山东省菏泽市2022-2023学年高一上学期期末数学 Word版含解析.docx

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2022-2023学年度高一第一学期学习质量检测数学试题注意事项:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则集合的真子集个数为()A.7B.8C.15D.32【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性求出,,求出交集,得到真子集个数.【详解】,,故,故集合的真子集个数为.故选:A2.在使用二分法计算函数的零点的近似解时,现已知其所在区间为(1,2),如果要求近似解的精确度为0.1,则接下来需要计算()次区间中点的函数值.A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】根据二分法定义计算即可得到答案.【详解】因为区间的长度为,每次二等分都使长度变为原来的, 次取中间值后,区间的长度变为,不满足题意,次取中间值后,区间的长度变为,满足题意.故选:C3.已知,,,则的大小关系为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数和余弦函数单调性,结合临界值进行判断即可.【详解】,.故选:B.4.2021年12月,考古工作者又公布了关于北京建城的一件重要文字证据。这次在琉璃河遗址新发现的铭文,不仅是A国建城最早的文字证据,更是北京建城最早的文字证据.考古学家对现场文物样本进行碳14年代学检测,检验出碳14的残留量约为初始量的69%.已知被测物中碳14的质量M随时间t(单位:年)的衰变规律满足(表示碳14原有的质量),据此推测该遗址属于以下哪个时期(参考数据:)()A.西周B.两汉C.唐朝D.元朝【答案】A【解析】【分析】由题意知,利用指对互化求解的值.【详解】由题意知,所以,故,距今时间大约为,故推测该遗址属于西周时期.故选:A.5.已知是奇函数,且在上是增函数,又,则的解集为() A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意判断函数在上为增函数,,作出函数大致图像,数形结合,即可求得的解集.【详解】奇函数在上为增函数,且,函数在上为增函数,且,则函数大致图像如图所示:由,得或,则或,所以或,即的解集为,故选:A.6.已知,,则()A.B.C.D.0【答案】D【解析】【分析】由以及诱导公式求出,再利用两角和的正弦公式、二倍角公式以及同角公式将化为的形式,代入即可得解. 【详解】因为,所以,所以,所以,所以或,因为,所以,所以,所以.故选:D7.已知函数(,)的部分图象如图所示,且存在,满足,则() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用图象确定函数的周期及特殊点,求得函数的解析式,由确定关系,代入结合诱导公式可求得的值.【详解】由图象可得,即,所以,,,所以,,因为,所以,所以,由,得,由,结合图象可得,,所以,所以.故选:C.8.已知函数,,且的最大值为,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的最大值问题转化为不等式恒成问题,借助函数的单调性求最值,从而得出a的取值范围.【详解】由题意可知,,即,且,∴,,即.∴,(当时也成立), 令,,,,则,∵,且∴由,可得,即,又在上单调递增,∴,∴.故选:A.二、选择题:共4小题,每小题5分,共20分,每个小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对得2分.9.下列化简正确的是()A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】AB选项,利用余弦半角公式计算;C选项,逆用正切和角公式计算;D选项,利用得到,变形得到.【详解】对于A,,故A正确;对于B,,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,因为,即,故, 所以,即,故D错误.故选:AC.10.已知函数是上的偶函数,对任意,且都有成立,,,,则下列说法正确的是()A.函数在区间上单调递减B.函数的图象关于直线对称C.D.函数在处取到最大值【答案】BC【解析】【分析】根据是上的偶函数,则利用平移得到其对称轴为,故可判断B选项,根据不等式则得到函数在上的单调性,结合其对称性得到其在上单调性,则得到其在的最值情况,即可判断AD选项,利用对数运算性质对进行化简,再结合其单调性和对称性即可判断三者大小关系.【详解】根据题意,函数是上的偶函数,则将其向右平移1个单位得到,则对称轴由变为,故函数的图象关于直线对称,故B正确;又由对任意,且都有成立,当时,则,当时,则所以函数在上为增函数,根据其对称轴为 所以函数在上为减函数,所以在处取得最小值,故A,D错误;,,,又由函数的图象关于直线对称,,易知,所以即.故选:BC.11.把函数的图象向左平移个单位长度,得到的函数图象恰好关于轴对称,则下列说法正确的是()A.的最小正周期为B.关于点对称C.在上单调递增D.若在区间上存在最大值,则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】先利用辅助角公式化简,再通过图像平移求得新的函数,从而利用关于轴对称求得,由此得到的解析式,最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.【详解】因为,所以把的图像向左平移个单位长度得到函数的图像,因关于轴对称,所以,,即,, 又因为,所以,,对于A,,故A正确;对于B,,故B错误;对于C,由,得,所以当时,的单调递增区间为,又因为,所以在上单调递增,故C正确;对于D,若函数在上存在最大值,由选项C可知,在上单调递增,且,即在时取得最大值,所以,即实数的取值范围为,故D正确.故选:ACD.12.已知函数,若关于x的方程有四个不等实根,则下列结论正确的是()A.B.C.D.的最小值为10【答案】ACD【解析】【分析】画出函数图像,根据对称性得到,根据图像得到,,根均值不等式得到最值,变换 ,根据基本不等式得到最值,得到答案.详解】,画出函数图像,如图所示:根据图像知:,,故,A正确;,,B错误;,化简得到,,,当,即时等号成立,又,此时仅有三个根,所以等号不成立,,C正确;,即,即,,,当,即时等号成立,D正确.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分 13.已知是方程的根,若,,则__________.【答案】2【解析】【分析】先判断函数的单调性,结合零点存在性定理,即得解【详解】设函数,由于都在单调递增,故为上增函数,故函数在至多存在一个零点,且,,所以,所以.故答案为:214.若关于的不等式的解集为,则的值为__________.【答案】1【解析】【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系列出满足的条件,解得答案.【详解】由一元二次不等式的解集知,方程有相等的实数根1,所以,解得,故答案为:1.15.若角的终边落在直线上,角的终边与单位圆交于点,且,则________.【答案】【解析】【分析】由题可得,,然后利用三角函数的定义可得,,即得. 【详解】由角的终边与单位圆交于点,得,又,∴,因为角的终边落在直线上,所以角只能是第三象限角.记P为角的终边与单位圆的交点,设,则,即,又,解得,即,因为点在单位圆上,所以,解得,即,所以.故答案为:.16.定义其中表示中较大的数.对,设,,函数,则(1)______;(2)若,则实数的取值范围是______.【答案】①.②.【解析】【分析】(1)根据题意把代入,,求出,的值即可得到答案.(2)首先分类讨论得到,从而得到在上单调递增,再解不等式即可.【详解】(1)当时,,,所以,. 所以,即.(2),当时,,当时,.若,则,解得或,若,则,解得.当时,,当时,,当时,.所以,故在上单调递增.所以,则,解得.故答案为:;四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数的定义域为集合,的值域为集合,.(1)求;(2)若,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出集合且,,得到交集;(2)计算出,,求出并集.【小问1详解】由题意可得,解得且, ∴函数的定义域且,∵对任意,,所以,∴函数的值域,∴;【小问2详解】,因为,所以,因为且,所以,所以.18.已知函数,其中且.(1)若且函数的最大值为2,求实数a的值.(2)当时,不等式在有解,求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)将代入函数得出解析式,根据复合函数同增异减的性质,分类讨论和时在的单调性,由此确定最大值,即可解出实数a的值.(2)由对数函数性质可得,再由对数单调性可得,利用换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值,即可得到m的取值范围.【小问1详解】当时,所以,当时,在定义域内单调递增,,解得当时,在定义域内单调递减,,解得,不符合题意,舍去综上所述,实数a的值为. 【小问2详解】要使在上有意义,则,解得由,即,因为,所以即,得,令,,记,对称轴为,若不等式在有解,则在有解即,即综上所述,实数m的取值范围为19.已知函数,其图象中相邻的两个对称中心的距离为,且函数的图象关于直线对称;(1)求出的解析式;(2)将的图象向左平移个单位长度,得到曲线,若方程在上有两根,,求的值及的取值范围.【答案】(1)(2),【解析】【分析】(1)根据条件相邻的两个对称中心的距离为得到周期从而求出,再根据对称轴是及求出,从而得到的解析式;(2)根据平移变换得到,再通过整体代换,利用正弦函数的图像和性质得到有最小值及对应的自变量的值,即可求的值及的取值范围.【小问1详解】解:因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为, 所以,即周期,所以,所以,又因为函数的图象关于直线轴对称,所以,,即,,因为,所以,所以函数的解析式为;【小问2详解】解:将的图象向左平移个单位长度,得到曲线,所以,当时,,,当时,有最小值且关于对称,因为方程在上有两根,,所以,,即的取值范围.20.已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的解析式; (2)判断单调性,并用单调性的定义加以证明;(3)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)函数为上的单调增函数;证明见解析(3)【解析】【分析】(1)根据函数的奇偶性求得.(2)根据函数单调性的定义证得的单调性.(3)利用函数的单调性、奇偶性化简题目所给不等式,结合二次函数的性质求得的取值范围.【小问1详解】由于是定义在上的奇函数,所以.此时有,是定义在上的奇函数,【小问2详解】在上递增,理由如下:任取,,其中,所以,所以上递增.【小问3详解】, ,所以对任意恒成立,,当时等号成立.所以.21.世界范围内新能源汽车的发展日新月异,电动汽车主要分三类:纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段,并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开,以新能源汽车替代汽(柴)油车,中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2000万元,每生产(百辆),需另投入成本(万元),且;已知每辆车售价5万元,由市场调研知,全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2022年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式;(2)2022年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.【答案】(1);(2)100(百辆),2300万元.【解析】【分析】(1)根据利润收入-总成本,即可求得(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式;(2)分段求得函数的最大值,比较大小可得答案.【小问1详解】由题意知利润收入-总成本,所以利润 ,故2022年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式为.【小问2详解】当时,,故当时,;当时,,当且仅当,即时取得等号;综上所述,当产量为100(百辆)时,取得最大利润,最大利润为2300万元.22.如图是一矩形滨河公园,其中长为百米,长为百米,的中点为便民服务中心.根据居民实际需求,现规划建造三条步行通道、及,要求点、分别在公园边界、上,且.(1)设.①求步道总长度关于函数解析式;②求函数的定义域.(2)为使建造成本最低,需步行通道总长最短,试求步行通道总长度的最小值.【答案】(1)①.,②;(2)百米.【解析】【分析】(1)①根据,,得到,然后分别在中,用余弦函数的定义得到,在中,用正弦函数的定义得到,在中,用勾股定理得到 ,然后相加即可,②根据,,点、分别在公园边界、上,则有求解.(2)由(1)的结论,.令,转化为,利用反比例函数的单调性求解.【详解】(1)①在矩形中,因为,,所以.因为,为的中点,所以.在中,,.在中,,.又因为,所以,所以.②因为,,所以即解得,所以,所以函数的定义域为.(2). 令,则,所以.因为,所以,所以,所以.因为在上为减函数,所以当,即时,取得最小值,故步行通道总长度的最小值为百米.【点睛】本题主要考查三角函数的平面几何中的应用,还考查了运算求解的能力,属于难题.

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