浙江省杭州市六县九校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学Word版含答案

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2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二（下）期中考试数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合㏈ލ濨ʄ濨ݔ濨ݔʄ濨ލ㏈，梾灰ى梾，若㏈()A.ލ濨ʄ濨ݔ濨ݔ灰ʄ濨ލ.B梾ݔ梾C.ލ濨ʄݔ濨ݔʄ濨ލ.D梾ݔ濨ݔ梾2.过点ݔ൏ʹ且与直线：濨䁞㏈灰平行的直线方程是()A.濨䁞㏈灰B.濨䁞㏈灰C.濨㏈灰D.濨䁞㏈灰3.在等差数列ލ梾中，若，则sinݔ䁞ʹ㏈()A.B.C.灰D.4.若平面向量与的夹角为灰，㏈ݔ൏灰ʹ，ʄʄ㏈，则ʄ䁞ʄ等于()A.B.C.D.5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列条件可以推出的是()A.，，B.，㏈，C.，，D.，，6.已知ݔ濨ʹ是定义在上的奇函数，当濨灰时，ݔ濨ʹ㏈濨濨，则ݔ濨ʹ在上的表达式是()A.㏈濨ݔ濨ʹB.㏈ʄ濨ʄݔ濨ʹC.㏈ʄ濨ʄݔ濨ʹD.㏈濨ݔʄ濨ʄʹ7.设公差不为灰的等差数列ލ梾的前项和为，则有，，成等差数列类比上述性质，若公比不为的等比数列ލ梾的前项积为，则有()A.，䁞，䁞，，ݔʹ成等比数列B.，，，，ݔʹ成等比数列C.，，，，ݔʹ成等比数列D.，，，，ݔʹ成等比数列ݔ濨ʹݔ濨ʹ8.已知函数，对濨，濨൏䁘，当濨ى濨有恒，时濨ى濨，则实数的取值范围为()ttA.ݔ.B䁘t൏ݔ൏䁘C.t൏䁞ʹD.൏䁞ʹ二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

19.已知函数ݔ濨ʹ㏈濨的图象经过点ݔ൏ʹ，则()A.ݔ濨ʹ的图象经过点ݔ൏ǡʹB.ݔ濨ʹ的图象关于轴对称C.ݔ濨ʹ在ݔ灰൏䁞ʹ上单调递减D.ݔ濨ʹ在ݔ灰൏䁞ʹ内的值域为ݔ灰൏䁞ʹ10.在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有个小球，标号分别为，，，，乙盒中有个小球，标号分别为，，现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件㏈“取到标号为的小球”，事件㏈取到标号为的小球”，事件㏈“两个小球标号都是奇数”，事件㏈“两个小球标号之和大于ǡ”，则()A.事件与事件相互独立B.事件与事件互斥C.ݔʹ㏈D.11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，以此类推设从上到下各层球数构成一个数列ލ梾，则()A.㏈ǡB.䁞㏈䁞C.灰㏈D.㏈㏈䁞12.已知函数ىى中其，ʹݔ㏈ʹݔ㏈ʹݔ若，ʹ濨ݔ濨㏈ʹ濨ݔ，则()A.ى䁞.BݔݔC.䁞䁞㏈D.的取值范围为ݔ灰൏ʹ第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知为虚数单位，复数㏈，则ʄʄ㏈______．14.若直线：濨䁞㏈灰与圆：濨䁞㏈灰相切，则实数㏈．15.在中，内角，，的对边分别为，，，且㏈，㏈䁞，则݋㏈______．濨16.设椭圆：䁞㏈ىىݔ灰ʹ的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且直线与濨轴垂直，直线的斜率为，则椭圆的离心率为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

217.ݔ本小题灰灰分ʹ为了加强对数学文化的学习，某校高二年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷ݔ满分灰灰分ʹ，并对整个高二年级的学生进行了测试现从这些学生的成绩中随机抽取了灰名学生的成绩ݔ单位：分ʹ，按照灰൏灰ʹ，灰൏灰ʹ，，ǡ灰൏灰灰䁘分成组，制成了如图所示的频率分布直方图ݔ假设每名学生的成绩均不低于灰分ʹ．ݔʹ求频率分布直方图中濨的值，并估计所抽取的灰名学生成绩的平均数；ݔʹ若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于灰分的学生中抽取人，再从这人中任意抽取人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在灰൏灰灰䁘的学生恰有人被抽到的概率．18.ݔ本小题灰分ʹ已知函数ݔ濨ʹ㏈濨݋濨䁞݋濨．ݔ数函求ʹݔ濨ʹ的最小正周期及其单调递增区间；ݔ，时䁘൏濨当ʹݔ濨ʹ灰恒成立，求的最大值．19.ݔ本小题灰分ʹ如图，在四棱锥中，平面，，且㏈，㏈，㏈，㏈，，为的中点．ݔʹ求证：平面；ݔʹ求直线与平面所成角的正弦值．

320.ݔ本小题灰分ʹ已知等差数列ލ梾的前项和为，且㏈，㏈，数列ލ梾满足，．ݔʹ求数列ލ梾和ލ梾的通项公式；ݔ：明证，为和项前的梾ލ列数，设ʹݔ．21.ݔ本小题灰分ʹ濨已知双曲线：㏈ݔ过且，为率心离的ʹ灰ى൏灰ىݔ൏ʹ．ݔʹ求双曲线的方程；ݔʹ若直线㏈濨䁞与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．22.ݔ本小题灰分ʹ已知函数ݔ濨ʹ㏈濨䁞濨䁞濨，．ݔ在数函求，㏈若ʹݔ൏ʹ处的切线方程；ݔʹ濨ݔ求，且，使，濨，濨数实在存若ʹݔ濨ʹ的取值范围．

4答案和解析1.【答案】【解析】【分析】根据交集的定义直接写出即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．【解答】解：㏈ލ濨ʄ濨ݔ濨ݔʄ濨ލ㏈，梾灰ى梾，㏈ލ濨ʄ灰ݔ濨ݔ梾，故选：．2.【答案】【解析】解：设过点ݔ灰㏈䁞濨是程方线直的行平灰㏈䁞濨：线直与且ʹ൏ݔʹ，将点的坐标代入直线的方程濨䁞㏈灰得䁞㏈灰，解得㏈，故所求直线方程为濨䁞㏈灰，即濨䁞㏈灰．故选：．设所求直线方程为濨䁞㏈灰，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解．本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．3.【答案】【解析】解：根据题意，在等差数列ލ梾中，若，则有㏈，则．故选：．根据题意，由等差数列的性质可得㏈，进而可得，计算可得答案．本题考查等差数列的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．4.【答案】

5【解析】解：因为平面向量与的夹角为灰，㏈ݔ൏灰ʹ，ʄʄ㏈，所以ʄʄ㏈，㏈ʄʄʄʄ݋㏈݋灰㏈，所以ʄ䁞ʄ㏈ݔ䁞ʹ㏈䁞䁞㏈䁞䁞㏈．故选：．先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于，，，，则与相交或平行，不符合题意；对于，，㏈，，则与有可能相交但不垂直，不符合题意；对于，，，则，又由，必有，符合题意；对于，，，，则，不符合题意．故选：．根据题意，由平面与平面垂直的判定定理，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查平面与平面垂直的判断，涉及直线与平面的位置关系，属于基础题．6.【答案】【解析】解：设濨灰，则濨灰，当濨灰时，ݔ濨ʹ㏈濨濨，ݔ，ʹ濨ݔ㏈濨䁞濨㏈ʹ濨ݔʹ濨ݔ㏈ʹ濨ݔ濨ʹ㏈濨濨．即当濨灰时，ݔ濨ʹ㏈濨濨．综上可得，ݔ濨ʹ㏈濨ݔʄ濨ʄʹ，故选：．根据题意求得当濨灰时，ݔ濨ʹ的解析式，综合可得ݔ濨ʹ在上的表达式．本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题．7.【答案】【解析】解：公差不为灰的等差数列ލ梾的前项和为，可类比为公比不为的等比数列ލ梾的前项的积，然后从运算的角度考虑，应该是等差数列前项的和满足：൏൏൏൏ݔʹ成等差数列，

6类比为：等比数列前项的积满足：൏൏൏൏ݔʹ成等比数列．故选：．利用类比推理的方法，结合等差类比等比、和类比积、差类比商等，进行判断即可．本题考查类比推理的基本思想，以及等差、等比数列的性质等，属于基础题．8.【答案】ݔ濨ʹݔ濨ʹ【解析】解：对濨，濨൏䁘，当濨ݔ濨ىʹ濨ݔ濨即，濨ى濨有恒，时濨ى濨ʹ恒成立．令，濨൏䁘，则，濨൏䁘，濨t濨则t濨灰在濨൏䁘上恒成立，可得在൏䁘上恒成立，濨t濨濨t濨t濨t濨ݔ濨ʹ令ݔ濨ʹ㏈，则ݔ濨ʹ㏈㏈．濨濨濨当濨ݔ，灰ىʹ濨ݔ，时ʹ൏ݔ濨当，减递调单ʹ濨ݔ，灰ݔʹ濨ݔ，时ʹ൏ݔ濨ʹ单调递增．ݔ㏈ʹ濨ݔʹ㏈t．实数的取值范围为ݔ൏t䁘．故选：．t濨t濨构造函数ݔ濨ʹ㏈濨ݔ濨ʹ，问题转化为ݔ濨ʹ灰在൏䁘上恒成立，即在൏䁘上恒成立，令ݔ濨ʹ㏈，濨濨利用导数求最值，即可求得实数的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】【解析】解：函数ݔ，ʹ൏ݔ点过经象图的濨㏈ʹ濨ݔʹ㏈，㏈，ݔ濨ʹ㏈濨㏈，濨显然，当濨㏈时，ݔ濨ʹ㏈，故A错误；显然，ݔ濨ʹ不是偶函数，故它的图象不关于轴对称，故B错误．在ݔ灰൏䁞ʹ上，ݔ濨ʹ㏈是减函数，故C正确；濨在ݔ灰൏䁞ʹ内，ݔ濨ʹ㏈ݔ灰൏䁞ʹ，故D正确，濨故选：．

7由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出函数的解析式，可得结论．本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．10.【答案】【解析】解：从甲盒、乙盒中分别随机抽取一个小球的样本空间为：ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，共种，事件包含的基本事件有：ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ݔʹ㏈㏈，事件包含的基本事件有：ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ݔʹ㏈㏈，事件包含的基本事件有：ލ൏梾，ݔʹ㏈，ݔʹݔ㏈ʹݔʹ，事件与事件相互独立，故A正确；事件和事件都有ލ൏梾，事件和事件不是互斥事件，故B错误；事件包含的基本事件有：ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，，故C正确；事件包含的基本事件有：ލ൏梾，ލ൏梾，ލ൏梾，，，，故D正确．故选：．列举出样本空间，根据题意和古典概型求出对应事件的概率即可．本题考查互斥事件、相互独立事件、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】【解析】解：对于，㏈，㏈䁞㏈灰，故A错误；对于，㏈ݔʹ，䁞㏈䁞，故B正确；对于，㏈，㏈，，㏈，且㏈，ݔ䁞ʹ上述各式相加得，㏈䁞䁞䁞䁞㏈，ݔʹ䁞ݔ䁞ʹ经检验：㏈满足㏈，㏈，灰㏈，故C错误；对于，由选项C可知㏈㏈ݔʹ，故D正确．ݔ䁞ʹ䁞故选：．根据题意，可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即㏈ݔʹ，

8即㏈䁞ݔʹ，利用等差数列的性质能求出结果．本题考查三角垛、等差数列的性质、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】【解析】解：因为ݔ濨ʹ㏈濨ݔ濨ʹ，所以，令ݔ濨ʹ㏈灰，解得濨㏈或濨㏈，当ݔ和ʹ൏ݔ为间区增递调单ʹ濨ݔ以所，ݔ濨或ى濨，时灰ىʹ濨ݔ൏䁞ʹ；当ݔ，ʹ൏ݔ为间区减递调单ʹ濨ݔ以所，ݔ濨ݔ，时灰ݔʹ濨ݔ濨ʹ的图象如右图所示，ݔݔݔݔݔݔ灰，ݔሻݔ灰则，ሻ㏈ʹݔ㏈ʹݔ㏈ʹݔ，故A错误；又ݔ濨ʹሻ㏈ݔ濨ʹݔ濨ʹݔ濨ʹ，所以，即，对照系数得䁞䁞㏈，故选项C正确；，故选项D正确；因为ݔ䁞ݔ得解，ݔʹ䁞ݔݔ以所，ݔݔ，故选项B正确．故选：．对ݔ㏈ʹݔ㏈ʹݔ设再，象图致大的数函得可而从，间区调单的数函断判数导用利，导求ʹ濨ݔʹ㏈ሻ，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断；又根据ݔ濨ʹሻ㏈ݔ濨ʹݔ濨ʹݔ濨ʹ，对照系数可得䁞䁞的值，可得得取值范围，从而可判断，；结合和即可判断．本题考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：复数㏈，则ʄʄ㏈䁞ݔʹ㏈．故答案为：．根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．

914.【答案】或【解析】解：由圆：濨䁞㏈灰，得濨䁞ݔʹ㏈，圆心为ݔ灰൏ʹ，半径为，直线：濨䁞㏈灰与圆相切，圆心ݔ灰൏ʹ到直线濨䁞㏈灰的距离，即ʄʄ㏈，㏈或㏈，故答案为：或．由直线：濨䁞㏈灰与圆濨䁞ݔʹ㏈，相切，可得圆心ݔ灰൏ʹ到直线濨䁞㏈灰的距离，可求．本题主要考查了直线与圆的位置关系：相切关系的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离㏈主，解答本题也可联立方程进行求解，属中档题．15.【答案】【解析】解：由正弦定理边角关系得：，又㏈䁞，所以㏈，由余弦定理得．故答案为：．根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：因为直线与濨轴垂直，将濨㏈代入椭圆的方程可得䁞㏈，解得㏈，因为直线的斜率为，易知点ݔ൏ʹ，因为点ݔ൏灰ʹ，所以，所以，即䁞㏈灰，等式䁞㏈灰两边同时除以可得t䁞t㏈灰，

10因为灰ݔtݔ，解得t㏈．故答案为：．求出点的坐标，根据可得出关于、的齐次等式，可得出关于t的二次方程，根据tݔ灰൏ʹ可求得t的值．本题主要考查椭圆的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：，这灰名学生的平均成绩为：灰䁞灰䁞灰䁞灰䁞ǡ灰㏈；ݔʹ后三组中的人数分别为，灰，，由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为，，，所以成绩在灰൏灰灰䁘的学生恰有人被抽到的概率为：．【解析】ݔʹ利用频率之和为，列式求解濨即可，利用平均数的计算公式求解即可；ݔʹ先利用分层抽样，求出后三组中所抽取的人数，然后由古典概型的概率公式求解即可．本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，频率分布直方图中平均数的求解方法，掌握频率分布直方图中频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力和计算能力，属于基础题．18.【答案】解：ݔ㏈濨݋䁞濨㏈ʹ濨ݔʹݔ濨䁞ʹ，故函数ݔ濨ʹ的最小正周期㏈㏈，由濨䁞䁞得濨䁞ݔʹ，函数ݔ濨ʹ的单调递增区间为൏䁞䁘൏；，，，由ݔ濨ʹ灰恒成立，得，即灰，故的最大值为灰．【解析】ݔ㏈ʹ濨ݔ到得换变等恒的形角三据根ʹݔ濨䁞ʹ，代入正弦函数的周期和单调区间公式即可求解；

11ݔ到得意题据根ʹݔ濨ʹ灰൏䁘，利用恒成立知识得到，即可求解．本题考查了三角函数的恒等变换和恒成立问题，属于中档题．19.【答案】证明：ݔʹ取中点为，连接，，如图所示，因为，分别是，的中点，所以且㏈，又因为且㏈，所以，㏈，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；解：ݔʹ取中点为，以为空间直角坐标系原点，为濨轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则ݔ，ʹ灰൏൏ݔ，ʹ灰൏൏灰ݔ，ʹ൏灰൏灰ݔ，ʹ灰൏灰൏灰ݔ൏൏灰ʹ，设平面的法向量为㏈ݔ濨൏൏ʹ，因为㏈ݔ㏈，ʹ൏൏灰ݔ൏灰൏灰ʹ，㏈䁞㏈灰濨㏈灰所以，令㏈，解得，㏈濨㏈灰㏈即㏈ݔ灰൏൏ʹ，又因为，所以直线与平面所成角的正弦值为ʄcosݔ，．

12【解析】ݔʹ根据线面平行的判定即可证明线面平行．ݔʹ取中点为，以为空间直角坐标系原点，为濨轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的坐标，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值．本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题．20.【答案】ݔʹ解：由题意，设等差数列ލ梾的公差为，则，整理，得，解得，，，对于数列ލ梾：当㏈时，，当时，由，可得，两式相减，可得，当㏈时，㏈也满足上式，㏈䁞，．ݔ由：明证ʹݔʹ可得，㏈ݔ䁞ʹ，则㏈ݔ䁞ʹݔ䁞䁞ʹݔ䁞ʹݔ䁞ʹݔ䁞ʹݔʹ䁞䁞㏈ݔ䁞䁞䁞䁞䁞䁞ʹ䁞䁞㏈ݔ䁞ʹ䁞䁞

13䁞㏈，ݔʹ䁞ݔ䁞ʹ，--䁞䁞㏈ݔʹ䁞ݔʹ䁞ݔʹ䁞ݔ䁞ʹ，数列ލ梾是单调递增数列，当㏈时，，当时，，，故不等式ݔ对任意恒成立．【解析】ݔʹ先设等差数列ލ梾的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列ލ梾的通项公式，对于数列ލ梾：先将㏈代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可计算出数列ލ梾的通项公式；ݔ第据根先ʹݔʹ题的结果计算出数列ލ梾的通项公式，再运用裂项相消法计算出前项和的表达式，然后将前项和的表达式构造成一个数列，运用作差法分析出数列ލ梾的单调性，再结合数列极限的知识与不等式的性质即可证明题干中不等式成立．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，构造法，数列极限，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．21.【答案】解：ݔʹ根据题意可得，解得㏈，㏈，所以双曲线的方程为濨㏈．ݔ，ʹ൏濨ݔ设：明证ʹݔ濨൏ʹ，

14联立，得ݔʹ濨䁞濨䁞䁞㏈灰，㏈ىʹ䁞ݔ灰，䁞，濨濨㏈，所以，所以㏈，所以直线的方程为㏈ݔ濨䁞ʹ，恒过定点ݔ൏灰ʹ．【解析】ݔʹ根据题意可得，解得，，即可得出答案．ݔ，ʹ൏濨ݔ设ʹݔ濨൏ʹ，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理得濨䁞濨，濨濨，再化简，得㏈，即可得出答案．本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：ݔʹ若㏈，则，，所以ݔ为率斜线切的处ʹ൏ݔ在ʹ濨ݔʹ㏈，又ݔʹ㏈，所以函数ݔ濨ʹ在ݔ൏ʹ处的切线方程为㏈ݔ濨ʹ，即㏈濨．ݔ为因ʹݔ濨ʹ㏈濨䁞濨䁞濨，所以，因为存在实数濨，濨，使，且，所以存在实数濨，濨，使濨䁞䁞濨䁞濨䁞䁞濨㏈灰，且，即，

15，设，ሻ记ݔሻʹ㏈䁞䁞ሻ，ሻ，所以ݔሻʹ在ݔ൏ʹ上单调递减，所以，即，所以ݔ濨ʹݔ濨ʹ取值范围是．【解析】ݔ在ʹ濨ݔ得可义意何几的数导由，ʹ濨ݔ得导求，则，㏈若ʹݔ൏ʹ处的切线斜率为ݔ又，㏈ʹݔʹ㏈，由点斜式，即可得出答案．ݔʹ根据题意可得，由存在实数濨，濨，使，且，进而可得，，计算ሻ，设，记ݔሻʹ㏈䁞䁞ሻ，求出ݔሻʹ的值域，即可得出答案．ሻ本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．

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