宁夏回族自治区银川一中2022-2023学年高二上学期期末考试数学（理） Word版含解析

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银川一中2022/2023学年度高二上学期期末考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.1.已知,则复数A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算求得，再根据共轭复数的定义求得结果.【详解】由题意知：本题正确选项：【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的求解问题，属于基础题.2.甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】甲、乙、丙3名学生排成一排，共有种排法，其中甲、乙两人站在一起的排法共有种，所以概率为，故选C．3.展开式中常数项为（）A.28B.C.7D.【答案】C【解析】【分析】利用二项式的展开式的通项即得.【详解】由题意得展开式通项为：,令，得，

1所以常数项为.故选：C.4.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】是抛物线的焦点,准线方程，设,线段的中点横坐标为线段的中点到轴的距离为，所以C选项是正确的.故选：C5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为5，2，则输出的等于（）

2A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】当时，，满足进行循环的条件；当时，满足进行循环的条件；当时，满足进行循环的条件；当时，不满足进行循环的条件，故输出的值为.故选：C．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.某工厂生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗

3（吨标准煤）有如下几组样本数据：根据相关检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为，则这组样本数据的回归直线方程是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】由题意可知，，线性回归方程过样本中心，所以只有C选项满足．选C.【点睛】线性回归方程过样本中心，所以可以代入四个选项进行逐一检验．7.已知，则曲线和有(　　)A.相同的短轴B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的长轴【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质计算并判断.【详解】，，曲线和都是焦点在轴上的椭圆，由椭圆，得，所以长轴长为，短轴长为，焦点坐标为，离心率为，由椭圆，得，所以长轴长为，短轴长为，

4焦点坐标为，离心率为.所以两个椭圆有相同的焦点．故选：B8.个大学生分配到三个不同的村庄当村干部，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得，甲村庄恰有一名大学生，有种分法，另外四名大学生分为两组，共有种，再分配到两个村庄，共有种不同的分法，所以每个村庄至少有一名，且甲村庄恰有一名大学生的分法种数为种不同的分法，故选C.考点：计数原理和排列组合的应用.9.已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的．从而S△PBC=S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则=，∵，∴，∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：

5P==．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．10.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意得方程，得或，且，所以方程所表示的曲线为选项D，故选D．考点：曲线与方程．11.过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，代入作差变形即可求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程【详解】设，直线斜率为，则有，

6①-②得，因为点为中点，则，所以，即，所以直线的方程为，整理得故选：B12.过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y，由k＝1得到，即．由k＝3得到，即，再求离心率的范围．【详解】双曲线右焦点为，设过右焦点的直线为，与双曲线方程联立消去y可得到：，由题意可知，当k＝1时，此方程有两个不相等的异号实根，∴，得0＜a＜b，即；当k=3时，此方程有两个不相等的同号实根，∴，得0＜b＜3a，；又，∴离心率的取值范围为．故选：C.

7二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分.13.若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则___________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线性质可得结果.【详解】由化标准方程，准线方程，故由题意，得.故答案为：14.已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则等于________.【答案】8【解析】【分析】由椭圆的标准方程及焦点在y轴上且，结合椭圆参数的关系即可求.【详解】由题意知：，得，又，焦点在轴上∴，解得.故答案为：815.设，的解集为，则实数的值为____.【答案】##【解析】【分析】利用题给条件列出关于实数的方程组，解之即可求得实数的值.详解】由，可得，则，整理得当时不等式解集为R，不符合题意；

8当时，由不等式解集为可得，解之得综上，实数的值为故答案为：16.若O为坐标原点，直线y＝2b与双曲线(a>0，b>0)的左、右两支分别交于A，B两点，直线OA的斜率为－1，则该双曲线的渐近线的方程为________.【答案】y＝±x【解析】【分析】根据题意先求得点，代入双曲线方程可得，然后可得渐近线方程.【详解】易知直线方程为，由解得，代入得，即，所以渐近线方程为.故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求不等式的解集；

9（2）若的最小值为，正数满足，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分和两种情况，脱去绝对值符号，解不等式，即得答案.（2）确定n的值，可得，可得，将变为，结合基本不等式，即可求得答案.【小问1详解】当时，,当时，，不等式等价于或，解得，或，故，∴原不等式的解集为.【小问2详解】由（1）得，，当时，，所以的最小值为4，，故，可得，因为，，当且仅当时，即，取等号，∴的最小值为.18.如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，作PD⊥x轴，D为垂足，M为PD上一点，且.

10（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点且斜率为的直线被方程C所截线段的长度【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，，则由PD⊥x轴与，得，代入，整理得；（2）由题意可求得直线方程为，代入椭圆方程，由韦达定理可知：，，进而由弦长公式即可求得直线被C所截线段的长度．【小问1详解】设点的坐标为，点的坐标为，因为PD⊥x轴且，得，即，因为在圆上，得，故，整理得，故的方程为；【小问2详解】由点斜式知，过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，，将直线方程代入的方程，

11得，整理得，所以，，故线段的长度为，所以直线被所截线段的长度为.19.已知点A(2,8)在抛物线上,直线l和抛物线交于B,C两点，焦点F是三角形ABC的重心，M是BC的中点（不在x轴上）（1）求M点的坐标；（2）求直线l的方程.【答案】（1）（11，－4）（2）【解析】【分析】（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，求出p=16，得到抛物线方程为，焦点F（8，0）是△ABC的重心，设点M的坐标为，则由即可求出M点坐标；（2）设BC所在直线的方程为：由消x得，所以，由（2）的结论得，解得，即可求出直线l的方程.【详解】解（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，解得p=16.所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，设点M的坐标为，则所以点M的坐标为（11，－4）．（2）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：

12由消x得，所以，由（2）的结论得，解得因此BC所在直线的方程为：【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，属中档题.20.已知椭圆C与椭圆的焦点相同且椭圆C过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在椭圆C上，且，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标设出椭圆C的标准方程，再将点代入方程，即可得出椭圆C的标准方程；（2）由定义得出，由余弦定理得出，求出，再由三角形面积公式得出面积.【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以设椭圆C的标准方程为①将点代入①，整理得解得或（舍去）所以椭圆C的标准方程为.（2）因为点P在椭圆C上，所以.

13由（1）知，在中，所以由余弦定理得，即.因为所以即.所以..所以的面积为.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程以及椭圆中三角形的面积问题，属于中档题.21.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5.(1)求抛物线的方程；(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线，若l交抛物线于A，B两点，求证：以AB为直径的圆必过原点．【答案】（1）y2＝4x.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点和准线方程，再由抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程.（2）设直线l：y＝k(x－4)(k≠0)，A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，即可证得以AB为直径的圆必过坐标原点．【详解】解：(1)由题意得|MF|＝4＋＝5.∴p＝2.故抛物线方程为y2＝4x.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝4.由得y＝±4.∴|AB|＝8∴＝4.∴以AB为直径的圆过原点．

14当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)(k≠0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－(4＋8k2)x＋16k2＝0.∴x1＋x2＝，x1x2＝16.y1y2＝k2(x1－4)(x2－4)＝k2[x1x2－4(x1＋x2)＋16]＝k2＝k2＝－16，∴x1x2＋y1y2＝0.又·＝x1x2＋y1y2＝0，∴OA⊥OB．∴以AB为直径的圆必过原点．综上可知，以AB为直径的圆必过原点．【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查直线与抛物线的方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，将以AB为直径的圆过原点转化为向量的数量积等于零即可，属于中档题．22.已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点（1）求双曲线方程；（2）设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，则，再根据离心率求出，即可求出，从而得到双曲线方程；（2）依题意可得直线的斜率存在，设，即可得到的坐标，依题意可得或，分两种情况分别求出的坐标，再根据的双曲线上，代入曲线方程，即可求出，即可得解；【小问1详解】解：设所求的双曲线方程为（，），则，，

15∴，又则，∴所求的双曲线方程为．【小问2详解】解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点，∴l的斜率一定存在，则设．令得，∵且M、Q、F共线于l，∴或当时，，，∴，∵Q在双曲线上，∴，∴，当时，，代入双曲线可得：，∴．综上所求直线l的方程为：或．

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