2022年天津市红桥区高考数学一模试卷（附答案详解）

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2022年天津市红桥区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合A={1,2,3},B=lYIY=2x-1,xEA}，则AnB=()A.{1,3}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}2.设xER,则”X>½"是“2x2+x-1>O"的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)=e气2x-6的零点所在的区1、司是（)A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)4.已知a=e令，b=log52,c=ln3,则（)A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a5.已知盒中装有大小、质置完全相同的2个黑球，3个红球，现从盒中随机抽取2个球，则取出的两个球颜色相同的概率为（)B1-sc3-10D2-s1A....106.将函数f(x)=sin(Zx+：)的图像向右平移尸个单位，所得图像对应的函数（)A.在区间［于气］上单调递增B．在区间［竺兀］上单调递减4C.在区间［子，早］上单调递增D.在区间［竺，加］上单调递减2227.已知双曲线-S-~=l(a>O,b>O)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上，Aa2沪OAF是边长为2的等边三角形(O为原点），则双曲线的方程为（）X2y22y2c2y2A.—-—=1B.x—-—=1．x—-沪＝1D.x2_—=1412124338.设a>O,b>L若a+b=2,则：＋声的最小值为（）A.6B.9C.3-.jzD.189.如图，四边形ABCD中，AB//CD,AB=5,CD=2,BC＝平，瓦·页＝0,M,N分别是线段AB,AD上的点且闷材I+|面v1=2,则AM·元V最大值为（)A1B3c3-4l-22AB二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9+丑10.i是虚数单位，复数——-＝2+i11.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、迈、3，则此球的体积为.寸212.在（－－－）6的展开式中，x2的系数为.2.fx

113.圆x2＋沪－4x=0在点P(l，乔）处的切线方程为.14.从8名老师和6名学生中选出5名代表，要求老师和学生各至少一名，则不同的选法共有种15.已知XER,设闭数f(x)={;言naxx,x+；aix三1，若关千x的不等式f(x)?0在R上恒成立，则a的取值范围为.三｀解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在1:,.ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bsinA=3csinB,a=3,2cosB==.3(I)求b的值；(II)求sinA;（皿）求cos(2B气）的值．Di17.如图，正匹棱柱ABCD-A1B1C1队中，AA1=2AB=4,点E乙A＇I?`｀\`，七在CC1上且C1E=3EC.t',,':`、、`,．『、、`、、，．｀'、、、，乡：、(I)证明：A1C.l平面BED;、、、`、，．-、．业火、、、｀：,＇(lI)求异面直线BE与A1C所成角的大小；-",、、D's(...-..一各（田）求二面角A1-DE-B的余弦值．＇,,、Ad18.已知椭圆5心＝l(a>b>0)的一个顶点为A(O,-3)，右焦点为F,且IOAI=IOFI,其中0为原点．(I)求椭圆的方程；(II)已知点C满足30C＝历？，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为第2页，共13页

2圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．19.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn,{bn}是等比数列，且a1=b1=3,鸟＝3,时＝b3+b4.(I)求数列｛化小｛加｝的通项公式；(II)求L~=l竺Lbk+1·已知函数f(x)=..fx,g(x)=alnx,aER,(I)若曲线Y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；(II)设函数h(x)=f(x)-g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值

3答案和解析I.【答案】A【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题．根据题意，将集合B用列举法表示出来，可得B={1,3,5}，由交集的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={1,2,3}，而B={YIY=2x-1,xEA},则B={1,3,5},则AnB={1,3},故选：A.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．【解答】1解：由2x2+X-1>O,可知X<-1或x>-,21"所以当“~>一*\dfrac{1}{2}"今'title="latexlmg"/>"Zx2+x-1>o",2但是“2x2+X-1>0"-=#"X>主＇，所以“x>-”是“2x2+X-1>O"的充分而不必要条件，2故选A.3.【答案】C【解析】解：易知f(x)=ex+2x-6是R上的增函数，且f(l)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,所以f(l)f(2)<0,所以f(x)的零点所在的区间是(1,2),故选：C.判断函数的单调性，利用函数零点判断定理，推出结果．第4页，共13页

4本题考查了函数零点的判定定理，屈千基础题．4.【答案】B1--1【解析】解：·:a=e2=-,:::,石1人－lne=1,:.c>a>b,故选：8.利用对数函数及指数函数的单调性与½,1比较大小，从而比较三个数的大小．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.【答案】D砑＋cf_2【解析】解：取出的两个球颜色相同的概率为一一－＝－．cJs故选：D.取出的两个球颜色相同分为2个黑球与2个红球两种情况进行讨论可解决此题．本题考查古典概型应用，考查数学运算能力及抽象能力，屈千基础题．6.【答案】A【解析】解：将函数f(x)=sin(2x+：)的图像向右平移尸唷纠立，所得图像对应的函数为y=sin2x,在区间［平，子］上，2xE［早，早］，y=sin2x单调递增，故A正确；在区间［干，兀］上，2xE［平，加］，y=sin2x单调递增，故B错误；在区间［于平］上，2xE［早，3亢］，y=sin2x单调递减，故C错误；3兀在区间［一，2亢］上，2xE[3亢，4亢］，y=sin2x没有单调性，故D错误，故选：A.由题意，利用函数y=Asin(wx+

57.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，双曲线的标准方程，考查计算能力，屈千基础题．根据题意，推出a,b关系，通过C=2,求解a,b,然后得到双曲线的方程．【解答】解：＼·双曲线王＿立＝1(a>O,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上，a2b2t..OAF是边长为2的等边三角形(0为原点），:.C=2,b．：双曲线的渐近线为y=±~x,ab:.t心的＝－=../3,G沪c2-a2即—=3,;:_;:....=3,a2a2解得a=1,b='1'3,2··双曲线方程为x2_~=1.3故选D.8.【答案】B【解析】解：因为a>0,b>l,a+b=2,所以a+(b-1)=L所以沪亡＝（沪六）［a+(b-1)]=4+1+~一1)＋占~5+2三＝5+4=9,当且仅当a=2(b-l)，即a=I,b＝计时取“=＂，4所以－＋一－的蔽小值为9.a.b-1故选：B.根据题意，转化条件，利用基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用问题，是基础题．9.【答案】A【解析】解：设ACnBD=O,由千瓦了．历了＝0，所以AC.1BD,依题意四边形ABCD中，AB//CD,AB=5,CD=2,BC＝打了，设OC=x,则OB=~,OD=V4二x2,第6页，共13页

6所以OA＝扣－（打了二吁＝打了二万，所以AD＝寸o沪＋0A2＝打飞＝4,由器＝启得岳弓＝i=>x2＝苦所以BD=OD+OB=[勹+§；勹f＝画16+25-211在三角形ABD中，由余弦定理得cosLDAB=~=::,2X4X52依题意闭和＋闷和＝2,设闭百I=x,则闷和＝2-x，其中0

7【解析】解：长方体外接球直径即为其体对角线长，根据三条棱长，可得体对角线长为寸1+2+9=2{;,：．外接球半径为r＝石，··球的体积为：气==4句兀故答案为：4../3rr.利用长方体外接球直径为体对角线长，易得球半径，得解．本题考查了长方体外接球问题，属基础题．312.【答案】－－8【解析】解：展开式的通项公式为Tr+l＝碍（五)6-r（－一）2r=碍·(-1)r.22r-6X3-r,2J令3-r=2,则r=1,所以x2系数为Cl(－1)·2-4=--,83故答案为：一－．8求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2,进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，屈于基础题．13.【答案】X-V?,y+2=0【解析】【分析】本题是基础题，考查圆的切线方程的求法，求出切线的斜率是解题的关键，考查计算能力．求出圆的圆心坐标，求出切点与圆心连线的斜率，然后求出切线的斜率，解出切线方程．【解答】解：圆x2+y2-4x=0的圆心坐标是(2,0),所以切点与圆心连线的斜率：5竺＝-迈，1-2所以切线的斜率为：豆切线方程为：y－{＝丑(x-_1),即x-'1°3y+2=0.故答案为：x-'1°3y+2=0.14.【答案】1940第8页，共13页

8【解析】解：不考虑限制要求，所有不同的选法有C古＝2002,全选教师的选法有CJ=56,全选学生的选法有ct=6,所以至少一名教师一名学生的选法有cf4-ct-ct=1940,故答案为：1940.间接求，用总数减去不符合要求的选法即可求解．本题考查组合的运用，对千“至少或至多有一个“一类的问题，一般用间接法．15.【答案】[O,e]【解析】解：G）当X:51时，f(x)=x2-2ax+2a,过定点(1,1)，对称轴为X=a,当a:51时，f(x)min=[(a)=a2-2a2+2a2::O,解得：0:5a:52,所以0:5a:51;当a>l时，f(x)在(-oo,1)单调递减，且f(l)=1>0,所以a>1;所以f(x)2::0在X:51恒成立，可得a2::0.＠当x>l时，f(x)=x-alnx2::0恒成立，即a:5点恒成立，令h(x)＝点，则h'(x)=lnx-1,ln2x当h'(x)>0时，X>e,所以h(x)在(e,+oo）上单调递增，当h(x)<0时，1l两种情况讨论；当x>l时，采用参变分离构造函数求最值．本题研究二次函数在x$1的最小值时，利用函数恒过定点(1,1)，使讨论的过程更简洁，即只要研究对称轴a$1和a>l两种情况，属千中档题．16.【答案】解：（I）由正弦定理及bsinA=3csinB,得ab=3bc,即a=3c,因为a=3,所以C=1,由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB=9+1-2x3x1xf=6,所以b＝花．2廷(II)因为cosB=－，且BE(0，切，所以sinB=—,33ab由正弦定理知，=-,sinAsinB3花串所以盂；＝言，即sinA=.634森1（职sin2B=2sinBcosB=一－，cos2B=2cos2B-1=-~,99

9亢4平－1所以cos(2B-::)=cos2Bcos：：十sin2Bsin-=·3'3318【解析】(I)利用正弦定理化角为边，可求得c的值，再由余弦定理，即可得解；(II)先根据同角三角函数的平方关系，求得sinB的值，再由正弦定理，得解；（皿）根据二倍角公式分别求得sin2B和cos2B的值，再由两角差的余弦公式，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式，两角差的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】(I)证明：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz.依题设，B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)．历~=(0,2,1),DB=(2,2,0)，丙C=(-2,2,-4),瓦＝(2,0,4).Al4”\II1\\II、、`、、｀｀、11I、、、、II、、、、、11``I、IID，y,,」x因为丙t丽＝0,丙t丽＝0,故A1C.LBD,A1C.LDE，又DBnDE=D,所以A1C.L平面DBE.(II)解：（方法一）因为A1C.L平面DBE,且BEc平面DBE,则BE.LA1C,所以异面直线BE与A1C所成角为90°;（方法二）历f=(-2,0,1)，石c=c-2,2,-4)，页了兀C=X1Xz+Y1Y2+z凸＝0,则BE.LA1C,所以异面直线BE与A1C所成角为90°;（田）解：设向世冗＝（x,y,z)是平面DA1E的法向昼，则冗上页？，冗上瓦飞．故Zy+z=0,Zx+4z=0.令y=1,则Z=-2,X=4,冗＝（4,1,-2).伍，瓦t〉等千二面角A1-DE-B的平面角，X心＋y心＋Z1Z2平cos（万，职〉＝孚＝=间1生C|1对＋yf+z扣丘言百42•第10页，共13页

10【解析】(I)以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz.通过计算示t5百＝0,示t·页f=0,推出A1C.lBD,结合A1C.lDE,证明A1C.l平面DBE.(II)（方法一）通过A1C.l平面DBE，推出BE.lA1C，说明异面直线BE与A1C所成角为90°;（方法二）计算面f.瓦C=X1X2+Y1Y2+Z1Z2=0,说明异面直线BE与A1C所成角为90°;（皿）求出平面DA1E的法向量，利用空间向痲的数量积求解二面角A1-DE-B的平面角的余弦函数值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角以及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．18.【答案】解：（I）由已知可得b=3,记半焦距为C,由IOFI=IOAI可得c=b=3,由a2＝沪＋c2，可得a2=18,22··椭圆的方程为土．十~=1,189(II):.，直线AB与C为圆心的圆相切千点P,:.AB.LCP,根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y=kx-3,y=kx—3由方程组｛灶y2，消去y可得(2k气l)x2-12kx=O,解得X=0,或x＝式芒i'-+-=118912k6k2-3依题意可得点B的坐标为（),2k2+1'2炉＋1·:p为线段AB的中点，点A的坐标为(0,-3),6k-3．：点P的坐标为（),2k2+1'2k2+1由3祝巨孔汗，可得点C的坐标为(1,0),-3元3故直线CP的斜率为=志－1-2k2-6k+l'·:AB1.CP,3:.k.=-1,2k2-6k+1整理可得2k2-3k+1=O,1解得k=－或k=1,21··直线AB的方程为y=~x-3或y=X-3.2【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，向位与椭圆的综合问题，考查了推理能力和计算能力，属千拔高题(I)根据题意可得c=b=3,由正＝b2+c2,可得a2=18,即可求出椭圆方程；(II)根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y=kx-3,联

11立方程组，求出点B的坐标，再根据中点坐标公式可得点P的坐标，根据向量的知识求出点C的坐标，即可求出CP的斜率，根据直线垂直即可求出k的值，可得直线AB的方程．19【答案】解：（I）因为S3=3,bi=b3+b4,则3a1+3d=3,(b1q)2=b1妒＋b1矿，解得：d=-2,q=2,又a1=b1=3,:.a11=5—2n,b11=3·2九一1;(II)由(I)得：Sn=n(4-n),骂芫＝骂＝14k2了＝骂（卢－功，设心＝号＋号＋＋芫0汃＝告＋序＋＋赍1'...@,n+2@－＠得：江＝2+4（卢＋卢＋＋护－盖:.An=82n-2,1222n2设Bn=-沪+-22＋.···十一.zn,...@),112泸n2:.-B2=-+-+…+-—,…@,n沪232n+1＠－＠得沪＝扣吉＋吉＋＋气－盖了＇设C九叶＋卢＋卢＋＋气产，©11352九一1...-C2n＝歹＋歹十子＋＋严'@,©—＠得：沪＝¼+2（合＋卢＋合＋＋护－告＋，2n+3n2+4n+6整理得：Cnn=3一了;...Bn=6-,2n:.沈＝1玉bk+l－＝丸－.·n-Bnn=-2＋止.2n.【解析】(I)利用方程思想，建立公差d,公比q的方程求解；(II)利用“错位相减法“求和．本题考查等差、等比数列的通项，错位相减法求和，属中档题．20.【答案】解：（I)f'(x)＝式歹，g'(x)气(x>0){x=alnx有已知得（上＝巴解得：a=1,x=e22寂x．．．两条曲线的交点坐标为(e气e)切线的斜率为k=f'（社）＝上2e··切线的方程为y-e=上(x-e2)2e(II)由条件知h(x)=.Jx-alnx(x>0),1a奴－2a:.h'(x)XI=—--=,2长X2X＠当a>O时，令h'(x)=O,解得X=4a2.第12页，共13页

12．：当04正时，h'(x)>O,h(x)在(4a2，十oo)上单调递增．:.X=4a2是h(x)在（0，十oo)上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．：．最小值0,h(x)在(0,+oo)上单调递增，无最小值．故h(x)的最小值0).（皿）证明：由(2)知cp(a)=2a(1-In2-Ina),则矿(a)=-Zin(2a).令砑（a)=0,解得a=-.2当OO,1:.(()(a)在(0,－）上单调递增；2当a>抇时，矿(a)