北京市丰台区2022-2023学年高一下学期期中练习数学（A卷） Word版含解析.docx

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丰台区2022-2023学年度高一第二学期期中练习数学（A卷）考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知向量，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求.【详解】因为，，所以，解得.故选：D.2.若，则所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由的范围，求出的正负，从而可确定点所在象限．【详解】∵，∴，∴点在第二象限．故选：B．3.下列函数中，最小正周期是奇函数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据周期公式结合周期定义求各函数的周期，再根据奇函数的定义判断即可. 【详解】函数的周期为，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以函数为奇函数，A正确；函数的周期为，设，函数定义域为，定义域关于原点对称，又，所以函数偶函数，B错误；函数的周期为，C错误；设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，则，故函数的周期为，又，所以函数为偶函数，D错误；故选：A.4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角正弦公式即可求得答案.【详解】由题意得，故选：B5.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数图象得到周期求出，然后代入特殊点求值即可.【详解】由题图可知函数的周期，又，则，所以，将，代入解析式中得，则，，解得，，因为，则.故选：A.6.在△中，角，，所对的边分别为，，，且，则△的形状为（）A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】C【解析】【分析】首先利用正弦定理，化边为角，结合三角恒等变换化简，再利用正弦函数性质确定角的关系，从而进一步确定三角形的形状.【详解】根据题意及正弦定理得，即，所以，又， 所以，所以三角形是等腰三角形.故选：.7.在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每分钟转动一周.若点初始位置的坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设坐标原点为，点为，由三角函数定义求的正弦和余弦，结合诱导公式的正弦和余弦，由此可得坐标.【详解】因为点初始位置的坐标为，所以，因为每分钟转动一周，逆时针运动分钟，动点所处位置为，所以，所以，，所以点的坐标为,故选：C.8.在矩形中，，，为边的中点，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量表示，结合数量积的定义求.【详解】由已知，，又，，所以.所以.故选：A.9.将函数的图象向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，其中，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数图象变换法则求变换后的函数解析式，结合余弦函数的性质列方程求.【详解】将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象，由已知图象关于轴对称，所以，将函数的图象向右平移个单位可得函数的图象，由已知图象关于原点对称，所以，所以， 又，所以.故选：D.10.在△中，，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，利用余弦定理求，结合数量积定义求，结合的范围求数量积的范围.【详解】设，则，，所以，由余弦定理可得，所以，所以，所以的取值范围是.故选：D.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.11.在中，若，，，则_______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可求得的值.【详解】由正弦定理得.故答案为：. 12.已知向量是单位向量，且夹角为，则_______．【答案】【解析】【分析】根据向量的模的性质和数量积的定义求解即可.【详解】由已知，，所以，所以，故答案为：.13.在平面直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，其终边经过点，且，则_______．【答案】【解析】【分析】根据正弦的定义列方程求.【详解】因为角的终边经过点，由正弦的定义可得，又，所以，解得.故答案为：.14.若点关于y轴的对称点为，则的一个取值为_____.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据两点关于轴对称，可得到两点的横坐标相反，纵坐标相等，从而可求得的值.【详解】因为点关于y轴的对称点为， 所以，即，即，所以.故答案为：.(答案不唯一)15.已知函数在区间上有且仅有个对称中心，给出下列四个结论：①的最小正周期可能是；②在区间上有且仅有3条对称轴；③的取值范围是；④在区间上单调递减．其中所有正确结论的序号是________．【答案】③④【解析】【分析】求函数的对称中心，由条件确定的范围，再结合余弦型函数的性质判断各命题.【详解】由，，可得，，所以函数的对称中心为，，令，可得，，因为，函数在区间上有且仅有个对称中心，所以，所以，故的取值范围是，③正确，因为，，所以，①错误；由，，可得，， 所以函数的对称轴为，，令可得，，，所以当时，只有两条对称轴，②错误；当时，，由函数在上单调递减，所以在区间上单调递减．④正确.故答案为：③④.三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知向量.（1）求；（2）设的夹角为，求的值；（3）若，求实数的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算的坐标表示求解；（2）利用向量的夹角的坐标表示求解；（3）利用向量平行的坐标表示求解.【小问1详解】因为向量，所以；【小问2详解】由题意得， ，故.【小问3详解】因为向量，所以，.因为，所以.解得：.17.在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边的两个锐角，的终边分别与单位圆相交于，两点，，的横坐标分别为，．（1）求，的值；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由三角函数定义求，再由同角关系求，；（2）利用两角和余弦公式求，由此可求.【小问1详解】由已知得，.因为，都是锐角，所以，. 【小问2详解】因为，都是锐角，所以.因为所以，所以.18.已知函数.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦公式结合辅助角公式化简可得，即可求得答案；（2）由题意可求得，进而求得，利用，即可求得答案.【小问1详解】因为， 所以.【小问2详解】由（1）可知，因为，所以，整理得：，因为，所以，所以，所以.19.在中，．（1）求的大小；（2）若，再从条件①、条件②中任选一个作为已知，求的值．条件①：的面积为；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）将已知等式化为，由此可得；（2）若选①，利用三角形面积公式可直接构造方程求得；若选②，由同角三角函数关系可求得，利用正弦定理可得，根据余弦定理可构造方程求得.【小问1详解】由得：，即，，.【小问2详解】若选条件①，，；若选条件②，，，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，解得：（舍）或，.20.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递减区间；（3）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式化简可得，即可求得答案；（2）结合正弦函数的单调性即可求得答案； （3）由已知确定，结合正弦函数的最大值可得，即可求得答案.【小问1详解】因为，所以的最小正周期为．【小问2详解】由（1）知,因为函数单调递减区间为，（）,所以令，，得，，所以单调递减区间为.【小问3详解】因为，所以，所以，又因为，的最大值为2，所以，解得，所以的最小值为.21.已知函数．用五点法画函数在区间上的图象时，取点列表如下： （1）直接写出的解析式；（2）在锐角中，若，且向量与共线，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据“五点法”可得函数的解析式；（2）由条件结合（1）求，根据向量平行的坐标表示求的解析式，利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数性质求其范围.【小问1详解】由题可知函数的最小正周期为，所以，因为函数过点，所以，，又，即，所以函数的解析式为.【小问2详解】因为，所以.因为是锐角三角形， 所以，所以，则，解得：.因为向量与共线，所以所以.因为是锐角三角形，所以，，解得：，所以，所以.所以的取值范围是.