山东省聊城市2022-2023学年高二上学期期末数学 Word版含解析.docx

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2022—2023学年度高二第一学期期末教学质量抽测数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上.2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，只将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线的倾斜角为（）A.0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用直线与轴垂直即可求得答案【详解】因为直线与轴垂直，故直线的倾斜角为故选：C2.已知，分别是平面的法向量，若，则（）A.B.C.1D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【详解】因为，分别是平面的法向量，且， 所以，即，解得故选：B3.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的性质得出准线方程.【详解】抛物线方程可化为，则，故抛物线的准线方程为.故选：A4.数列满足，若，则=（）A.-1B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由的值确定该数列为周期数列，进而由周期性得出.【详解】设，则，，.故数列是以3为周期的周期数列，则.故选：D.5.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C：，从点发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出坐标，进而联立直线和抛物线方程，由韦达定理得出点B的纵坐标. 【详解】抛物线C：的焦点坐标为，设，，因为点在抛物线上，所以，由题意可知，三点在一条直线上，直线的斜率为，即直线的方程为，联立，可得，因为.故选：A6.已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程.【详解】圆：的圆心，圆：可化为，，则其圆心为，半径为，因为圆与圆相内切，所以，即，故.由，可得，即与的公切线方程为.故选：D7.如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，结合空间向量的数量积的定义及运算律可求得，即可得结果.【详解】设平面ABD与平面CBD的夹角为，由题意可得：，∵，则，即，解得，由，可得，故平面ABD与平面CBD的夹角为.故选：C.8.已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可.【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，由椭圆的性质，可得.过F且垂直于x轴直线与C交于M，N两点，.等于的最小值的3倍，.椭圆中，，即，则.，，解得或（舍）.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知曲线：，：，则（）A.的长轴长为4B.的渐近线方程为C.与的焦点坐标相同D.与的离心率互为倒数【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.【详解】曲线：整理得，则曲线是焦点在轴上的椭圆，其中，所以，离心率为故曲线的长轴长，故A不正确；曲线：是焦点在轴上的双曲线，其中，所以，离心率为，故与曲线的焦点位置不同，故C不正确；：的渐近线方程为，故B正确；又，所以与的离心率互为倒数，故D正确.故选：BD.10.已知直线l：，则（）A.l不过第二象限B.l在y轴上的截距为1C.不存在k使l与直线平行D.存在k使l被圆截得的线段长为2【答案】AC【解析】【分析】取得出恒成立，从而判断A；由得出截距，从而判断B；由反证法判断C；由距离公式判断D.【详解】对于A：当时，恒成立，即l不过第二象限，故A正确；对于B：令，即l在y轴上的截距为，故B错误；对于C：若直线和平行，则，且，与矛盾，即不存在k使l与直线平行，故C正确； 对于D：若l被圆截得的线段长为2，则直线到圆心的距离为，但是圆心到直线的距离，即不存在k使l被圆截得的线段长为2，故D错误；故选：AC11.记数列的前n项和为，已知，则（）A.B.C.有最大值1D.无最小值【答案】BC【解析】【分析】对于AB，注意到当且为奇数时，，从而求得即可判断；对于C，求得关于的表达式后，利用配方法即可判断；对于D，求得关于的表达式后，利用作差法与临界值0进行比较即可判断.【详解】对于A，因为，当且为奇数时，，所以，故A错误；对于B，，，所以，故B正确；对于C，因为与必然一奇一偶，所以，当时，取得最大值，故C正确；对于D，因为与必然同为奇数或同为偶数， 所以，令，则，所以，令，得，又，即，此时，即，即，令，得或，又，即或，当时，此时，即，同时，当时，，即，综上：有最小值，即有最小值，故D错误.故选：BC.12.在棱长为的正方体中，M，N，P均为侧面内的动点，且满足，点N在线段上，点P到点的距离与到平面的距离相等，则（）A.B.平面平面C.直线AM与所成的角为定值D.MP的最小值为2【答案】ACD【解析】【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，对于A，由点N在线段可得，可得到即可判断；对于B，计算出平面与平面的法向量即可求解；对于C，由M为侧面内的动点且可得，计算出即可；对于D，由C选项可得的轨迹是以 为圆心，半径为3的圆上（且在侧面内），在平面内过P点作，垂足为，可得到点P的轨迹为以为焦点，准线为直线的抛物线，通过图形即可得到MP的最小值【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，，，，对于A，因为点N在线段上，所以，所以，所以，所以，故，所以，故A正确；对于B，因为点N在线段上，所以平面为平面，设面的一个法向量为，则，令，则，故，设面的一个法向量为，则，令，则，故，因为，所以平面与平面不垂直，故B错误；对于C，因为M为侧面内的动点，，所以设，则， 所以，所以直线AM与所成的角为定值，故C正确；对于D，由C选项可得即，所以的轨迹是以为圆心，半径为3的圆上（且在侧面内），在平面内过P点作，垂足为，易得平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以点P到平面的距离为的长度，即到的距离，所以点P到点的距离与到平面的距离相等，等价于点P到点的距离与到的距离相等，满足抛物线的定义，所以点P的轨迹为以为焦点，准线为直线的抛物线，以线段四等分点（靠近）为坐标原点，以为轴的正方向进行平面直角坐标系，由可得，直线为，则点P的轨迹为，所以，由图可得当与点重合时，，故，故D正确，故选：ACD【点睛】关键点睛：这道题的关键之处是D选项中能看出点P到平面的距离即到的距离，得到点P的轨迹为以为焦点，准线为直线的抛物线，然后建立平面直角坐标系进行求解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则 ______．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.【详解】因为四棱锥的底面是平行四边形，所以，又，由空间向量基本定理可得，，故.故答案为：.14.记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______．【答案】6【解析】【分析】利用等差数列的性质，结合等差数列的通项公式与前项和公式化简可得关于的方程，解之即可.【详解】因为是公差不为0的等差数列，设公差为，所以，，又，所以，即则，所以，又，所以，则．故答案为：615.如图，长方体中，若，则到平面的距离为______． 【答案】##【解析】【分析】求出面的法向量，利用向量法得出到平面的距离.【详解】因为，所以，，设平面的法向量为，由，可得，取，则，即到平面的距离为.故答案为：16.已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为圆心，的虚半轴长为半径的圆与的右支恰有两个交点，记为、，若四边形的周长为，则的焦距的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】易知点、关于轴对称，分析可得，且，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围，即可得解.【详解】易知点、关于轴对称，且，由双曲线的定义可得，由题意可得，可得，则，所以，，所以，，所以，.当时，，，此时，即此时以为圆心，的虚半轴长为半径的圆与的右支恰有两个交点，合乎题意. 因此，的焦距的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的边所在直线的方程分别为，，点在边上．（1）若为直角三角形，求边所在直线的方程；（2）若为的中点，求边所在直线的方程．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先判断角不是直角，在分别讨论角或角为直角的情况，利用题意求解即可（2）由题意可设，再利用条件求出参数，然后求出边所在直线的斜率，最后利用公式求解直线方程即可.【小问1详解】由的边所在直线的方程分别为，,可知角不是直角，若角是直角，由点在边上，得边所在直线的方程为；若角是直角，由边所在直线的方程为，得边所在直线斜率为，又点在边上，所以边所在直线的方程为，即．【小问2详解】由题意可设，由为的中点，得，将点的坐标代入边所在直线的方程，得，所以，解得，所以，得边所在直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即．18.已知各项均为正数的等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和．【答案】（1）（2）3181．【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为q，然后根据题意列出等式，进行联立即可得到，，即可求解；（2）先得到的前50项是由的前5项与的前45项组成，然后利用分组求和法即可求解【小问1详解】设等比数列的公比为q，由题意得，因为等比数列中，，所以，又，解得，所以，即的通项公式为．【小问2详解】由（1）知，因为，，所以的前50项是由的前5项与的前45项组成，记的前50项的和为，则 ．所以前50项的和为3181．19.已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点．（1）求C的方程；（2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答.（2）根据给定条件，求出线段AB的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答.【小问1详解】依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得，所以C的方程为．【小问2详解】由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为，由消去y得，则，有，，即，因此线段AB的中垂线方程为，即，令，得，设所求圆的圆心为E，则，又AB过C的焦点F，则有，设所求圆的半径为r，则，故所求圆的方程为．20.如图，在直三棱柱中，，，．M是AB的中点，N 是的中点，P是与的交点．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）线段上是否存在点Q，使得平面？【答案】（1）（2）存在【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值；（2）设出，结合第一问中求出的平面的法向量，需，从而，列出方程，求出的值，得到答案.【小问1详解】以A为原点，AC，AB，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，C，M的坐标分别为，，，所以，．设是平面的法向量，则，即，所以，取，则，，所以是平面的一个法向量．P点坐标为，所以．设与平面所成的角为θ，则．【小问2详解】由，N的坐标分别为，，故，设，则，得，又P点坐标为，所以直线PQ的一个方向向量，若平面，需，从而，即，解得，这样的点P存在．所以线段上存在点Q，使得平面，此时，Q为线段上靠近点N的三等分点．21.已知数列的前n项和为，是等差数列，且，，是，的等差中项．（1）求，的通项公式；（2）记，求证：．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）利用可得到时，，然后求出，即可求出的通项公式，设等差数列的公差为d，利用等差中项可得到，求出即可求解；（2）利用错位相减法求出，即可求证【小问1详解】因为，所以当时，得，两式作差得，当时，，即时，．又，，得，解得，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以．设等差数列的公差为d，因为是，的等差中项，所以，又，所以，解得，所以，故，．【小问2详解】由（1）知，①，②①②，得．所以．所以，即．22.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A， ，且到直线l：的距离为．（1）求C方程；（2）与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；（3）P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求面积的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）．【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的顶点坐标以及点到直线距离公式，可得答案；（2）由两直线的平行关系，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出中点坐标，可得答案；（3）根据直线的平移，取与椭圆相切是的临界点，利用三角形的面积公式，可得答案.【小问1详解】设，，由题意得，解得，所以C的方程为．【小问2详解】证明：设这组平行线的方程为，与联立消去x，得，则，得．设直线被C截得的线段的中点为，则，其中，是方程的两个实数根．所以，消去m，得，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线上． 【小问3详解】由（2）知，l与C相离，当直线与C相切时，，解得或．当时，直线与l的距离为，此时，当时，直线与l的距离为，此时，所以面积的取值范围为．