四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期3月二诊模拟数学（理）Word版含解析

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成都石室中学2022-2023学年度下学期高2023届二诊模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知z的共轭复数是，且（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．D．3．下图是我国跨境电商在2016~2022年的交易规模与增速统计图，则下列结论正确的是（）A．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元B．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8%4．设实数x，y满足约束条件则的最小值为（）A．B．C．D．5．的展开式中，常数项为（）A．B．C．D．6．我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”．刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积．利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（）

1A．B．C．D．7．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．24B．27C．30D．368．已知双曲线的右焦点为，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若，且的面积为4，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．39．已知函数满足，，当时，，则（）A．B．C．D．10．已知抛物线与直线相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若，则的中点的横坐标为（）A．B．3C．5D．611．设，，，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．12．已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形所在平面上一动点，为正方形所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的个数为（）①若与平面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹为圆；②若三棱柱的侧面积为定值，则动点N的轨迹为椭圆；③若与AB所成的角为，则动点N的轨迹为双曲线；

2④若点N到直线与直线DC的距离相等，则动点N的轨迹为抛物线．A．4B．3C．2D．1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量，满足，，且，则x的值为________．14．已知直线，，圆C与，都相切，则圆C的一个方程为________．（写出满足题意的任意一个即可）15．已知三棱锥P-ABC的体积为，各顶点均在以PC为直径的球面上，，，，则该球的表面积为________．16．已知函数，，，且在上单调，则的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案．某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示．支持保留不支持50岁以下80004000200050岁以上（含50岁）100020003000（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数的分布列和期望．18．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，从①，②，③三个条件中任选一个，求数列的前n项和．19．（本小题满分12分）如图1，在中，B=90°，AB=4，BC=2，D，E分别是边AB，AC

3的中点，现将沿着DE折起，使点A到达点P的位置，连接PB，PC，得到四棱锥P-BCED，如图2所示，设平面平面PBC=l．（Ⅰ）求证：平面PBD；（Ⅱ）若点B到平面PDE的距离为，求平面PEC与平面PBD夹角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆经过点，其右焦点为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）讨论的零点个数；（Ⅱ）若有两个零点，，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与曲线（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线与直线l和曲线C分别交于点A，B，若，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知存在，使得成立，，．

4（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求的最小值．成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届二诊模拟考试理科数学参考答案答案及解析1．C【解析】由题意可得，集合，，所以．故选C．2．D【解析】设．因为，所以，所以，解得则，所以复数z的虚部为．故选D．3．D【解析】这7年我国跨境电商交易规模的平均数为（万亿元），故A错误；这7年我国跨境电商交易规模的增速有升有降，故B错误；这7年我国跨境电商交易规模的极差为（万亿元），故C错误；我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为，故D正确．故选D．4．B【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可化简为，即斜率为的平行直线．由解得则．结合图形可知，当直线过点时，z取最小值．，故选B．

55．A【解析】展开式的通项公式为，所以的展开式中，常数项为．故选A．6．B【解析】对于正n边形，其圆心角为，面积为．对于正边形，其圆心角为，面积为．由此可得，．故选B．7．C【解析】第一类，从0，2，4中选一个数字，若选0，则0只能排在十位，故有个奇数；第二类，从0，2，4中选一个数字，若不选0，则先把奇数排个位，再排其他，故有个奇数．由加法原理可得，奇数的个数为．故选C．8．C【解析】因为双曲线的右焦点为，所以．设其左焦点为．因为，点P，Q关于原点O对称，所以．由的面积为4，得，则．又，所以．又由双曲线的对称性可得，则由双曲线的定义可得，所以，则离心率．故选C．

69．D【解析】因为满足，所以为奇函数，又因为，所以，所以是周期为2的奇函数．又因为时，，所以．故选D．10．A【解析】如图，设的中点为G，抛物线的准线为，焦点为，直线过定点，过点A，B分别作于点M，于点N．由，得，所以点B为的中点，连接，则，故点B的横坐标为1，则点A的横坐标为4，所以的中点G的横坐标为．故选A．11．C【解析】令，则，当时，，所以在上单调递增，所以当时，，即，取，所以．令，则，当时，，所以在上单调递减，所以当时，，即，取，所以，故．令，则，当时，，所以在上单调递增，所以当时，，即，取，所以．

7故选C．12．A【解析】如图所示．对于①，因为与平面所成的角为，所以，所以动点N的轨迹为圆，故①正确；对于②，当三棱柱的侧面积为定值时，因为高为2，则为定值，且大于，所以动点N的轨迹为椭圆，故②正确；对于③，因为，，所以，于是满足条件的运动成圆锥面，又平面，所以圆锥面被平面所截的交线为双曲线，故③正确；对于④，因为点N到直线与直线距离相等，所以动点N的轨迹为点N到点B与直线的距离相等的轨迹，即抛物线，故④正确．故选A．13．【解析】因为，，所以，．又因为，所以，解得．14．，等（答案不唯一，写出一个即可）【解析】由题意可得，直线，关于直线对称．当圆心C在直线上时，圆C的方程形如；当圆心C在直线上时，圆C的方程形如．15．【解析】由，，，得，所以，得（r为外接圆半径）．又，则，所以，即点P到平面的距离为2，所以外接球球心O（的中点）到平面的距离，所以外接球半径，所以．

816．5【解析】因为函数，，所以①．又因为，所以直线是图象的对称轴，所以②．由①②可得，．又，所以，则．又在上单调，的最小正周期为，所以，即，解得，故的最大值为5．17．解：（Ⅰ）参与调查的总人数为，其中从持“不支持”态度的人数中抽取了30人，所以．（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数之比为2∶3，因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上的人数分别为4人，6人，故，则，，，．的分布列为：0123P期望．18．解：（Ⅰ）因为，所以．将上述两式相减，得．因为，，即，所以，所以，所以．因为，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．

9（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．若选①：，则，．将上述两式相减，得，所以．若选②：，则若选③：．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上，．19．（Ⅰ）证明：因为，所以．因为D，E分别是边AB，AC的中点，所以，所以DE⊥BD，DE⊥PD．又BD，平面PBD，，所以DE⊥平面PBD．因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面PDE，平面平面，所以，所以平面PBD．（Ⅱ）解：如图，过点B作，垂足为F．由（Ⅰ）可知，平面PDE⊥平面PBD．又平面平面PBD=PD，所以BF⊥平面PDE，所以点B到平面PDE的距离即为BF的长，则．

10在中，，所以．又BD=PD=2，所以是边长为2的等边三角形．取BD的中点O，连接OP，则，．由（Ⅰ）可知，DE⊥平面PBD．又平面PBD，所以DE⊥OP．又，BD，平面BCED，所以OP⊥平面BCED．以D为坐标原点，DB，DE所在直线分别为x轴、y轴，且以过点D与OP平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，．设平面PEC的法向量为，则令，得，，所以是平面PEC的一个法向量．易知是平面PBD的一个法向量，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为．20．解：（Ⅰ）依题意，得

11解得所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于x轴，故可设：，，．由得，所以，，，即．由，得，消去，得，即，所以，整理得，所以或，所以直线：或．又因为直线不经过点，所以直线经过定点，所以直线的方程为，易知，设定点，则

12．因为即，且，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．21．（Ⅰ）解：．因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以．当，即时，的零点个数为0．当，即时，的零点个数为1．当，即时，注意到，．因为，所以．

13因此，，，使得，所以此时的零点个数为2．综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2．（Ⅱ）证明：（证法一）由（Ⅰ）可知，当时，函数有两个零点，且．令，，则．当时，，所以在区间上单调递增，所以．所以．因为，所以．又由（Ⅰ）可知，在区间上单调递增，所以，故．（证法二）由，得则．由对数平均不等式，得，所以，所以．又，所以．22．解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为，．（Ⅱ）直线l的极坐标方程为，易得．曲线C的极坐标方程为，易得．由已知，得，

14，，，两边平方并整理得．又，即，所以，则．23．解：（Ⅰ）由题意，知．因为存在，使得，所以只需，即的取值范围是．（Ⅱ）由柯西不等式，得，当，时，取得最小值．

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