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通州区2022—2023学年高一年级第二学期期末质量检测数学试卷本试卷共4页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合愿目要求的一项．1.已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（）A.在虚轴上B.不在虚轴上C.在实轴上D.不在实轴上【答案】D【解析】【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案.【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确，若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误，故选：D.2.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量加减法的法则即可得到答案.【详解】对A，当，且同方向时，，故A错误，对B，当，且反方向时，，故B错误，对C，根据向量加法的平行四边形法则，得，故C正确，对D，根据向量减法的三角形法则，得，故D错误，故选：C.3.在中，若．则一定是（）
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理进行边化角，结合两角和与差的正弦公式即可判断三角形形状.【详解】因为,由正弦定理得，所以,即,因为，所以，则，即，故为等腰三角形.故选：A.4.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲被选中的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】用列举法得出甲、乙、丙、丁四人中随机选出人的事件数，从而可求甲被选中的概率.【详解】从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，甲被选中的概率为.故选：C.5.已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20，则第六组的频率是（）A.0.10B.0.12C.0.15D.0.18【答案】A【解析】【分析】利用各组的频率之和等于1的性质即得.【详解】由已知条件可得第一组到第四组数据的频率分别为0.25，0.125，0.175，0.15，又这六组的频率之和是1，因此，第六组的频率为.故选：A.
6.某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，58，则这组数据的第70百分位数是（）A.86B.85.5C.85D.84.5【答案】B【解析】【分析】按照百分位数的定义计算即可.【详解】，故从小到大排列后，35，54，58，58，72，80，85，86，111，125，取第7个数和8个数的平均数得，故选：B.7.下列命题正确的是（）A.一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面B.两条不平行的直线确定一个平面C.三角形上不同的三个点确定一个平面D.圆上不同的三个点确定一个平面【答案】D【解析】【分析】根据平面的确定情况即可得到答案.【详解】对A，若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故A错误，对B，若两条直线异面，则无法确定一个平面，故B错误；对C，若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面，故C错误；对D，圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面.故选：D.8.若，是两条不同的直线，，是两个不同平面，，．则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由线线、面面关系以及充分、必要条件的概念即可得出结论.
【详解】若，是两条不同的直线，，是两个不同平面，，，则或，异面；或平面与平面相交；故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.9.设是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】根据线线关系、线面关系以及面面关系逐个判断各选项即可得出答案.【详解】是直线，，是两个不同平面，若，，则或平面与平面相交，故A错误；若，，则，故B正确；若，，则或，故C错误；若，则与平面相交或或，故D错误.故选:B.10.如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点为底面上在意一点，若直线与平面无公共点，则的最小值是（）A.B.C.D.2【答案】B
【解析】【分析】由直线与平面无公共点，知平面，由平面平面，知点在上，利用三角形为等边三角形可得的最小值.【详解】如图：连接，由正方体性质可知：，因平面，平面，所以平面，同理，,因平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，因直线与平面无公共点，点底面上在意一点所以点在上，故最小时，，因正方体的棱长为2，所以三角形为边长为的等边三角形，时，，
故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.在复数范围内，方程的解为___________．【答案】【解析】【分析】根据复数的运算性质即可得方程的根.【详解】在复数范围内，由方程得，即故答案为：.12.已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.【答案】【解析】【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【详解】依题意.所以方差为.故答案为.【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.13.如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】以为原点，建立合适的直角坐标系，设，，计算出
，根据二次函数的性质则得到其范围.【详解】以为原点，,所在直线分别为,轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，其中，则，，当时,有最小值3，当或2时，有最大值为4，的取值范围为.故答案为：.14.在中，已知，，，则___________，的面积为__________．【答案】①.##0.75②.【解析】【分析】空1：直接利用正弦定理,二倍角公式可得；空2：先求出，再由可得，直接代入三角形面积公式即可.【详解】因为，所以，由正弦定理，得，即，则，又，所以；则，
又由余弦定理，即有，解得或.当时，，又，则，则，这与矛盾，所以不符合题意，舍去;当时，.故答案为：；.15.如图，在棱长为1的正方体中，E为棱BC上的动点且不与B重合，F为线段的中点．给出下列四个命题：①三棱锥的体积为；②；③的面积为定值；④四棱锥是正四棱锥．其中所有正确命题的序号是_________-．【答案】②③④【解析】【分析】利用锥体体积公式可判断①，利用线面垂直的判定定理可判断②，利用平行线的传递性及三角形面积公式可判断③，利用正棱锥的定义可判断④.【详解】因为三棱锥体积为，所以三棱锥体积的最大值为，故①错误；连接，则，又平面，平面，
所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故②正确；设，连接，则，所以，即和到的距离相等且不变，所以三角形的面积不变，故③正确；由，可知平面，又为正方形，为其中心，故四棱锥是正四棱锥，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知复数满足，且是纯虚数．（1）求及；（2）若，求a和b的值．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根据复数的类型即可得到关于的方程，解出即可；（2）根据一元二次方程复数根的特点结合韦达定理即可.【小问1详解】为纯虚数，，且，，，.【小问2详解】
由（1）知，方程的一根为，则另一根为：，则，解得：，.17.已知，是同一平面内的两个向量，其中，且．（1）若，求的坐标；（2）若，求与夹角．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设，按照向量的坐标表示计算即可；（2）根据数量积与模、夹角的关系转化即可.【小问1详解】设．因为，，所以即又因为，所以．解之得时，或时，，所以或．【小问2详解】记与夹角为．因，所以，则，即，所以，
又因为，所以．18.为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，．（1）求的值；（2）求这100户居民问卷评分的中位数；（3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在内的概率．【答案】（1）0.02（2）77.5（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件,由频率分布直方图中各组矩形面积之和等于1,即可求出的值;（2）结合频率分布直方图的性质,以及中位数的定义,即可求解;（3）根据已知条件,结合分层抽样的定义,列举法,以及古典概型的概率公式,即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图可得,,解得;【小问2详解】由频率分布直方图可得,，
则中位数在之间,设为,则,解得,故中位数为77.5分;【小问3详解】评分在对应的频率为0.1,0.2,从评分在和内的居民中共抽取6人,则评分在占2人,设为,评分在占4人,,从6人中选取2人的情况为:,共15种,其中这2人中恰有1人的评分在的情况为:,共8种,故这2人中恰有1人的评分在内的概率为:.19.已知中，．（1）求A的大小；（2）若D是边AB的中点，且，求的取值范围，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到，即可求出；（2）设，利用正弦定理表示出，，设，利用辅助角公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】在中，由正弦定理有，，，即，
在中，由余弦定理，有，，则，即，，∴.【小问2详解】如图，设，则，，在中,根据正弦定理，有，，，设，又，所以在上单调递增，所以，即，所以的取值范围为．20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，，，E，F分别是PC，BD的中点．
（1）求证：平面PAD；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求三棱锥的体积．条件①：G是棱BC上一点，且；条件②：G是PB的中点；条件③：G是的内心（内切圆圆心）．注；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AC，则AC与BD交于点，推导出，由此能证明平面PAD；（2）选择①从而平面PDC，再推导出三棱锥的高为，由此能求出三棱锥的体积；选择条件②：推导出，从而平面PDC，再推导出三棱锥的高为，由此能求出三棱锥的体积；选择条件③：推导出，从而平面PDC，设的内切圆与PC边相切于点，则，三棱锥的高为GH，由此能求出三棱锥的体积.【小问1详解】连接，则与交于点，在中，,均为中点，，平面平面，平面.【小问2详解】选择条件①平面平面，，又底面ABCD是矩形,，平面，平面，是的三等分点，且，
三棱锥的高为，底面底面ABCD，，在中，为中点，，三棱锥的体积为:.选择条件②同条件①得到平面,是PB中点，是PC中点，在中,，三棱锥的高为,底面底面ABCD，，在中,为PC中点，，三棱锥的体积为：.选择条件③同条件①得到平面，设内切圆与PC边相切于点，则，平面平面，三棱锥的高为GH，在Rt中，，，，，底面底面ABCD，，在中,为PC中点,
，三棱锥的体积为：.21.如图，在直三棱柱中，点M在棱AC上，且平面，，，．（1）求证：M是棱AC的中点；（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，【解析】【分析】（1）连接与,两线交于点,连接OM,利用线面平行的性质可得，再由三角形中位线性质即可证;（2）应用线面垂直的性质、判定可得平面,从而得到,根据和得到,再利用线面垂直的判定即可证;
（3）当点为的中点,设的中点为,连接DM,DN,先证四边形BNDM为平行四边形,从而得到,进而有平面,再利用面面垂直的判定即可证.【小问1详解】连接与,两线交于点,为的中点,连接OM,因为平面，平面,平面平面，所以,又在中为的中点,所以M是AC的中点;小问2详解】因为底面平面ABC,所以,又为棱AC的中点,,所以,因为平面,所以平面平面,所以,因为,所以,又,在Rt和Rt中,,所以,即,所以,又平面,所以平面;【小问3详解】当点为的中点,即时,平面平面
证明如下:设的中点为,连接DM,DN,因为DM分别为的中点,所以且,又为的中点,所以且,所以四边形BNDM为平行四边形,故,由（2）知平面,所以平面,又平面,所以平面平面.
