变量的取值范围选取不同的表达式计算.6.在边长为2的正六边形中,()A.-6B.C.D.6【答案】A【解析】【分析】结合正六边形的性质、向量数量积的运算求得.【详解】如图,因为正六边形的边长为2,,,所以 .故选:A7.元宵节是中国传统佳节,放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动.某社区计划举办元宵节找花灯活动,准备在个不同的地方悬挂盏不同的花灯,其中盏是人物灯.现要求这个地方都有灯(同一地方的花灯不考虑位置的差别),且人物灯不能挂在同一个地方,则不同的悬挂方法种数有()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意,分步分析,第一步将盏不同的灯分为组,要求两盏人物灯不在同一组,第二步将分好的三组全排列,安排到个不同的地方,由分步计数原理可得答案.【详解】解:根据题意,分步分析:①将盏不同的灯分为组,要求两盏人物灯不在同一组,若分为、、的三组,有种分组方法,若分为、、的三组,有种分组方法,则有种分组方法,②将分好的三组全排列,安排到个不同的地方,有种情况,则有种安排方法,故选:A.8.将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,给出下列关于的结论: ①它的图象关于直线对称;②它的最小正周期为③它的图象关于点对称;④它在上单调递增.其中所有正确结论的编号是()A.①②B.②③C.①②④D.②③④【答案】B【解析】【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的图象和性质,得出结论.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.令,求得,不是最值,故的图象不关于直线对称,故①不正确;它的最小正周期为,故②正确;当时,,故的图象关于点对称,故③正确;在上,,没有单调性,故④错误,故选:B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换,考查三角函数的对称性、周期性和单调性,属于基础题.9.已知,O是坐标原点,的坐标满足,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用已知条件得到的式子,画出可行域,利用表示的几何意义是点 到可行域内的点的距离的平方,代入求解即可得出结果.【详解】,,故.二元一次不等式组对应的可行域如图所示:因为表示的几何意义是点到可行域内的点的距离的平方,而到可行域内的点的距离的最小值为,故的最小值为,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查了利用线性规划求最值的问题.属于中档题.10.如图,已知AB是圆柱底面圆的一条直径,OP是圆柱的一条母线,C为底面圆上一点,且,,则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为() A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据圆柱的特征,以为原点建立空间直角坐标系,根据题意可得,,,利用向量法即可求出答案.【详解】解:因为AB是圆柱底面圆的一条直径,所以,又OP是圆柱的一条母线,如图,以为原点建立空间直角坐标系,因,所以,,又因,所以,所以,即,设,则,则,则,设平面PAB的法向量为,则有,可取,则, 所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.故选:A.11.已知△ABC的三边分别为a,b,c,若满足a2+b2+2c2=8,则△ABC面积的最大值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据a2+b2+2c2=8,得到,由余弦定理得到,由正弦定理得到,两式平方相加得,而,两式结合有,再用基本不等式求解.【详解】因为a2+b2+2c2=8,所以,由余弦定理得,即①由正弦定理得,即②由①,②平方相加得,所以, 即,所以,当且仅当且即时,取等号.故选:B【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.12.过双曲线(,)的右焦点作直线的垂线,垂足为,交双曲线的左支于点,若,则该双曲线的离心率为A.B.2C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析:设双曲线的右焦点的坐标,由于直线与直线垂直,所以直线方程为,联立,求出点,由已知,得点,把点坐标代入方程,,整理得,故离心率,选C.考点:1.双曲线的简单几何性质;2.平面向量的坐标运算.第II卷非选择题(90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知单位向量,的夹角为,则______.【答案】【解析】【分析】根据已知得出,然后根据数量积的运算律得出,开方即可得出答案.【详解】由已知可得,, 所以,,所以,.故答案为:.14.在二项式的展开式中,的系数为______.【答案】189【解析】【分析】求出二项式的展开式的通项,令的指数为9,即可求出.【详解】可得二项式的展开式的通项为.令,解得,所以的系数为.故答案为:189.15.已知直线与圆相交于,两点,且为等腰直角三角形,则实数的值为______【答案】1或-1【解析】【详解】因为△ABC是等腰直角三角形,所以圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d=rsin45°=,即,所以a=±1.16.已知,不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】令,可将不等式变形为,然后由的单调性可得,然后可得,然后求出右边的最小值即可.【详解】不等式对任意的恒成立,令,则,所以不等式等价于对恒成立, 变形可得不等式对恒成立,令,,则不等式等价于对恒成立,,当时,,故单调递增,所以不等式转化为对恒成立,即对恒成立,令,所以,令,解得,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,所以当时,取得最小值,所以,又,所以实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】关键点睛:解答本题的关键是观察原不等式的特点,将其变形为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.,,分别为锐角内角A,,的对边.已知.(1)求;(2)若,试问的值是否可能为5?若可能,求的周长;若不可能,请说明理由.【答案】(1);(2)不可能,理由见解析.【解析】【分析】(1)由正弦定理化角为边,再由余弦定理即可求出;(2)由余弦定理得出,得出为钝角,与已知矛盾.【详解】解:(1)因为,由正弦定理可得,即. 再由余弦定理得,所以因为,所以.(2)假设,则由余弦定理,得,所以,所以为钝角,这与为锐角三角形矛盾,故的值不可能为5.18.如图所示,在四棱锥中,,,,且,.(1)平面;(2)在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为?如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)见证明(2)见解析【解析】分析】(1)推导出AB⊥AC,AP⊥AC,AB⊥PC,从而AB⊥平面PAC,进而PA⊥AB,由此能证明PA⊥平面ABCD;(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出在线段PD上,存在一点M,使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°,4﹣2.【详解】(1)∵在底面中,,且∴,∴ 又∵,,平面,平面∴平面又∵平面∴∵,∴又∵,,平面,平面∴平面(2)方法一:在线段上取点,使则又由(1)得平面∴平面又∵平面∴作于又∵,平面,平面∴平面又∵平面∴又∵∴是二面角的一个平面角设则,这样,二面角的大小为即即∴满足要求的点存在,且方法二:取的中点,则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由(1)知是平面的一个法向量设则,∴, 设是平面的一个法向量则∴令,则,它背向二面角又∵平面的法向量,它指向二面角这样,二面角的大小为即即∴满足要求的点存在,且【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查满足二面角的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.19.某市为提升农民年收入,更好地实现2021年扶贫的工作计划,统计了2020年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图: (1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同组数据用该组数据区间的中点值表示);(2)由频率分布直方图,可以认为该市农民年收入服从正态分布,其中近似为年平均收入,近似为样本方差,经计算得,利用该正态分布,求:(ⅰ)在扶贫攻坚工作中,若使该市约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于该市制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?(ⅱ)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,该市随机走访了1000位农民,若每位农民的年收入互相独立,问:这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?附参考数据:,随机变量服从正态分布,则,,.【答案】(1)17.40千元;(2)(ⅰ)14.77千元;(ⅱ)978人.【解析】【分析】(1)根据平均数等于各小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标的和,即可求出;(2)(ⅰ)由题意可知,,即可根据原则以及正态曲线的对称性求出;(ⅱ)由原则以及正态曲线的对称性可知,每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773,设1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为,则,于是,判断的单调性求出最大值,即可解出.【详解】(1)千元,故估计50位农民的年平均收入为17.40千元,(2)由题意知(ⅰ),所以时,满足题意,即最低年收入大约为14.77.(ⅱ)由,每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773, 记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为,则,其中,于是恰好有个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为,从而由,得,而,所以,当时,,当时,,由此可知,在所走访的1000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.20.已知椭圆的离心率,过右焦点的直线与椭圆交于,两点,在第一象限,且.(1)求椭圆的方程;(2)在轴上是否存在点,满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点,,都有为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)存在点,满足为定值..【解析】【分析】(1)根据题意得出,及,直线与椭圆联立解出即可得出椭圆方程;(2)设出直线方程(要分类讨论),联立直线与椭圆,将向量的数量积用的形式表示,再利用韦达定理整理并分析出得到定值的条件即可求解.【详解】(1)由,及,得,设椭圆方程为 ,联立方程组得.则,所以.所以.所以椭圆的方程为.(2)当直线不与轴重合时,设,联立方程组得.设,,,则有,.于是,若为定值,则有,得,.此时:当直线与轴重合时,,,也有.综上,存在点,满足为定值.【点睛】方法点睛:解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤:(1)得出直线方程,设交点为,;(2)联立直线与曲线方程,得到关于(或)的一元二次方程;(3)写出韦达定理;(4)将所求问题或题中关系转化为(或)形式;(5)代入韦达定理求解.21.已知函数.(1)求的解析式及单调区间;(2)若存在实数,使得成立,求整数的最小值. 【答案】(1);单调递增区间为,单调递减区间为;(2)0.【解析】【分析】(1)首先求函数导数,并赋值,求函数的解析式,并利用导数求函数的单调区间;(2)由题意转化为,设函数,利用导数求函数的最小值,根据求的最小值.【详解】(1),令,得.令,得.则,,且在上单调递增,,且当时,;当时,,则,且单调递增区间为,单调递减区间为.(2)因为,所以.令,则,易知在上单调递增.又,,则存在唯一的,使得,且当时,;当时,,则函数在上单调递减,在上单调递增,所以.又,,即,则.因为,所以.因为存在实数,使得成立, 所以,又,则整数的最小值为0.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质以及根据不等式能成立,求参数的取值范围,重点考查逻辑推理能力,计算能力,属于中档题型,本题的第二问的关键是根据零点存在性定理,确定极小值点的范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.(选修4-4极坐标与参数方程)22.在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)将曲线和直线化为直角坐标方程;(2)过原点引一条射线,分别交曲线和直线于,两点,射线上另有一点满足,求点的轨迹方程.【答案】(1),(2)(去掉)【解析】【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换(2)利用极径的应用建立等量关系,进一步求出直角坐标方程【小问1详解】由C的参数方程:,∴C:,由得∴.【小问2详解】设,, 则,,即,由得即,∴即,∵∴M的轨迹方程为(去掉).(选修4-5不等式选讲)23.已知正数m,n,p满足.(Ⅰ)比较与大小关系,并说明理由;(Ⅱ)若,求p的最大值.【答案】(Ⅰ).理由见解析;(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)根据条件,利用基本不等式,可知,由绝对值三角不等式,可知,进一步得到;(Ⅱ)由,可知,然后由,利用基本不等式求出的最小值,再求出p的最大值.【详解】解(Ⅰ)∵,,∴,当且仅当时等号成立,∴.∵, ∴.(Ⅱ)∵,∴,即,∴,当且仅当时等号成立,∵,∴,∴,∴p的最大值是.

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