四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学（理） Word版含解析.docx

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成都七中2021级高二下期入学考试题数学试卷（理）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的．）1.抛物线的准线方程为A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】分析：先将抛物线方程化为标准方程，再写出准线方程．详解：将化为，则该抛物线的准线方程为．点睛：本题考查抛物线的标准方程、准线方程等知识，意在考查学生的基本计算能力．2.在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如下图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则的值为A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【详解】这7名学生的平均成绩等于：故选：C3.容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是 A.样本数据分布在的频率为0.32B.样本数据分布在的频数为40C.样本数据分布在的频数为40D.估计总体数据大约有10%分布在【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果．【详解】对于A，由图可得样本数据分布在的频率为，所以A正确．对于B，由图可得样本数据分布在的频数为，所以B正确．对于C，由图可得样本数据分布在的频数为，所以C正确.对于D，由图可估计总体数据分布在的比例为，故D不正确．故选D．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的能力，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点．4.下列叙述：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件；③抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于；④在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率；则所有正确结论的序号是（）A.①②④B.①③C.②④D.①②【答案】A【解析】【分析】根据互斥事件，对立事件和独立重复事件的相关定义，逐个选项进行判断，可得答案.【详解】对于①．某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是不可能同时发生的事件，所以是互斥事件，故①正确．对于②．甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”包括：1人射中，1人没有射中和2 人都射中，由对立事件定义：“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件．故②正确．对于③．抛掷一枚硬币n次，属于独立重复事件，每次出现正面向上的概率为，出现反面向上的概率为，所以连续出现4次正面向上，第5次出现反面向上的概率为，故③不正确．对于④，在相同条件下，试验次数越多，频率就会稳定在概率附近，故④正确；故选：A5.惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名建筑事务所steynstudio完成的．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A.4B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】首先根据双曲线的渐近线方程得到，从而得到，，，再求离心率即可.【详解】双曲线，，，因为双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，解得，所以，，，.故选：D.6.在区间上随机取一个数，使得成立概率是（）A.B.C.D.1 【答案】B【解析】【分析】求出不等式的解集，再利用几何概型计算作答.【详解】由，得，而，有，因此，解得，则由几何概型得，所以成立的概率是.故选：B7.若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由圆与圆的位置关系的判定求解即可【详解】由题意可知圆的圆心是原点，半径，圆的圆心是，半径，两圆的圆心距.∵圆与圆有公共点，∴，即，解得或.∴实数a的取值范围是. 故选：A.8.在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）.A.0.25B.0.4C.0.6D.0.75【答案】D【解析】【分析】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为故选：D9.新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（）A.甲同学的体温的极差为0.5℃B.甲同学的体温的众数为36.3℃C.乙同学的体温的中位数与平均数不相等D.乙同学的体温比甲同学的体温稳定【答案】C【解析】分析】根据折线图，进行数据分析，直接计算极差判断A，由众数概念判断B，由中位数和平均数确定 C，由折线图直接判断D.【详解】对于A：甲同学的体温的极差为℃，故A选项正确；对于B：甲同学的体温从低到高依次为36.1℃，36.1℃，36.3℃，36.3℃，36.3℃，36.5℃，36.6℃，故众数为36.3℃，故B选项正确；对于C：乙同学的体温从低到高依次为36.2℃，36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，故中位数为36.4℃，而平均数也是36.4℃，故C选项错误；对于D：从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故D选项正确.故选：C10.中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到左（即从低位到高位）依次排列的红绳子上打结，满六进一，用6来记录每年进的钱数，由图可得，这位古人一年收入的钱数用十进制表示为（）A.180B.179C.178D.177【答案】D【解析】【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为、、，然后把它们相加即可.【详解】（个）.所以古人一年收入的钱数用十进制表示为个.故选：D.11.20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法．如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率，（其中rand（）是产生内的均匀随机数的函数，），则的值约为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意作出图形，根据面积比得到方程，解出即可.【详解】根据程序框图知，，而表示个圆,如图所示：则落在阴影部分的面积与长方形面积比为，解得.故选：D.12.已知，是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分，数形结合求出的最大值和最小值，进而求出比值.【详解】化简得，由，得.因为，所以或.当时，；当时，.所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.根据圆的性质知：当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过分类讨论得到曲线的具体情况，结合图形，利用圆的性质，得到线段和的最值，即可得到它们的比值.二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13.圆关于直线对称，则__________． 【答案】3【解析】【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可.【详解】由可得圆的标准方程为：，则由题意得直线过圆心，代入直线方程有，解得，故答案为：3.14.用秦九韶算法下列计算多项式：，当时，__________．【答案】25【解析】【分析】根据秦九韶算法，可得答案.【详解】，其中，，，当时，，，.故答案：.15.直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______．【答案】或【解析】【分析】联立直线与双曲线方程，化为，分类讨论：当时，此时直线双曲线的渐近线，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解出即可．【详解】解：联立，可得．①当时，可得，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意；②当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解得，满足条件． 综上可得：，．故答案为，．【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程的解与判别式的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题和易错题．16.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为设, 由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）则，又设直线PN的方程为由到直线PN的距离为1，得，整理得则，又，故则直线PN的方程为，故，由，解得，故椭圆的离心率故答案为：【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。三、解答题：（本大题共6个小题，17题10分其余每道小题各12分，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知函数在区间上有零点．（1）若，求使p假q真时实数a的取值范围；（2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据函数的零点的存在定理以及命题的真假求解；(2) 根据命题的充分不必要条件转化为集合的包含关系求解.【小问1详解】当时，，则或，∵函数在区间上单调递增，且函数在区间上有零点∴，解得，则，p假q真，∴，则a的取值范围是【小问2详解】∵，且p是q成立的充分条件，∴，∴，又因为p是q成立的不必要条件，所以（1）（2）等号不能同时成立，∴，综上得，实数m的取值范围是.18.机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车辆保险一般包括交强险和商业险，商业险包括基本险和附加险两部分．经验表明新车商业险保险费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的相关数据：购车价格（万元）5101520253035商业险保险费（元）1737207724172757309736223962（1）根据表中数据，求关于的线性回归方程（精确到0.01）；（2）某保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保险费倍率，上一年没有出险，则下一年保险费倍率为，上一年出险一次，则下一年保险费倍率为，上一年出险两次，则下一年保险费倍率为．成都的好心先生2022年1月购买了一辆价值32万元的新车．若该车2022年2月已出过一次险，4月又发生事故，好心先生到汽车维修店询价，预计修车费用为800 元，理赔人员建议好心先生自费维修（即不出险），你认为好心先生是否应该接受该建议？请说明理由．（假设车辆2022年与2023年都购买相同的商业险产品）参考数据：，，参考公式：．【答案】（1）（2）好心先生应接受理赔专员的建议，理由见解析【解析】【分析】（1）根据公式带入数据计算出，即可写出回归方程（2）根据（1）计算出32万元车辆的商业车险保费预报值，因该车已出险一次，加上本次出险，按照保费倍率为计算保费与800比较大小即可得出结论【小问1详解】（万元），，，所以；【小问2详解】①价值为32万元的车辆的商业车险保费预报值为元．②由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加，即保费增加元．因为，若出险，2023年增加的保费大于800元，所以好心先生应接受理赔专员的建议．19.已知抛物线，过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，. （1）求抛物线的方程，并求其焦点的坐标和准线的方程；（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与准线交于点.连接，过点作的垂线与准线交于点.求证：三点共线.【答案】（1）抛物线的方程为，焦点坐标为，准线方程为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线通径的性质，得出，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；（2）根据题意，设直线，与抛物线方程联立，求出则，，通过直线相交分别求出和，从而求出和，通过化简求出，即可证出三点共线.【详解】解：（1），则，故抛物线的方程为：，其焦点坐标为，准线方程为：（2）设直线，联立，得，则，设，，则，.法1：直线， 由得，故点，直线的斜率，则直线的斜率，直线，则点直线的斜率.直线的斜率，由得，则，所以三点共线.法2：直线，由得，故点，由，得.直线的斜率，直线，得点，由，得.直线的斜率.直线的斜率，由得，由，得，则有.所以三点共线. 法3：（1）∵，∴，∴，∴，，∴抛物线的标准方程为：，则焦点坐标为：，准线方程为：.（2）设直线，联立得：，，设，，∴直线，当时，，∴，∴，∴，∴直线，当时，，∴，∴，，∴，∴， ∴共线.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，通过联立方程组，韦达定理，利用直线斜率的关系证明三点共线，考查转化思想和计算能力.20.已知双曲线与点.（1）求过点的弦，使得的中点为；（2）在（1）的前提下，如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.【小问1详解】双曲线的标准方程为，所以，，设存在过点的弦，使得的中点为，设，，，，两式相减得，即，得：，，经检验，存在这样的弦，方程为；【小问2详解】设直线方程为，则点在直线上，则，所以直线的方程为，设，，的中点为，，，两式相减得，则，则，又因为在直线上有，解得， ，解得，，整理得，则，则，由距离公式得，所以、、、四点共圆.21.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点恰好围成面积为的等边三角形.（1）求的方程；（2）如图，设的左，右顶点分别为，右焦点为，是上异于的动点，直线与直线交于点，当点运动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明.【答案】（1）；（2）相切，证明见解析.【解析】【分析】（1）待定系数法求的方程；（2）设出直线AP，求出D的坐标，表示出以为直径的圆E的方程，由“设而不求法”表示出到直线的距离,判断出圆与直线相切.【详解】解：（1）设椭圆半焦距为，依题意有，∴，，，故的方程为.（2）以为直径的圆与直线相切， 证明如下：易知，，.由题意可设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为.由得.设点的坐标为，则.所以，.①当时，点的坐标为，点的坐标为.直线轴，此时以为直径的圆与直线相切.②当时，则直线的斜率，所以直线方程为.点到直线的距离.又因为，故以为直径的圆与直线相切.综上，当点运动时，以为直径的圆与直线相切.【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.22.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，为C上一点，过点且与y轴不垂直的直线l与C交于A，B两点． （1）求C的方程；（2）在平面内是否存在定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果；（2）设l的方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出，然后根据题意可得，，，进而可求出结果.【小问1详解】设C的半焦距为，由题意得，解得，所以C的方程为．【小问2详解】假设存在定点，使得为定值，设，．由（1）知，因为l不垂直于y轴，故设l的方程为，联立，得，消去x并化简，得．则，且，， ，，所以．所以，所以，，，所以，，．所以存在，使得为定值．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．