四川省资中县第二中学2022-2023学年高二上学期开学考试理科数学Word版含解析.docx

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资中二中开学考试数学试卷一、单选题1.已知向量，，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的表示直接列式求解即可.【详解】解：因为，，所以，解得故选：B2.已知实数，，若是与的等比中项，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先根据等比中项的性质得到，从而得到，再利用基本不等式求最值即可.【详解】因为是与的等比中项，所以，即，.所以，当且仅当，即，时取等号.所以最小值为.故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，同时考查了等比中项的性质，属于简单题. 3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A.B.C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的坐标表示以及向量投影的定义即可求解.【详解】因为向量，，所以，，所以向量在向量方向上的投影为，故选：A.4.如图，在中，为线段上一点，，为的中点．若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面图形的性质以及平面向量的基本定理和线性运算，对应系数相等即可求出的值，进而求出结果.【详解】因为为线段上一点，，所以，且为的中点，所以，又因为，因此，所以，故选：C.5.在，角，，对边分别为，，，向量，，若，则（） AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量共线的坐标关系得，进而根据余弦定理求解即可得答案.【详解】解：因为向量，，，所以，即，所以由余弦定理得，因为，所以故选：B6.若，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合已知条件，利用做差法逐项证明即可.【详解】A：因为，所以，所以，故A错误；B：因为，因为，所以，所以，即，故B错误；C：因为，因为，所以，所以，即，故C错误；D：因为，因为，所以，所以，即，故D正确；故选：D. 7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，代入即可求解.【详解】因为，由.故选：D.8.在中，已知，且，则的形状是（）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】B【解析】【分析】根据正弦的边角互化可得，即从而可得，再由正弦定理的边角互化可得，即求.【详解】，则，.,为等腰直角三角形.故选：B9.已知等比数列的前项和为，若，则（）A.B.C.3D.【答案】A 【解析】【分析】由已知条件结合等比数列的前项和公式即可求出，进而可以求出结果.【详解】因为，显然，则，即，所以，故选：A10.已知圆内切的三边，，分别于，，，且，则角（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设的内切圆半径为，利用向量数量积的运算性质可得，进而可得，即可求角.【详解】因为圆为的内切圆，设其半径为，由可得，两边同时平方可得：，即，因为，即所以， 所以，所以，所以，所以，故选：C.11.已知等差数列的前项和为，且满足，令，则数列的前项和取最大值时的值为（）A.12B.13C.14D.15【答案】C【解析】【分析】由可得，，结合等差数列的性质，求出的最大值时n的值.【详解】解：由可得：，即，，，等差数列是的递减数列，且，又，∴最大，故，故选：C12.已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为.A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.【详解】因为，所以，即， 令，可得，于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.二、填空题13.已知向量与的夹角为，且，则___________．【答案】【解析】【分析】通过平方将所求向量的模转化为数量运算，再通过运算即可得出答案.【详解】由题意得，，代入计算，得原式，故答案为:14.______．【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦公式可求得结果.【详解】.故答案为：.15.若实数满足则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】首先画出可行域，再根据中的几何意义求最小值. 【详解】根据满足的条件画出图形是以三点，，为顶点的三角形及其内部，当直线过点时，取得最小值，所以的最小值是．故答案为：16.等差数列的前项和为，若，公差，有以下结论：①若，则必有；②若，，则；③若，则必有；④若，则必有．其中所有正确结论的序号为______．【答案】①②④【解析】【分析】求出的范围由得，可判断①；由、，得，则，可判断②；由得，可判断③；若，得，讨论、可判断④.【详解】等差数列的前项和为，若，公差，有以下结论：①若，，即，，正确； ②若得，且，得，则，因为，所以，得，所以正确；③若，则，得，因为，所以，，，则大小不确定，错误；④若，得，，若，则，则，则，若，，则，则，则，综上，正确；故答案为：①②④.三、解答题17.已知关于的不等式，（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将代入不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解. （2）根据关于的不等式的解集为．又因为，利用判别式法求解.【详解】（1）将代入不等式，可得，即所以和1是方程的两个实数根，所以不等式的解集为即不等式的解集为．（2）因为关于的不等式的解集为．因为所以，解得，故的取值范围为．18.已知等差数列的前项和为，且，．（1）求；（2）设数列前项和为，求证：．【答案】（1）;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知条件列出方程组即可得出答案；（2）结合（1）中的通项公式，利用裂项相消法求出数列和，然后利用放缩法即可得出答案.【详解】（1）设公差为，由题，解得，．所以．（2）由（1），，则有．则． 所以．19.在中，内角的对边分别为且．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）解法①:先将题中所给分式化为整式形式，再通过正弦定理进行“边化角”，通过化简得出答案;解法②:先将题中所给分式化为整式形式，再运用解三角形中的二级结论转化即可得出答案;（2）结合余弦定理与基本不等式得出最大值，再运用三角形面积公式即可.【详解】（1）解法①:由题得，根据正弦定理，有，所以，所以，即．因为，所以，则，又，所以解法②:由题得，即有，所以，则，又，所以．（2）由（1）知，又，根据余弦定理，有，所以，当且仅当时取等号，则的面积．所以，的面积的最大值为．20.设，现给出以下三个条件： ①2，，成等差数列；②，；③，，．从以上三个条件中任选一个，补充在答题卡和本题下面相应的横线上，再作答．已知数列的前项和为，且______．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】答案见解析.【解析】【分析】（1）若选择①：由与前项和的关系即可求出通项公式；若选择②，由前项和的递推公式可以证得是首项为2，公比为2的等比数列，进而可以求出通项公式；若选择③：由递推公式证得是首项为2，公比为2的等比数列，所进而可以求出通项公式；（2）由（1）求出的通项公式，然后利用错位相减法即可求出结果.【详解】（1）若选择①：由2，，成等差数列，得，当时，由，得．当时，由，，两式相减得，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式为．若选择②，由，，两式相减得，又因为，，则，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式为．若选择③：由，得． 因为，则，故有．所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，所以．所以，①则，②由①②等式两边相减，得，所以．21.如图，在中，角的对边分别为，已知，且．（1）求角；（2）若为边上的一点，且，，，求的长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先由三角变换对题干中的等式进行化简，可得，在三角形中所以即可得解；（2）在中利用余弦定理可得，在中由正弦定理即可得解.【详解】（1）因为， 所以即，由两角和与差的余弦公式得，，又因为在中，，所以，又因为，所以（2）在中，由余弦定理得，又因为，则，即，在中，由正弦定理得，，即22.已知数列和满足，且对任意的，，.（1）求，及数列的通项公式；（2）记，，求证：，.【答案】（1）；；.；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据递推关系，，得 ，再利用等比数列通项公式，即可得答案；（2）求出，再利用错位相减法求和，进行不等式的证明；【详解】（1）根据，，得，根据，得，即，故，.同理可得，，.根据，，得，即.又，故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.所以.（2）由（1）知，.当时，，成立；当时，根据，得：.令①则②①-②得：.所以.所以，当时，.又， 所以，当时，综上所述，对任意，恒有.【点睛】本题考查等比数列通项公式求解、错位相减法求和、不等式的证明，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.