重庆市育才中学校2023届高三下学期开学考试数学Word版含解析.docx

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重庆市育才中学高2023届高三（下）开学考试数学试题本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ试卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上.2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡收回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由对数函数定义域的求解可求得集合，由交集定义可得结果.【详解】，，.故选：B.2.若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（）A.的共轭复数为B.C.的虚部为D.在复平面内是第三象限的点【答案】B【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义、复数模的公式、复数虚部的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.【详解】因为，所以的共轭复数为；； 的虚部为；在复平面内对应点的坐标为，它在第四象限，故选：B3.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的正负进行综合判断.【详解】因为，所以为奇函数，故排除A选项；因为时，令，即，所以，故，排除B、D选项.故选：C.4.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为2cm的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：cm2）（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】截去8个四面体后，还剩6个正方形，8个正三角形，只需求出对应面边长，即可求解【详解】设截去8个四面体后，该几何体棱长为，则有，此时，该几何体表面由8个正三角形和6个正方形构成，6个正方形的面积为：，8个正三角形面积为：，故该饰品的表面积为故选：A5.在数列中，已知对任意正整数，有，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用作差法及等比数列的通项公式，结合等比数列的求和公式即可求解.【详解】当时，由，得，所以.当时，，也满足合上式.所以数列的通项公式为.所以. 所以数列是等比数列，首项为，公比为，所以.故选：D.6.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，则可得他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率．【详解】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.已知函数对任意都有，且当时，，则（）A.2B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】由可得函数周期为4，后利用函数周期性结合当时， 可得答案.【详解】因对任意，，则，即函数周期为4.因，则.又由，令，可得，则.故选：D8.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出点坐标以及直线的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出的三边长度，从而周长可求.【详解】如下图所示：因为，所以，所以，所以，又因为，所以，即，又，所以，所以或，所以，所以，所以，又因为，，，所以的周长为：， 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数图象，则（）A.是函数的一个解析式B.直线是函数图象的一条对称轴C.函数是周期为的奇函数D.函数的递减区间为【答案】BD【解析】【分析】先求出的解析式，对四个选项一一验证：对于A：直接利用解析式验证；对于B：直接求出对称轴方程进行验证；对于C：利用奇函数的定义进行否定； 对于D：直接求出函数的递减区间.【详解】由函数的图象向左平移个单位长度得到函数图象，所以.对于A：，故A错误；对于B：，要求的对称轴，只需令，当k=1时，解得：，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；对于C：，因为，所以函数不是奇函数，故C错误；对于D：要求函数的递减区间，只需，解得：，即函数的递减区间为，故D正确.故选：BD10.对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据则下列结论正确的是（）A.若求得的经验回归方程为，则变量和之间具有正的线性相关关系B.若这组样本数据分别是，则其经验回归方程必过点C.若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为，则模型1的拟合效果更好D.若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3的相关指数，回归模型4的相关指数，则模型4的拟合效果更好【答案】ACD【解析】 【分析】由回归分析逐一判断求解即可【详解】对于A：因为回归方程为，，所以变量和之间具有正的线性相关关系，故A正确；对于B：样本数据的样本中心点为，且经验回归方程必过样本中心点，但不是样本中心点，故B错误；对于C：因为残差平方和越小的模型，其拟合效果越好，故C正确；对于D：相关指数越接近1，说明关系越强，拟合效果越好，D正确；故选：ACD11.已知，，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用已知的等式，将其进行变形，利用基本不等式对选项逐一分析判断即可．【详解】对于A，因为，，所以，故，当且仅时取等号，此时，故选项A正确；对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，解得，则，故选项B错误；对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，故选项C正确；对于D，因为，所以，所以，因为，，所以， 所以，当且仅当时取等号，故，故选项D正确．故选：ACD．12.关于函数，下列说法正确的是（）A.是的极小值点B.不存在正整数，使得恒成立C.函数有2个零点D.对任意两个正实数，且，若，则【答案】ABD【解析】【分析】A选项，通过导数求解单调区间，验证即可；B选项，将恒成立转化为恒成立，利用导数知识判断有无最小值即可；C选项，利用导数判断函数单调性结合零点存在性定理可判断选项正误；D选项，将判断选项正误转化为证明若，则，后通过函数单调性可证明结论.【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的导数，∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，∴是的极小值点，故A正确；对于B选项，若，可得，令，则，令，则，∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，∴，∴， ∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，故B正确；对于C选项，，∴，∴函数在上单调递减，又∵，，∴函数有且只有1个零点，故C错误；对于D选项，由，，结合A选项可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以，即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常转化为求解相关函数的最值；对于零点问题，常利用数形结合思想，或单调性结合零点存在性定理进行处理；对于双变量问题，常见处理手段为利用题目条件将双变量变为单变量问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若非零向量、，满足，，则与的夹角为___________.【答案】##【解析】 【分析】设与的夹角为，根据，，由数量积的定义和运算律求解.【详解】解：设与的夹角为，因为，，所以，所以，因为，所以，故答案为：14.二项展开式，则___________.【答案】【解析】【分析】等式的两边同时求导数得到，令，即可求解.【详解】因为，等式的两边同时求导数，可得，令，可得.故答案为：15.双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.【答案】【解析】【分析】根据切线长定理求出MF1﹣MF2，即可得出a，从而得出双曲线的离心率． 【详解】设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，故而a＝PQ，又c＝2，∴双曲线的离心率为e．故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键．16.已知侧棱长为的正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，当该棱锥体积最大时，底面的边长为______，此时球的表面积为______.【答案】①.2②.【解析】【分析】正四棱柱底面为正方形，侧棱长相等为，表示出底面边长，以及正四棱柱的体积，利用导函数求出当时，体积最大，得底面边长，再在中，求出球的半径，进而求出表面积.【详解】如图，,设四棱锥体积最大时高为， 则，，,，，当时，体积最大，即，则，,设外接球半径为R，则中，,解得,球的表面积为.故答案为：（1）2；（2）.【点睛】充分利用正四面体的几何特点，以及和外接球的关系，利用导函数求最大值.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角所对的边分别为.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的最大值.【答案】（1）或或（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理，二倍角公式解决；（2）利用正弦定理转化为三角函数最值问题.【小问1详解】由得，，或，所以或或； 【小问2详解】由为锐角三角形，，根据正弦定理,所以,其中为锐角，.所以当即时，有最大值1所以的最大值为.18.新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位.明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战.当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表.竞赛成绩人数61218341686（1）从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，2【解析】 【分析】（1）根据题意可得获奖情况，再根据组合数的计算与概率公式求解即可；（2）由正态分布的性质可得随机变量，再列出分布列求解数学期望即可.【小问1详解】由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人，则70人没有获奖，所以从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率为.【小问2详解】因为该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，所以，所以，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上概率为，所以随机变量，所以（，1，2，3，4），所以，，，，，所以的分布列为01234P所以.19.设为正数数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前99项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由与的混合式消去得到的递推式，从而证明为等差数列并求得公差，再由原式求得首项，即可求得数列的通项公式；（2）根据的周期性分组求和，各组求和后再累加即可.【小问1详解】,,两式相减，化简得，又,所以,所以数列为等差数列，在中令得，因此数列的通项公式为；【小问2详解】由的周期为3，，，因此.20.如图，在梯形中，AB，四边形为矩形，且平面 .（1）求证：平面平面；（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【答案】（1）证明见解析（2）点M在到E的距离为的位置【解析】【分析】（1）通过证明AC⊥BC，AC⊥CF，可得AC⊥平面BCF，结合ACEF可证明结论；（2）由（1）如图建立以点C为坐标原点，CA、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴的空间直角坐标系，设点M(t，0，1)，其中，分别求出平面与平面法向量，利用平面与平面所成锐二面角的余弦值为可得答案.【小问1详解】证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD为等腰梯形，因为，则，所以又因为，则，∴AC⊥BC，因为CF⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥CF.又∵平面BCF，，∴AC⊥平面BCF，因四边形ACFE为矩形，AC∥EF，则EF⊥平面BCF，EF在平面EFD内，因此，平面EFD⊥平面BCF；【小问2详解】因为CF⊥平面ABCD，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 在直角三角形中，因则A(，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(，0，1)，设点M(t，0，1)，其中.设平面MAB的法向量为，则，.则，取，可得.又由题易知平面FCB的一个法向量为则，得或（舍去），所以，即点M在到E的距离为的位置.21.如图所示，已知在椭圆上，圆，圆在椭圆内部.（1）求的取值范围；（2）过作圆的两条切线分别交椭圆于点（不同于），直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）（2）过定点，【解析】【分析】（1）根据点在圆外的性质，结合二次函数的最值进行求解即可；（2）设出圆的切线方程，根据圆切线的性质，一元二次方程根与系数关系、直线与椭圆的相交关系进行求解即可.【小问1详解】由题意，故椭圆方，设为椭圆上的一动点，由于圆在椭圆内部，则恒成立，即对任意恒成立，令，，则，于是有；【小问2详解】设，，，（由（1）斜率都存在），由于两直线均与圆C相切，则，则为方程的两根，由韦达定理可知， 设，由韦达定理可知，由.则.故过定点.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据两直线均与圆C相切，得到两条切线的斜率之间的关系.22.已知且.（1）试讨论函数的单调性；（2）当时，若有三个零点.①求的范围；②设，求证：.【答案】（1）答案见解析（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）去绝对值符号，再分和两种情况讨论即可得解；（2）①，有三个零点有三个不同的实根，，构造函数，易得函数为奇函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解；②由①可得，则要证，只需证明：，结合整理即可得证. 【小问1详解】注意，，则，令，当时，时，，时，，此时无解，故当时，在，上单点递减，在上单调递增，当时，时，，此时无解，时，，故当时，在，上单点递减，在上单调递增，综上所述，当时，在，上单点递减，在上单调递增；当时，在，上单点递减，在上单调递增；【小问2详解】①，有三个零点有三个不同的实根， ，令，因为，所以为奇函数，当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，单调递减，又当时，，当时，且，，如图，作出函数的大致图象：因为有三零点，且，则；②由①可得，则，则要证，只需证明：，由于，则有，所以.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1 ）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；