湖南省湘潭市重点高中联考(湘潭县湘钢一中等)2021-2022学年高一上学期期末联考数学Word版含解析

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2021年高一年级下学期期末考试数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出集合A，再与集合B求并集即可.【详解】因为，所以，所以.故选：A.2.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由含存在量词的命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】命题的否定在否定结论的同时，量词作相应改变，所以命题“，”的否定为，，故选：B.3.函数的部分图象大致为（）

1A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出的定义域可排除C、D，当时，可排除B，进而可得正确选项.【详解】由可得且，所以的定义域为且，由定义域可排除C、D，当时，，，可排除B，由排除法可知选项A正确；故选：A.4.已知，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】故选

25.设，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、三个数的大小关系.【详解】，即，且，故.故选：D.6.函数（）的最大值为（）A.B.1C.3D.4【答案】C【解析】【分析】对函数进行化简，即可求出最值.【详解】，∴当时，取得最大值为3.故选：C.7.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若.则（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.【详解】由得，∴.故选：A.

38.若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出，根据题意结合正弦函数图象可得答案.【详解】∵，∴，根据题意结合正弦函数图象可得，解得.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是奇函数B.的定义域是C.在上单调递增D.的图象的对称中心是，【答案】ACD【解析】【分析】利用奇函数的定义及诱导公式判断A；利用正切函数的性质判断BCD.【详解】对于B，令，得，

4可知的定义域为，故B错误；对于A，定义域关于原点对称，且，故是奇函数，故A正确；对于C，令，解得，当时，在上单调递增，故C正确；对于D，，得，即的图象的对称中心是，故D正确；故选：ACD10.下列函数中，最小正周期为，且在区间上为减函数的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据诱导公式化简选项A、C可得，利用周期公式及余弦型函数单调性的求解即可判断符合题意；对选项B：分析单调区间可知不符合题意；对选项D：切化弦化简函数解析式后分析单调区间可知不符合题意.【详解】解：对A：，，因为，而在上单调递减，所以在上为减函数，故选项A符合题意；对B：在上单调递增，故选项B不符合题意；对C：，以下分析同选项A，故选项C符合题意；

5对D：在上单调递增，故选项D不符合题意.故选：AC.11已知，，且，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用对数的运算及基本不等式判断A；利用基本不等式及完全平方和的公式可判断BC；利用基本不等式“1”的代换可判断D.【详解】对于A，∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，故A错误；对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，∵，∴，当且仅当时等号成立，故C错误.对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确；故选：BD12.设函数则下列命题正确的是（）A.当时，方程有1个实数解B.当时，方程有7个实数解C.当时，方程有8个实数解D.当时，方程有6个实数解【答案】ABD【解析】

6【分析】结合的图象可化为可判断A；当时，，，，有1个解，有3个解，有3个解可判断B；当、结合图象可判断C；当时，，结合图象可判断D.【详解】的图象如图所示，可化为，当时可得，在有1个解，A正确；当可得，，，在有1个解，在有3个解，在有3个解，则有7个实数解，B正确；当时可得，，，在有1个解，有4个解，有2个解，则有7个实数解；当时可得，，，，在时，有1个解；在时，有1个解；在时，有4个解；在时，有2个解；综上，有8个实数解，C错误；当时可得，，在时有4个解，在时，有2个解，则有6个实数解，D正确.

7故选：ABD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数是奇函数，则___________.【答案】1【解析】【分析】根据幂函数定义可构造方程求得，将值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.【详解】由题意得，∴或1，当时，是偶函数；当时，是奇函数.故答案为：1.14.已知函数对于任意实数x满足.若，则___________.【答案】3【解析】【分析】，即可求出答案.【详解】.故答案为：3.15.已知函数（）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将的图象上所有点向右平移个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则的最小正值为___________.【答案】##【解析】【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为得到及，由的图象上所有点向右平移个单位得到的图象关于y轴对称，可得.【详解】由题意的最小正周期，∴，，的图象上所有点向右平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，

8∴，，，，∴的最小正值为.故答案为：.16.当时，函数取得最大值，则___________.【答案】##【解析】【分析】由辅助角公式，正弦函数的性质求出，，再根据两角和的正切和公式，诱导公式求.【详解】（其中，），当时，函数取得最大值∴，，即，，所以，.故答案为：.四､解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）求；（2）设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）

9（2）【解析】【分析】（1）由指数、对数不等式可得、，再由补集、交集的定义即可得解；（2）转化条件为A是C的真子集，由集合间的关系即可得解.【小问1详解】由题意，，，∴，∴；【小问2详解】由“”是“”的必要不充分条件，所以A是C的真子集，当时，，不符合题意；当时，，由A是C的真子集，知；综上，的取值范围是.18.计算下列各题：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用指对幂运算性质化简求值；（2）利用对数运算性质化简求值.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式

10.19.已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求不等式的解集.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式转换为正弦型函数，进一步求出函数的最值．（2）利用函数伸缩变换后的表达式解三角不等式．【小问1详解】，所以当时，取得最小值.【小问2详解】由已知可得，∴，∴，∴的解集为，.20.已知函数为偶函数.（1）求a的值，并证明在（0，）上单调递增；

11（2）求满足的x的取值范围.【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用奇偶性可得，再利用单调性定义判断可得答案；（2）由偶函数的对称性可得在上单调递减，得，再解不等式可得答案.【小问1详解】由题意得，，∴对任意恒成立，∴，经检验，时为偶函数，任取，则，∴，∴在（0，）上单调递增.【小问2详解】由偶函数的对称性可得在上单调递减，∴，∴，∴满足x的取值范围.21.已知，，.（1）求，的值；（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先求出，再由同角三角函数基本关系求解即可；

12（2）根据角的变换，再由两角差的余弦公式求解.【小问1详解】∵，∴∵，∴，∴，且，解得，∴，.【小问2详解】∵，，∴，∴，∴.22.已知函数（，）的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；（3）求实数a和正整数n，使得（）在上恰有2021个零点.【答案】（1）（2）

13（3）当时，；当时，【解析】【分析】（1）根据图象的特点，通过的周期和便可得到的解析式；（2）通过换元转化为一元二次不等式的恒成立问题，根据二次函数的特点得到，然后解出不等式即可；（3）将函数的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，然后分析在一个周期内与的交点情况，根据的取值情况分类讨论即可【小问1详解】根据图象可知，且，的周期为：解得：，此时，，且可得：解得：故【小问2详解】当时，令，又恒成立等价于上恒成立令，则有：开口向上，且，只需即可满足题意故实数m的取值范围是

14【小问3详解】由题意可得：的图象与直线在上恰有2021个零点在上时，，分类讨论如下：①当时，的图象与直线在上无交点；②当时，的图象与直线在仅有一个交点，此时的图象与直线在上恰有2021个交点，则；③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，的图象与直线在上有偶数个交点，不会有2021个交点；④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，此时才能使的图象与直线在上有2021个交点.综上，当时，；当时，.