江西省抚州市三校（广昌南丰金溪一中）2022-2023学年高一下学期第二次月考数学 Word版含解析.docx

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2022-2023学年下学期广昌南丰金溪一中高一第二次月考联考数学试卷考试时间：120分钟一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若复数满足，则在复平面内表示的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】化为的形式，结合复数的几何意义确定所在象限.【详解】依题意，复数的对应点在第二象限，故选：B.2.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出集合后可得.【详解】因为集合，，则.故选：C3.设，则A.B.C.D.【答案】A 【解析】【详解】由题设，根据两角差余弦公式，得，根据二倍角公式，得，又，因为，所以，故正确答案为A.4.如图,在圆C中弦AB的长度为6,则A.6B.12C.18D.无法确定【答案】C【解析】【分析】取线段的中点，得.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得【详解】取线段的中点，得.所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题.5.函数在区间内的大致图象是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用正切函数的图象与性质求解即可.【详解】当时，即，所以在区间上的图象与的图象相同，当时，即，所以在区间和上的图象是的图象关于轴的对称图形.故选：B.6.已知点是所在平面内一点，若非零向量与向量共线，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】计算得出，可得出，即可得出结论. 【详解】因为，所以与垂直，因为与共线，所以，则.故ABC均无法判断，D对.故选：D.7.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】如下图所示： ，即，，，，，，，、、三点共线，则.，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.8.哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段和两个圆弧、围成，其中一个圆弧的圆心为，另一个圆弧的圆心为，圆与线段及两个圆弧均相切，若，则（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆O的半径，得到，余弦定理求，利用向量数量积公式求.【详解】若，则圆弧、的半径为2，设圆O的半径为，则，过O作，则，，中，，即，解得，则有，中，由余弦定理得，．故选：A.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求，漏选得2分，多选错选0分．）9.下列结论正确的是（）A.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为B.的最小正周期是C.若角的终边过点，则D.若角为锐角，则角为钝角【答案】AC【解析】【分析】利用公式计算可判断A；利用的最小正周期为 计算可判断B；利用计算可判断C；当时，为直角可判断D.【详解】对于A，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为，该扇形面积为，故A正确；对于B，的周期是，故B错误；对于C，若角的终边过点，则，故C正确.对于D，当时，为直角，故D错误.故选：AC.10.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据正八边形的性质、平面向量数量积的定义及向量加法的平行四边形法则判断即可；【详解】解：依题意，故A错误；，故B正确； 因为，即，所以以，为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为，所以，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：BC11.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递减C.的图象关于直线对称D.的图象关于点成中心对称【答案】BC【解析】【分析】根据给定的函数图象求出的解析式，利用三角函数图象变换求出的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】由图象得：，函数的周期，，则，，即，而，则，因此， 将的图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度得到函数的图象，即，于是的最小正周期为，A错误；当时，取最大值，即函数的图象关于对称，C正确，D错误；当时，，函数单调递减，B正确.故选：BC12.某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（）A.函数在区间上单调递减，上单调递增B.函数的最小值为，没有最大值C.存在实数，使得函数的图象关于直线对称D.方程的实根个数为2【答案】ABD【解析】【分析】设点，，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，让点P在x轴上移动，可观察出的变化情况，从而判断出各选项的正确性.【详解】设点，，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，由图可知，当点P由x的负半轴方向向原点O移动时，的和逐渐变小，即函数区间 上单调递减，当点P由点A向x的正半轴方向移动时，的和逐渐变大，即函数在区间上单调递增，故A正确；当点P移动到点A时，的和最小，最小值为，没有最大值，即函数的最小值为，没有最大值，故B正确；，而，显然，故不存在存在实数，使得函数的图象关于直线对称，故C错误；方程即，由选项A可知，函数在区间上单调递减，上单调递增，当时，，当时，，所以存在唯一的，使得，当时，故等价于，解得，舍去，综上，方程的实根个数为2，D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查函数的性质，解题关键是将函数转化为x轴上的点到A、B两点的距离之和，这样通过点的移动可以直观地得到函数的性质，考查逻辑思维能力和计算能力，考数形结合思想和转化思想，属于中档题.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，则_______．【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z，可得，再根据复数模的计算即可得答案.【详解】由可得，故，则，故答案为： 14.已知，则______．【答案】##【解析】【分析】先利用诱导公式得到，再利用二倍角的余弦公式求值.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.15.若函数在上有且仅有四个零点，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用余弦函数图象和性质结合题意可得，解不等式即可得出答案.【详解】，因为，，函数在上有且仅有四个零点，所以，解得：.故答案为：16.如图，函数的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则__________． 【答案】【解析】【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式，得到，结合，即可求解.【详解】因为O为的重心，且，可得，解得，所以，所以，所以，所以，解得，可得，由，即，可得，解得，又由，所以，所以，于是，所以..故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知是方程的根，且是第二象限的角，求的值．【答案】【解析】分析】以同角三角函数基本关系和诱导公式解之即可.【详解】方程的两根分别为与1，由于是第二象限的角，则，，故故答案为：18.已知的内角，所对的边分别是，且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面积，求a.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理结合辅助角公式得出角A的大小；（2）利用面积公式以及余弦定理，解出的值．【详解】（1）因为，由正弦定理得；所以得 因故（2）得所以19.已知向量，函数.（1）若，求函数的减区间；（2）若，方程有唯一解，求的取值范围.【答案】（1）和；（2），．【解析】【分析】（1）由数量积的坐标表示求出，并利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得减区间；（2）由（1）得出在上的单调性与最值，并计算端点处的函数值可得的范围．【详解】解：因为 （1）令，，则，，，，或，故函数的减区间为和．（2），，，，，，方程有唯一解，，，∴或，或．故的取值范围为，．20.在锐角△ABC中，a＝2，_______，求△ABC的周长l的范围．在①(﹣cos，sin)，(cos，sin)，且•，②cosA(2b﹣c)＝acosC，③f(x)＝cosxcos(x)，f(A)注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．【答案】l△ABC∈(6+2，6]．【解析】【分析】选①时，由平面向量的数量积与三角恒等变换求出A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC周长的取值范围；选②时，由正弦定理和三角恒等变换求出A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC周长的取值范围；选③时，由三角恒等变换求得A的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC周长的取值范围．详解】解：若选①，则由(﹣cos，sin)，(cos，sin)，且•，得，∴cosA，又A∈(0，)， 所以A；又，所以，，△ABC的周长为，即；因为锐角△ABC中，A，所以，，所以B∈(，)，所以B∈(，)，所以△ABC的周长为l△ABC∈(6+2，6]．若选②，由cosA(2b﹣c)＝acosC，所以2bcosA＝acosC+ccosA，所以2sinBcosA＝sinAcosC+cosAsinC＝sin(A+C)＝sinB；又B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosA；又A∈(0，)，所以A；又，所以，，△ABC的周长为，即；因为锐角△ABC中，A，所以，，所以B∈(，)， 所以B∈(，)，所以△ABC的周长为l△ABC∈(6+2，6]．若选③，则f(x)＝cosxcos(x)cosxsinx(cos2xsin2x)sin(2x)，又f(A)，所以sin(2A)，又A∈(0，)，所以A；又，所以，，△ABC的周长为，即；因锐角△ABC中，A，所以，，所以B∈(，)，所以B∈(，)，所以△ABC的周长为l△ABC∈(6+2，6]． 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式、两角和与差的正弦公式、正弦定理、正弦函数的性质，三角函数公式较多，本题解题关键是确定选用公式的先后顺序．但这类题目标明确，把三角形周长表示为其中一个角的函数，利用三角函数知识求得取值范围．三角形三个内角，因此第一部分应该是由已知救出某一个角，然后可把另外两个角中的一个作为变量表示出三角形周长，第二部分求这个周长函数的取值范围．21.体育馆计划用运动场的边角地建造一个矩形健身室，如图，是边长为50米的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，半径为40米，矩形就是计划的健身室，、分别在、上，在弧上，设矩形面积为，（1）若，将表示为的函数；（2）求出的最大值．【答案】（1）（2）的最大面积为平方米【解析】【分析】（1）延长交于，求得，，从而求得面积的函数；（2）利用换元转化为一元二次函数在区间上的最值，从而求得的最大值.小问1详解】延长交于，则，，故，【小问2详解】 令，则，且，，又，当时，，此时，即，或，∴或，∴当点在的端点或处时，该健身室的面积最大，最大面积是500平方米；22.内角，，所对的边分别为，，，．（1）求；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦展开式可得答案；（2）切化弦，由正弦定理和两角和的正弦展开式可得答案.【小问1详解】由正弦定理得，，，∵，∴，∴，∴，又∵，∴． 【小问2详解】∵，∴，∴，∴，∴，由正弦定理得，∴，当且仅当取等号，∴.，由正弦定理得．∵，∴，∴，∴，∴，∴.