浙江省北斗星盟2021-2022学年高二下学期5月联考数学Word版含解析

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2021~2022学年高二年级第二学期浙江北斗星盟5月阶段性联考数学试题一､选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求解集合，再利用交集运算即可.【详解】解：因为，故；又，则，解得,故.故选：B.2.下列说法正确的是（）A.命题的否定是B.向量的夹角为钝角的充要条件是C.命题，则是真命题D.设，则“且”是“且”的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用特称命题的否定为全称命题可判断A，利用向量数量积的定义可判断B，利用辅助角公式及三角函数的性质可判断C，利用充分不必要条件的定义可判断D.【详解】命题的否定是，故A错误；向量的夹角为钝角的充要条件是且不平行于，故B错误；因为，所以命题为真命题，则

1是假命题，故C错误；由“且”可推出“且”，而由“且”推不出“且”，故“且”是“且”的充分不必要条件，故D正确.故选：D.3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】AB选项，可以举出反例，C选项，可以通过面面垂直的性质和线面垂直的性质进行证明；D选项可以证明出.【详解】如图，满足，但不垂直，A错误；若，则或异面，或相交，B错误；因为，则或，又因为，所以，C正确；因为，所以，又因为，设，则，所以则，D错误.故选：C4.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）（是自然对数的底数）

2A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据图象观察函数定义域和在处的函数值符号可排除错误选项.【详解】由图知，，可排除BC；又由图可知，因为选项D中函数，则，故D错误.故选：A5.用这五个数字能组成无重复数字且与不相邻的五位数的个数有（）A.36B.48C.60D.72【答案】C【解析】【分析】根据题意分当在万位，当在万位，当在万位和当在万位四种情况分别求解即可.【详解】根据题意：当在万位时，千位不能排，所以千位有：种，再排列剩下的数字有：，所以当在万位时，共有：种；当在万位时，先排和，有：种，会出现三个空，再将数字和插入三个空，有种，所以当在万位时，共有：种；当在万位时，千位不能排，所以千位有：种，再排列剩下的数字有：，所以当

3在万位时，共有：种；当在万位时，先排和，有：种，会出现三个空，再将数字和插入三个空，有种，所以当在万位时，共有：种；综上所述：满足条件的方法共有：.故选：C.6.某种品牌摄像头的使用寿命服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为，使用寿命不少于6年的概率为，某单位同时安装了5个这种品牌的摄像头，则满4年时至少还有4个摄像头能正常工作的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合正态分布的对称性先求得使用寿命不少于4年的概率，然后由二项分布的概率公式可得.【详解】记摄像头的使用寿命为X，则，由题知所以，所以，所以记满4年时还能正常工作的摄像头个数为Y，则所以.故选：B7.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】

4【分析】关于轴对称的函数为：，函数与图象上存在关于轴对称的点，即有解，通过数形结合即可得解.【详解】关于轴对称的函数为：，函数与图象上存在关于轴对称的点，即有解，即，整理的：，和的图像存在交点，如图：临界值在处取到（虚取），此时，故当时和的图像存在交点，故选：B.8.已知点在所在平面内，为锐角，且，，当取得最小值时，（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，利用数量积的定义可得，进而可得，利用基本不等式即得.

5【详解】设，则，由，，∴，即因为，当且仅当，即时，取得最小值，∴当取得最小值时，.故选：C.二､多选题（本大题共4题，每小题5分，共20分，每小题列出的四个备选项中有多个选项符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是奇函数B.是偶函数C.的图像关于直线对称D.【答案】AB【解析】【分析】根据正弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为，所以为奇函数，故A正确；为偶函数，故B正确；

6令，解得，故函数的对称轴为，故C错误；若时令，，解得，，故在，上单调递增，则，若时令，，解得，，故在，上单调递减，则，故D错误；故选：AB10.将甲､乙､丙3名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄各派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”；表示事件“医生乙派往③村庄”，则（）A.事件与是互斥事件B.事件与相互独立C.D.【答案】AC【解析】【分析】用古典概率公式分别求出，，，，，再利用互斥事件和独立事件性质即可判断A和B，再利用条件概率即可判断C和D.详解】根据题意得：将甲､乙､丙3名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动每个村庄各派1名医生，共有种不同情况；事件包含的基本事件数为：；事件包含的基本事件数为：；事件包含的基本事件数为：；事件包含的基本事件数为：；事件包含的基本事件数为：；对于A：因为事件与不可能同时发生，所以事件与是互斥事件，故A正确；对于B：，，，因为，所以事件与相互不独立，故B错误；

7对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：AC.11.如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交棱于E，交棱于F，给出下面几个命题中真命题是（）A.四边形有可能是正方形B.平面有可能垂直于平面C.设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线D.四棱锥的体积为定值【答案】BCD【解析】【分析】由线面垂直的判定判断A；取为的中点，再由面面垂直判定判断B；由公理3判断C；由以及，平面判断D.【详解】如果四边形是正方形，则，因为，所以平面，又平面，E与A重合，此时不是正方形，故A错误；当两条棱上的交点是中点时，四边形为菱形，平面，此时四边形垂直于平面，故B正确；由与DC的延长线交于M，可得，且，又因为平面，平面ABCD，所以平面，平面ABCD，

8又因平面，平面ABCD，所以平面平面，同理平面平面，所以BM，BN都是平面与平面ABCD的交线，所以B，M，N三点共线，故C正确；由于，，平面，则E，F到平面的距离相等，且为正方体的棱长，三角形的面积为定值，所以四棱锥的体积为定值，故D正确.故选:BCD.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，恒成立B.当时，必有零点C.若有两个极值点，则D.若在上单调递增，则【答案】ABD【解析】【分析】A选项，二次求导，得到当时，，单调递减，当时，，单调递增，，A正确；B选项，转化为两函数的交点问题，画出图象，数形结合求解；C选项，构造差函数，求解极值点偏移问题；D选项，问题转化为若在上单调递增，则恒成立，求出，结合，证明出结论.【详解】A选项，，，令，则有，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在取得极小值，也是最小值，

9，又，所以当时，，当时，，且当时，恒成立，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极小值，也最小值，，A正确；B选项，当时，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在处取得极小值，也是最小值，，且当时，恒成立，而为过原点的直线，画出与的图象如下：无论为何值，两函数均有交点，即必有零点，B正确；若有两个极值点，则要有两个异号零点，设为，则有令，则，

10当时，，当时，，则有，构造函数，则有则，所以在R上单调递增，因为，所以，即，又因为，所以，其中，而当时，，单调递减，故，所以，C错误；若在上单调递增，则恒成立，令，则，当时，，当时，，在处取得极小值，也是最小值，其中，所以，整理得：，其中，理由如下：设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极小值，也是最小值，，即，所以，所以，则，D正确.故选：ABD

11【点睛】对于极值点偏移问题，通常做题思路是构造差函数进行求解，处理函数零点问题，若函数本身含有参数，不易分类讨论时，可以考虑转化为两函数交点问题，数形结合进行求解，往往会事半功倍.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.复数（是虚数单位），则___________.【答案】【解析】【分析】由复数除法化简，然后根据复数的模的公式直接可得.【详解】故答案为：14.设，则的值为______【答案】7【解析】【分析】先换元将展开式化简，再用赋值法求解.【详解】换元：令，则原展开式化为所以，令，有所以.故答案为：7.15.若正实数满足，则最小值是__________.【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最小值.【详解】依题意，当且仅当时等号成立，化简得，

12即，由于为正实数，所以.故答案为：16.已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】【分析】构造函数，通过题干条件得到为奇函数，且在R上单调递增，从而根据单调性解不等式，求出解集.【详解】因为定义在上的函数满足，所以设，则，所以为奇函数，因为，都有，当时，则有，即，所以，所以在上单调递增，当时，则有，所以，

13所以在上单调递增，综上：在上单调递增，因为为奇函数，则在R上单调递增，变形为：，即，所以，解得：.故答案为：四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知函数.（1）求函数单调递增区间；（2）在中，分别为内角的对边且满足，求角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数，整体代换求解函数的单调区间即可；（2）根据函数的解析式，求解的值，利用正弦定理即可求解角的大小.【小问1详解】解：（1）由得所以函数单调递增区间为.【小问2详解】

14解：由得由及正弦定理得，即化简得，所以.18.某汽车总公司计划在市的区开设某种品牌的汽车专卖分店.为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.（个）23456（百万元）346（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（2）如果总公司最终决定在A区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该种品牌的汽车，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买这种汽车.依据小概率值的独立性检验，试问两个店的顾客下单率有无差异？参考公式：，.【答案】（1）（2）两个分店下单率没有差异【解析】【分析】（1）根据表中数据计算平均数和回归系数即可写出线性回归方程；（2）根据已知条件得出的列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.【小问1详解】

15由上表数据可知，，，，，设关于的线性回归方程为，则，，关于的线性回归方程为；【小问2详解】设零假设为：两个分店顾客下单率无差异，则由题意可知列联表如图所示：不下单下单合计分店一25530分店二602080合计8525110根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以两个分店下单率没有差异.19.近两年，新冠疫情给人们的生活带来了极大的改变，各国的科学家对该病毒进行研究，取得了不错的进展.对新冠的研究，有病理上的研究和统计学上的研究.某统计学家对20000份核酸检测呈阳性的病人进行追踪统计，得到如下统计表：无症状人数轻症状人数重症状人数病危人数合计

16人数400080006000200020000治愈率100%95%80%60%由于统计的样本足够多，所以上述频率可以看成其发生的概率.（1）用随机变量表示事件无症状，表示事件轻症状，表示事件重症状，表示事件病危，求随机变量X的分布列，并求其期望和方差；（2）新冠疫苗的作用之一就是降低重症状和病危的概率，使得重症状人数的一半和病危人数的一半转化为轻症状者.某人在核酸普查中很遗憾地发现呈阳性，但幸运的是他曾经打过新冠疫苗，求他能被治愈的概率.【答案】（1）分布列见解析；期望；方差（2）【解析】【分析】（1）分别计算出的概率，列出分布列，按照公式计算期望和方差即可；（2）分别计算出该患者是病危患者、重症状患者、轻症状患者、无症状患者的概率，再结合治愈率计算出被治愈的概率即可.【小问1详解】由题意知：，，，，故随机变量X的分布列为：0123期望，方差；【小问2详解】由题意知：该患者是病危患者的概率为，是重症状患者的概率为，是轻症状患者的概率为，是无症状患者的概率为，

17所以他能被治愈的概率为.20.已知平行四边形中，分别是，的中点，将菱形沿折至的位置，使得二面角的平面角为，连接，得到斜三棱柱.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到，从而证明出线面垂直，得到线线垂直；（2）作出辅助线，找到直线与平面所成角，求出各边长，求出正弦值.【小问1详解】连接交于，连接，BF，DE，∵平行四边形中，分别是，的中点，∴△ABF为等边三角形，∴BF=BE=DF=DE，

18∴四边形BFDE为菱形，平面【小问2详解】过D作于，连接.平面平面平面.即为直线与平面所成的角.设，则，∵二面角的平面角为，∴由第一问知：为二面角平面角的补角，∵，∴，，其中，由勾股定理得：21.已知函数.（1）求函数在上的最小值；

19（2）记，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将配方，然后讨论其图象对称轴和区间的位置关系，即可求得答案；（2）设是的两根，根据结合根与系数的关系可得到，继而得，从而由，得到，整理为，解得a的取值范围.【小问1详解】由题意得，当即时，，当即时，，当即时，，故；【小问2详解】因为,设是的两根，则，不妨设，则，又因为集合，

20所以的解集为，则也是方程的两根，又因为是的两根，故，因此，故，则，又因，所以，即，即，解得即实数的取值范围.为.22.已知函数.（1）若函数有两个极值（i）求实数的取值范围；（ii）求极大值的取值范围.（2）对于函数，都有，则称在区间上是凸函数.利用上述定义证明，当时，在上是凸函数.【答案】（1）（i）；（ii）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）（i）求定义域，求导，分与两种情况，求出的取值范围；（ii）求出极大值点，结合在上单调递增，从而求出极大值的范围；（2）利用分析法，转化为证明，换元后得到即证

21非负，求导得到，证毕.【小问1详解】（i）函数的定义域为当时，有且只有一个极值点，故舍去.当时，，经检验，此时满足函数有两个极值，故的取值范围是.（ii）设的极大值点，则，则，，，∴在上单调递增.【小问2详解】要证，代入即证，，，.只要证：，

22即证：，令，即证非负，，当时，，时，，在递减，递增，结论成立.【点睛】证明多元不等式问题，要对不等式进行合理变形，化多元为单元问题，进行求解.

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