浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学Word版含解析

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2022学年高二年级第二学期台州八校联盟期中联考数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.曲线在点处的切线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由导数的几何意义求解即可.【详解】因为，所以，，设线在点处的切线的倾斜角为，由导数的几何意义知，即.所以曲线在点处的切线的倾斜角为.故选：B.2.（）A.22B.24C.66D.68【答案】A【解析】【分析】由排列数公式和组合数公式计算可得答案.

1【详解】.故选：A.3.已知随机变量X的分布列如下表，若，则（）X3aPbA.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】根据分布列的性质有且，结合已知即可求参数.【详解】由且，故，所以，即故选：C4.一质点在单位圆上做匀速圆周运动，其位移满足的方程为，其中h表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s），则质点在时的瞬时速度为（）A.sin2m/sB.cos2m/sC.2sin2m/sD.2cos2m/s【答案】D【解析】【分析】求出可求质点在时的瞬时速度，从而可得正确的选项.【详解】因为，所以，所以质点在时的瞬时速度为2cos2m/s．故选：D.5.某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A.种B.种C.种D.种【答案】A【解析】【分析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区.

2【详解】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分种情况，第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，所以共（种）选派方案，故选：A.6.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A.B.C.1D.4【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，求解即可.【详解】因为，所以，因为随机变量服从正态分布，所以，解得：.故选：D.7.设常数，展开式中的系数为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理，先得出其通项，再待定系数求参数即可.【详解】设展开式的通项为：，由题意可得：当时，.故选：B

38.已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题设条件构造函数，根据已知不等式分析的单调性，再根据特殊值判断需满足的不等式，即可求出解集.【详解】由可得，设，则，，在上为减函数，又由，可得，.故选A.【点睛】常见的利用导数的不等关系构造函数的类型：（1）若已知，可构造函数：分析问题；（2）若已知，可构造函数：分析问题；（3）若已知，可构造函数：分析问题；（4）若已知，可构造函数：分析问题.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在的展开式中，下列结论正确的有（）A.二项式系数之和为64B.所有项的系数之和为1C.常数项为160D.所有项系数的绝对值之和为729【答案】ABD【解析】

4【分析】A：二项式系数之和为，直接代入即可.B：所有项的系数之和只需代入，即可求得.C：展开式中常数项可利用通项，令的指数为0可得.D：所有项系数的绝对值之和，可利用通项计算每一项系数，再相加.【详解】对于A：二项式系数之和为，所以A正确；对于B：令，得，所以所有项的系数之和为1，故B正确；对于C：通项为，由，得，所以，故C错误.对于D：因，所以所有项系数的绝对值之和为，故D正确.故选：ABD10.已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】构造函数，利用导函数判断函数的单调区间，再根据函数的单调性逐一判断即可．【详解】令，则，所以在区间递增；在区间递减，所以，即，即，故A错误；所以，即，即，故B正确；

5所以，即，即，故C错误；所以，即，即，故D正确.故选：BD.11.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B：“学生丙最后一个出场”，则下列结论中正确的是（）A.事件A包含78个样本点B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】利用分步分类计数，结合组合排列数求事件A、事件B、事件的样本点数，再应用古典概率求法求、，最后由条件概率公式求.【详解】问题等价于5个人安排到5个座位，事件A：甲不在首位，乙不在末位，安排甲（除首位）到其中4个座位上，分两种情况：若甲不在末位有种，再安排乙有种，其它同学作全排有，共有；若甲在末位有1种，余下同学（含乙）作全排有，共有；所以，事件A包含78个样本点；事件B：除丙以外的其它同学作全排有；事件：把丙安排在末位，再安排甲在中间3个位置有种，其它同学作全排有，共有；而5位同学所有可能安排有.所以，，而，综上，A、B正确，C、D错误.故选：AB12.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，

6是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（）A.一定有两个极值点B.函数在R上单调递增C.过点可以作曲线的2条切线D.当时，【答案】BCD【解析】【分析】对求导，得出，没有极值点，可判断A，B；由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C；求出三次函数的对称中心，由于函数的对称中心为，可得，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知，，恒成立，所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；设切点为，则，切线方程为，代入点得，即，解得或，所以切线方程为或，C正确；易知，令，则．当时，，，所以点是的对称中心，

7所以有，即．令，又，所以，所以，D正确．故选：BCD.非选择题部分三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.随机变量X服从二项分布，且，，则p的值为___________.【答案】##0.25【解析】【分析】根据题意得到，再解方程组即可.【详解】由题知：.故答案为：14.函数的单调递减区间为___________.【答案】【解析】【分析】通过求导，解导函数小于零的不等式解集即可.【详解】由题意得：，令.即函数的单调递减区间为.

8故答案为：15.如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凹数（如201，325等），那么由数字0，1，2，3，4，5能组成___________个无重复数字的凹数.【答案】40【解析】【分析】讨论首位分别为1、2、3、4、5，再依次安排中间位置上的数字，并求出对应凹数的个数，最后加总即可.【详解】当首位为1，中间位置为0有4个凹数；当首位为2，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；当首位为3，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；当首位为4，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；中间位置为3有1个凹数；当首位为5，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；中间位置为3有1个凹数；综上，共有40个无重复数字的凹数.故答案为：4016.已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】先证，当时，在上单调递增，可得恒成立；当时，可得，即可求解结果．【详解】由题意可知，令，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，则恒成立；由，则当时，，即在上单调递增，则对

9恒成立，满足题意；当时，由得或又因为且函数为奇函数，所以可得，解得，则，综上，实数的取值范围为．故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）求方程中x的值（其中）：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由排列组合数公式列方程求解即可；（2）赋值法求得、，即可求部分系数和.【详解】（1）因且，所以，解得.（2）令，则；令，得；所以.18.已知函数在时取得极值，在点处的切线的斜率为.（1）求的解析式；（2）求在区间上的单调区间和最值.【答案】（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为；，.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据给定条件建立方程组求解并验证作答.（2）利用（1）中信息，利用导数求解函数的单调区间及最值作答.【小问1详解】

10对函数求导得：，依题意，，解得：，此时，，当时，，当时，，即在时取得极值，所以的解析式是.【小问2详解】由（1）知，，，，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，则，而，因此，所以在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为，，.19.有4名男生、3名女生，全体排成一行，间下列情形各有多少种不同的排法：（1）甲、乙两人必须排在两端；（2）男女相间；（3）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．【答案】（1）240（2）144（3）840【解析】【分析】（1）先排甲、乙，再排其余5人，根据分步计数原理即可求得答案；（2）先排4名男，再利用插空法排女生，根据分步乘法计数原理即可得出答案；（3）法一：首先求出7人排成一列的全排列，其中甲，乙，丙三人的排列顺序有，其中按照甲、乙、丙顺序的排法占全排列种数的，从而得出答案；法二：先排剩下的4人，从7个位置选出4个位置有种，再排甲、乙、丙即可．【小问1详解】先排甲、乙，再排其余5人，根据分步计数原理，共有种排法．

11【小问2详解】先排4名男生有种方法，再将3名女生插在男生形成的3个空上有种方法，根据分步计数原理，共有种排法．【小问3详解】法一：7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，故共有种排法．法二：先排剩下的4人，从7个位置选出4个位置就有，再排甲、乙、丙有1种，则共有种排法．20.已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若恰有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线在处的切线方程；（2）首先应用导数研究函数的单调性、值域，再由零点个数有求参数范围.【小问1详解】由的定义域为，当时，则，，则，又，即切点为，∴所求切线方程为.【小问2详解】由且，，

12令得：，则上，上，在单调递减，在单调递增，又有两个零点，趋向于0或时趋向，只需，即，可得，综上，a的取值范围是.21.某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题．已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的．（1）求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率；（2）设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．【答案】（1）（2）分布列见解析，，选择甲班代表学校参加比赛更好【解析】【分析】（1）利用对立事件：甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，利用超几何分布和二项分布运算求解；（2）利用超几何分布和二项分布求分别求期望和方差，分析理解判断．【小问1详解】设甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道问题为事件A由于甲班5人中有3人可以正确回答这道题目，故从甲班中抽取的3人中至少有1人能正确回答这道题目故事件为甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，具体情况为甲班1人回答正确，其他5人回答错误或甲班2人回答正确，其他4人回答错误或甲、乙两班各1人回答正确，其他4人回答错误因为

13所以【小问2详解】X的所有可能取值为1，2，3，，所以X的分布列为X123P所以因为乙班能正确回答题目的人数，所以，即．因为，，，所以甲、乙两个班级能正确回答题目的人数的期望相等，但甲班的方差小于乙班，所以选择甲班代表学校参加比赛更好．22.已知函数．（1）求函数的极值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．【答案】（1）无极大值；极小值是；（2）3．【解析】【分析】(1)求出的定义域及导数，再利用导数正负讨论函数的极值即可得解；(2)利用恒成立的不等式分离参数，构造函数并探讨其最小值即可作答.【详解】（1）函数的的定义域为，，，，，，

14即函数在单调递减，在单调递增，所以的极小值是，无极大值；（2）因为对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，令，则，于是得函数在上单调递增，而，，方程在上存在唯一实根，并满足，当时，，即，当时，，即，从而得函数上单调递减，在上单调递增，即有，则，所以整数的最大值是3．

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