重庆市北碚区西南大学附属中学校2023届高三（拔尖强基班）下学期期中数学Word版含解析.docx

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2023年高三拔尖强基定时期中质检数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时150分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合,，则下列结论正确的是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，再根据集合的交集运算，并集运算以及元素与集合的关系即可解出．【详解】因为，，显然，，，所以．故选：C.2.如果复数是纯虚数，则实数值为（）A.0B.2C.0或3D.2或3【答案】A【解析】【分析】由纯虚数的概念求得值，注意虚部不能为0．【详解】根据纯虚数概念可知:且，解，得或；当时，符合题意， 当时，（舍），所以.故选：A.3.若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④.其中是“理想函数”的序号是A.①②B.②③C.②④D.③④【答案】C【解析】【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．【详解】解：函数同时满足①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”，“理想函数”既是奇函数，又是减函数，①是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；②是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；③是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．④是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．故选【点睛】本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．4.已知函数为偶函数，定义域为R，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据导函数小于0，得到偶函数在上单调递减，从而对不等式变形后得到，解出解集.【详解】因为当时，，故偶函数在上单调递减，故变形为：，所以，显然不满足不等式，解得：，故.故选：B5.石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（）A.3：2B.5：4C.5：3D.4：3【答案】B【解析】【分析】绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，列出方程即可求解.【详解】由题意知，；故选：B.6.已知等差数列的首项，而，则（）A.0B.2C.-1D. 【答案】A【解析】【分析】由，代入即可化简求值.【详解】等差数列的首项，，则.故选：A7.已知，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数及幂函数的单调性比较的大小，分别比较与的大小即可得的大小，从而得答案.【详解】解：因为在R上为单调递减函数，所以，又因为在上为单调递增函数，所以，即，所以，即，又因为，又因为，，即有所以，即， 所以，即，综上所述：.故选：A.8.四面体的各个顶点都在球的表面上，两两垂直，且是线段上一点，且，过作四面体外接球的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】把四面体放到长方体中，根据球的几何性质进行求解即可.【详解】设所得截面圆的面积为，半径为，由两两垂直可将四面体放入长方体中，如图所示，易得外接球半径，过作球的截面，所得截面圆的面积最大时为过球心的圆面，；所得截面圆的面积最小时为与最大截面垂直的圆面.在内，，所以，所以，所以，即，所以.故选A.【点睛】关键点睛：利用长方体和球的几何性质是解题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.为函数的一个周期B.是曲线的一个对称中心C.若函数在区间上单调递增，则实数的最大值为D.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象【答案】ABD【解析】【分析】根据周期函数的定义判断A，根据正弦函数的性质判断B，C，根据函数图象变换结论及偶函数定义判断D.【详解】对于选项：由已知可得，所以，所以为函数的一个周期，故A正确；对于选项B：令，解得，当时，，所以点是曲线的一个对称中心，故B正确；对于选项C：由，得，令，得，因为在区间上单调递增，所以实数的最大值为，故C错误；对于选项D：将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，因为，所以函数为偶函数，故D正确.故选：ABD. 10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，下列说法正确的有（）A.线段长度的最小值为B.过点与抛物线只有一个交点的直线有两条C.直线交抛物线的准线于点，则直线平行轴D.可能为直角三角形【答案】AC【解析】【分析】设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论；利用抛物线焦点弦长公式可求得，知A正确；分别讨论斜率不存在、斜率为零和斜率不为零的情况，结合抛物线切线的求法可确定B错误；直线，由此可得，由斜率公式可化简得到，知C正确；由向量数量积坐标运算可知，知D错误.【详解】由抛物线方程知：，；由题意知：直线斜率不为零，则可设，，，由得：，，，，，对于A，，则当，即轴时，取得最小值，A正确；对于B，当过直线斜率不存在，即为时，其与抛物线交于点；当过直线斜率为零，即为时，其与抛物线交于点；设过的抛物线的斜率存在的切线为，由得：，，解得：，直线与抛物线相切； 综上所述：过点且与抛物线只有一个交点的直线有三条，B错误；对于C，直线，则，，则直线平行于轴，C正确；对于D，若为直角三角形，则，，不成立，即不能为直角三角形，D错误.故选：AC.11.已知A（4，2），B（0，4），圆，P为圆C上的动点，下列结论正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最小值为D.最大时，【答案】AC【解析】【分析】A.利用数形结合，转化为三点共线，即可求解；B.首先取AB的中点为D，转化向量，,再结合点与圆的位置关系，即可求解；C.利用直线与圆相切，即可求的最小值；D.利用数形结合判断当最大时，直线与圆相切，即可求.【详解】对于A，，A正确.对于B，记AB的中点为D，, ，故B错误；对于C，令，当直线与圆C相切时，b取到最值，令，，所以最小值为，故C正确.对于D，当PB与圆C相切时，最大，此时，故D错误.故选：AC12.已知，，，，则有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】令，，求导可求得的单调性，利用极值点偏移的求解方法可求得AB正误；由，可确定，结合单调性可得CD正误. 【详解】令，，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，且；若，则，令，则，当时，，，在上恒成立，在上单调递减，，即，又，，，，，，在上单调递增，，即，A错误；，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，且；由得：；设，， 则；当时，，，在上单调递减，，即，又，，又，，，，在上单调递增，，即，B正确；，，，，又，，在上单调递减，，则，C正确；，又，，在上单调递增，，则，D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题考查了导数中的极值点偏移问题，处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，直三棱柱，，，侧棱长为，点是侧面内一点．当最大时，过、、三点的截面面积的最小值为______．【答案】3【解析】【分析】设由余弦定理结合均值不等式可得当且仅当时，取得最大值，得到此时三棱柱是正三棱柱，过点作,连接，可得过、、三点的截面即为平面，由，求出最小值，即可得到答案.【详解】在中，设，,，由余弦定理可得：，即，即，由,则（当且仅当时等号成立），所以，所以即（当且仅当时等号成立），即当时，取得最大值4.此时三棱柱是正三棱柱，过点作,则,连接，过、、三点的截面即为平面.，由三棱柱为直三棱柱，则平面，所以,由，则， 所以四边形为矩形，则，当最小时，最小.当平面时，即，最小.此时，所以最小值为，故答案为：3.14.若函数y＝sinωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________.【答案】[－4,0)【解析】【分析】根据题意可得，函数在区间，上单调递增，可得，由此求得的范围．【详解】解：函数在区间，上单调递减，当时，这不可能．，函数在区间，上单调递减，故函数在区间，上单调递增，，求得，故答案为：，．15.已知直线是函数与函数的公切线，若是直线 与函数相切的切点，则____________．【答案】【解析】【分析】求出导函数，，由得切线方程，设图象上的切点为，由导数几何意义得切线方程，两直线重合求得，从而得值．【详解】，，又，所以切线的方程为，即，设直线与相切的切点为，，所以切线方程为，即，所以，解得，所以．故答案为：．16.已知的三个内角所对的边分别为，且，则面积的最大值是________；若分别为的内切圆和外接圆半径，则的范围为_________________．【答案】①.；②..【解析】【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出，再表示出，再利用可得答案；对于第二空，利用可得答案.【详解】因在三角形中，则由三角形三边关系可得，又利用余弦定理有： ，又，则.得，当且仅当，即时取等号.则面积最大值是；对于第二空，因，则，又，则，因，则.令，其中，因，则在上单调递增，故，得.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）若，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用数列通项与前n项和的关系可得，，当时 ，再利用等比数列的定义证明；（2）由（1）得，进而得到，再利用等比数列前n项和公式求解.【小问1详解】由，得①，当时，，所以，即，当时，②，①-②整理得，所以，所以数列是以9为首项，3为公比等比数列；【小问2详解】由（1）可知，所以，即，所以.18.已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.（1）求；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量共线列出等式，用正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求得角；（2）由面积公式解出的值，再由余弦定理解得的值.【小问1详解】向量与向量共线，有，由正弦定理得， ∴，由，sinB>0，∴，，又，∴.【小问2详解】由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.19.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若侧面是正方形，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点为，由题可得，然后利用线面平行的判定定理即得；（2）利用坐标法，求出平面的法向量，然后根据线面角的向量求法即得.【小问1详解】取中点为，连接， 因为点分别为的中点，故，，又点为的中点，且四边形为矩形，故，，故，，故四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面；【小问2详解】因为为正方形，故可得，又因为平面平面，且平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以，又，，如图建立空间直角坐标系， 则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，设与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.20.北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3 个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望：（3）至少要进行11轮测试【解析】【分析】(1)根据已知条件结合条件概率的概率公式求解；(2)的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，从而可求得的分布列和数学期望；(3)根据题意，结合二项分布的概率公式求解【小问1详解】由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件，则，，所以，.【小问2详解】参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为，所以，，，，所以的分布列如下表：0123 所以【小问3详解】记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件，则，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试21.已知点和直线：，直线过直线上的动点M且与直线垂直，线段的垂直平分线l与直线相交于点P．（1）求点P轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与C交于两点．若C上恰好存在三个点，使得的面积等于，求l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义可判断东点轨迹为抛物线，即而求得抛物线方程；（2）设l的方程为，作与l平行且与C相切的直线，切点为D,表示出切点D的坐标，联立方程，求出弦长，利用三角形的面积可求得k的值，说明符合题意，C上恰好存在三个点，使得的面积等于，即得答案.【小问1详解】连接PF，因为MF的垂直平分线l交于点P，所以， 即点P到定点的距离等于点P到直线：的距离，由抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线,即点P轨迹C的方程为.【小问2详解】如图，作与l平行且与C相切的直线，切点为D,由题知的面积等于．由题意知直线l的斜率一定存在，设l的方程为，方程可化为，则，设，令，解得，将代入，得，故，所以D到l的距离，由，消去y，得，，从而，， 所以，故的面积，从而，解得或，此时或为使得的面积等于的一个点，那么在直线l的上方必然也存在着一条直线和l平行，和l的距离为，这条直线与抛物线有两个交点也使得的面积等于，即此时C上恰好存在三个点，使得的面积等于，所以l的方程为或．【点睛】关键点点睛：要满足C上恰好存在三个点，使得面积等于，关键在于找到使得面积等于时，和直线l平行且和抛物线相切的那条直线，即表示出切点坐标，从而表示出三角形的高，进而利用面积求得答案.22.已知函数，．（1）证明：存在唯一零点；（2）设，若存在，使得，证明：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导函数求单调性，结合即可求解.（2）由题意可得，若是方程的根，则是方程的根，所以，，再利用导函数求的最小值即可.【小问1详解】 由题意可得，记，则，因为时，恒成立，所以在上单调递增，因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以有唯一零点0．【小问2详解】由可得，若是方程的根，则是方程的根，因为，都单调递增，所以，，设，，所以的解为，的解为，所以在上递减，在上递增，所以的最小值为，即的最小值为．故原不等式成立.【点睛】当函数的一阶导数符号不好判断时，常利用二阶导数判断一阶导数的单调性，进而得到一阶导数大于0和小于0的区间.