湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期末数学 Word版无答案.docx

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长郡中学2023年高一上学期期末考试数学试卷时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.正方体中，异面直线与所成角为（）A.B.C.D.3.在中，，则（）A.B.C.D.4.为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若∥，∥，则∥B.若为异面直线，则过空间任一点，存在直线与都垂直C.若，，则与相交D.若不垂直于，且，则不垂直于5.一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（）A.3B.C.6D.6.向量，且，则（）A.B.C.D.7.先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（）A.A与互斥B.与相互独立 C.D.A与互斥8.已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（）A.B.C.D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：下列说法正确的是（）A.产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍B.产品升级后，产品B营收是升级前的2倍C.产品升级后，产品C的营收减少D.产品升级后，产品B､D营收的总和占总营收的比例不变10.设，是复数，则下列命题中正确的是（）A.若是纯虚数，则B若，则C.若，则D.若复数满足，则的最大值为11.如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（） A.B.C.D.12.如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（）A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为B.保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为C.若保持，则点M的运动轨迹长度为D.平面被正方体截得截面为等腰梯形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为______．14.甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为_________．15.水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_____. 16.如图，已知，分别为两边上的点，，，过点，作圆弧，为的中点，且则线段长度的最大值为_________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，求值．18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．19.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．分组频数频率10242 合计1（1）写出表中、及图中的值（不需过程）；（2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数；（3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）20.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．21.已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．，.（1）证明：BC⊥AD；（2）E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为，求二面角的余弦值．22.甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙､丙､丁相互之间胜负的可能性相同. （1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；（2）求甲获得冠军的概率；（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.