四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高2023届高三下学期三诊模拟数学（文科） Word版含解析

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成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高2020级高三三诊模拟文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由指数函数的性质，求得集合，再结合集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由函数，当时，可得，即集合，又由集合，所以.故选：A.2.已知复数为虚数单位)，则的虚部为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由条件中的复数相等，应用复数的四则运算得，即可写出，进而可确定其虚部.

1【详解】由，∴，其虚部为.故选：B.3.构建德､智､体､美､劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某中学为了落实五育并举，全面发展学生的素质，积极响应党的号召，开展各项有益于德､智､体､美､劳全面发展的活动.如图所示的是该校高三（1）､高三（2）班两个班级在某次活动中的德､智､体､美､劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）.下列说法正确的是（）实线：高三（1）班的数据虚线：高三（2）班的数据A.高三（2）班五项评价得分的极差为B.除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C.各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大D.高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高【答案】D【解析】【分析】根据题意可得各班的各项得分，根据分值逐项分析判断.【详解】由题意可得：高三（1）班德､智､体､美､劳各项得分依次为，高三（2）班德､智､体､美､劳各项得分依次为.对于A：高三（2）班五项评价得分的极差为，A错误；对于B：两班的德育得分均为，两者相等，B错误；对于C：两班的德育得分相差；

2两班智育、体育和美育得分相差均为；两班的劳育得分相差；故两个班的劳育得分相差最大，C错误；对于D：高三（1）班得分的平均数为，高三（2）班得分的平均数为，∵，故高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高，D正确.故选：D.4.已知函数的部分图像如图，则函数的解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由奇偶性可排除AD，由特殊点可排除C，即可求解【详解】由于图像关于原点对称，所以为奇函数，对于A：由得：，为偶函数，故可排除A；对于D：由得：，为偶函数，故可排除D；由图知图象不经过点，

3而对于C：，故可排除C；故选：B5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为A.-8B.-15C.-20D.-21【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可.【详解】满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数经过坐标点A时，函数取得最小值，由解得目标函数的最小值为-20.故选C.【点睛】本题考查线性规划的截距式求最值，属于基础题.6.已知数列是公比为q的等比数列，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】

4【分析】先根据等比数列的性质，结合不等式，可以确定q的取值范围，然后根据充分性、必要性的定义选出正确答案.【详解】.显然由不一定能推出，但由一定能推出，因此“”是“”的必要不充分条件，故本题选B.【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，利用等比数列的性质是解题的关键.7.如图，某几何体三视图为三个完全相同的圆心角为90°的扇形，则该几何体的表面积是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是半径为1的八分之一球，画出直观图，根据球的表面积公式和扇形的面积公式，即可求出结果．【详解】由三视图可知，该几何体是半径为1的八分之一球，直观图如图所示．其表面积．故选：C.8.若曲线在处的切线与直线垂直，则实数（）A.1B.C.D.2【答案】B

5【解析】【分析】求出函数的导函数，即可表示出切线的斜率，再得到直线的斜率，根据两直线垂直斜率之积为得到方程，即可求出参数的值.【详解】因为，所以，则，所以曲线在点处的切线的斜率为，又直线的斜率，由切线与直线垂直可知，即，解得．故选：B．9.19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（）A.±3B.±4C.±5D.【答案】B【解析】【分析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相外切，从而列方程可求出的值．【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相外切，所以，．故选：B．10.已知双曲线的焦点为、，渐近线为，，过点且与

6平行的直线交于，若在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由条件联立方程组，求点坐标，结合点在以线段为直径的圆上，列关系式求离心率.【详解】由双曲线的对称性，不妨设的方程为，设双曲线的半焦距为，因为直线与直线平行，所以直线的方程为，又直线的方程为，联立，可得，故点的坐标为，因为在以线段为直径的圆上，所以，为坐标原点，所以，所以，所以双曲线的离心率，故选：A.

711.如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱，的中点．若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且平面，则与侧面所成角的正切值最大为（）A.2B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接、、、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出平面，说明点的轨迹为线段，结合线面角的定义求与侧面所成角的正切值最大.【详解】取的中点，连接、、、、，如图所示：在正方体中，且，因为、分别是棱、的中点，则且，

8所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面，平面，若，则平面，平面，所以，点在侧面内的轨迹为线段，因为平面，所以与侧面所成的角为，在，，所以，所以与侧面所成角的正切值为，在中，，所以，所以点到边的距离为，即的最小值为，所以与侧面所成角的正切值的最大值为，故选：D.12.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（）A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】【分析】根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用

9，根据在上是减函数可得出在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间这三个周期内上有6个实数根，和为30.【详解】由知函数的图象关于直线对称，∵，是R上的奇函数，∴，∴，∴的周期为4，考虑的一个周期，例如，由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，对于奇函数有，，故当时，，当时，，当时，，当时，，方程在上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，则由于，故方程在上有唯一实数，在和上，则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，当，方程的两实数根之和为，当，方程的所有6个实数根之和为

10.故选：A.【点睛】本题考查了由可判断关于对称，周期函数的定义，增函数和减函数的定义，考查了计算和推理能力，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.已知向量，方满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为______.【答案】【解析】【分析】先利用已知条件求得，接着求解向量的模长，最后根据向量夹角公式求解即可.【详解】因为，，且与的夹角为，所以，所以，，设向量与的夹角为，所以，又因为两向量所成夹角范围为，所以向量与的夹角为，故答案为：.14.在等差数列中，，则数列的前11项和＝___．【答案】【解析】

11【分析】先利用等差数列的性质求出，再通过求和公式计算即可.【详解】由等差数列的性质可得，，.故答案为：.15.从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为______．【答案】##0.6【解析】【分析】利用组合数及古典概型的概率公式求解．【详解】从正六边形6个顶点中任取3个，有个三角形，其中直角三角形如图每边对应2个，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12个，所以所求概率为．故答案为：．16.已知函数的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是的最小正零点，则__________.【答案】1【解析】【分析】根据函数两个相邻的零点之差的绝对值求出周期和，再根据的最小正零点求出，即可求出的值．【详解】令函数，得，所以函数两个相邻的零点之差的绝对值为，即，解得，

12又因为是的最小正零点，所以，即，所以，，解得，，又，所以，即，所以．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17.已知分别为锐角ABC内角的对边，．（1）证明：；（2）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角恒等变换解决即可；（2）由条件求的范围，结合正弦函数性质求的范围，利用三角恒等变换得，由此可求其范围.小问1详解】∵．∴，∴，因为为锐角三角形内角，所以，，所以，所以，即；【小问2详解】

13由题意得，解得，所以，由正弦定理得，因为函数在上单调递减，所以当时，，所以当时，，所以，∴的取值范围为．18.在四棱锥中，为等边三角形，，，点E为的中点．（1）证明：平面；（2）已知平面⊥平面，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】

14【分析】（1）作出辅助线，证明出面面平行，进而得到线面平行；（2）作出辅助线，由面面垂直得到PO⊥平面ABCD，结合，求出各边长，利用线段比例关系和等体积法求解三棱锥的体积.【小问1详解】证明：取的中点M，连，∵E为中点，∴，又平面PAD，平面PAD，∴平面，又∵为等边三角形，∴⊥,∵，，∴，，∴⊥，∴，又平面，平面，∴平面，，平面，∴平面平面，∵平面，∴平面．【小问2详解】连接AC交BD于O，连接PO，因为，垂直平分，故O为BD中点，AC⊥BD，因为，所以⊥，

15∵平面PBD⊥平面ABCD，交线为，平面，∴PO⊥平面ABCD，∵，∴，由勾股定理得，法1：因为⊥，，所以，因为，为中点，所以，法2：因为⊥，，所以，因为为中点，所以.19.随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.华为技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为.（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益.

16回归模型模型①模型②回归方程182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数，，）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：【答案】（1）回归模型②，72.93（亿元）；（2）投入20亿元时，公司的实际收益更大.【解析】【分析】（1）根据表中数据比较和可判断拟合效果，进而求出预测值；（2）求出，进而求出，得出回归方程得求出结果.【详解】解：（1）由表格中的数据，，∴，∴可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数.所以回归模型②的拟合效果更好.所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）.

17（2）当时，由已知可得，.∴.∴当时，y与x满足的线性回归方程为.当时，科技升级直接收益的预测值为亿元.当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，∴技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大.20.已知函数和函数，且有最大值为．（1）求实数a的值；（2）直线y＝m与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，且，证明：．【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据的单调性得到最大值为，然后列方程求解即可；（2）根据交点情况得到，然后再结合的单调性即可得到，即可证明.【小问1详解】的定义域为R，且，，当时，，递增；当时，，递减；所以，所以，解得，又，所以a＝1.【小问2详解】

18证明：由（1）可知：在递增，在递减，又，所以在递增，在递减，和的图象如图所示：设和的图象交于点A，则当直线y＝m经过点A时，直线y＝m与两条曲线和共有三个不同的交点，则，且，，，因为，所以，即，因为，，且在递增，所以，所以，因为，所以，即，因为，，且在递减，所以，所以，所以，即．【点睛】函数零点问题：（1）转化为方程的根；（2）转化为函数与轴交点的横坐标；

19（3）转化为两个函数图象交点的横坐标.21.设椭圆过点，且左焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，证明：面积为定值，并求出该定值．【答案】（1）（2）证明见解析，定值为【解析】【分析】（1）根据给定的条件，列出的方程组，求解作答.（2）根据给定条件，利用共线向量探求出直线的方程，与椭圆的方程联立，求出长，结合三角形面积公式求的面积.【小问1详解】由题意得，解得，所以椭圆C的方程为．【小问2详解】设点的坐标分别为，，．由题设知，，，均不为零，记，则且又四点共线，从而，

20于是，，，从而①，②，又点在椭圆上，即③，④，①＋②×2并结合③、④得，即点总在定直线上．∴所在直线为上．由消去y得，，设，则，于是，又到的距离，∴∴面积定值为．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

21选修4－4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线和的极坐标方程分别为和和与曲线分别相交于两点（两点异于坐标原点）.（1）求的极坐标方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程可得曲线的普通方程，再结合极坐标与直角坐标之间的转化运算求解；（2）根据题意结合极坐标的几何意义运算求解.【小问1详解】曲线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，整理得，根据，转换为极坐标方程为，即.【小问2详解】根据题意可设两点的极坐标分别为，则，所以.

22选修4－5：不等式选讲23.设函数的最大值.（1）求；（2）已知、、均为正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可求得；（2）求得，利用基本不等式可证得所证不等式成立.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，；（2）由（1）可得，，同理可得，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，.【点睛】方法点睛：证明不等式，基本方法如下：（1）作差法：利用差的符号判断两个代数式的大小关系，作差后需利用因式分解、配方法等判断各因式的符号；（2）作商法：当两个代数式符号相同时，利用商与的大小关系来判断两个代数式的大小关系；