高数总结笔记

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一．函数的概念smx公式I.Jim.—=11.用变上、下限积分表示的函数x➔。xII,I(I)y=i`切，其中几）连续，则贵＝．小）11公式2匣(1+;］=el吧(1+;)"=e(2)Y=s:,~:~)f咋t'其中叶），吐）可导，几）Ilill]-(1+V)-;;=e连续，＼，今04.用无穷小重要性质和等价无穷小代换则皇＝．主心（x)-f［叶）帜(x)5.用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和2.两个无穷小的比较数学二）2瓜）X设lim.f(x)=O,limg(x)=O,且lim-—=l当x今0时，ex=1+x+—+A+三-+o(x")g(x)2!n!3__5__211+1(I)l=O,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以x-x-.I.

1Xsinx=x-—+—+J\+(-1)"~+o(x211+1)3!5!(2n+1)!八x)=O[g(x)]，称g(x)是比J(x)低阶的无穷小。cosx=1－三十三＿A＋（－l)“立－＋o(亡）2!4!(2n)(2)巨0，称J(x)与g(x)是同阶无穷小。23XXln(l+x)=x-—+—-A+(-1)"+1三＋o(x")(3)/=1,称J(x)与g(x)足等价无穷小，记以23n352吓lf(x)~g(x)XXn+lXarctanx=x-—+—-A+1(--11)"+1~+O伈'1+1)352n+l3.常见的等价无穷小当x➔0时伞－l）2伞－l扒[a-(n-1)](l+x尸＝l+ax+x+A+X'＋心）sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x2!n!12l-cosx~~x2,ex-l~x,ln(l+x)~x,26.洛必达法则。(l+xt-1~ax法则l.（—型）设Cl)limf(x)=O,limg(x)=O。二．求极限的方法(2)X变化过程中，J'(x),g'(x)皆存在I.利用极限的四则运算和需指数运算法则2.两个准则f'(x)准则l．单调有界数列极限一定存在(3)lim-—=A（或oo）g'(x)(1)若x11+1::;x,,(n为正整数）又x,1之m(n为正兀）则lim-—=A（或00)整数），则limx,,=A存在，且A2::mg(x)＂妞(2)若x11+1~x,,(n为正整数）又x11~M(n为正f'(x)（注：如果lim不存在日不是儿穷人晕情形，则g'(x)整数），则limx11=A存在，且A~MII一►OO八x)不能得出lim不存在且不是无穷大量情形）准则2.（夹逼定理）设g(x)~J(x)~h(x)g(x)oo若limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)=A法则2.（—型）设Cl)limf(x)=oo,limg(x)=oooo3.两个重要公式(2)X变化过程中，J'(x),g'(x)皆存在

2J'(x)值，如果对千区间[a,b]上的任一点X,总有J(x归M,(3)Jim=A（或心）g'(x)则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。同样可以定义最八x)则lim~=A（或心）小值m。g(x)定理3.（介仇定理）如果函数J(x)在闭区间[a,b]上7.利用导数定义求极限连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对千介千mf伈＋心）－J伈）基本公式：lim=f'伈）［如果ru:--->0A和M之间的任何实奻c,在［a,b]上罕少存在个<;'使存在］得8.利用定积分定义求极限鬼）＝c1“K基本公式！皿』江）＝I1(x汕［如果存在］推论：如果函数J(x)在闭区间[a,b]」连续，且J(a)三函数的间断点的分类与J(b)开号，则在(a,b)内至少存在一个点<;'使得涵数的间断点分为两类：(1)第一类间断点庶）＝0设x。是函数y=f(x)的间断点。如果八x)在间断点这个推论也称为零点定押五．导数与微分计算X。处的方、右极限都存在，则称x。足f(x)的第一类间断1.导数与做分表点。(c)'=0d(c)=O第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（欢）I=aXa-1(a实常数）d伈）＝axa-'dx(a实吊数）(2)第二类间断点,(sinx)=cosxdsinx=cosxdx第一类间断点以外的共他间断点统称为第二类间断点。,(cosx)=-sinxdcosx=-sinxdx常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。(tanx)1=sec2xdtanx=sec2xdx四．闭区间上连续函数的性质(cotx)'=-csc2xdcotx=-csc2xdx在闭区间[a,b]上连纹的函数f（对，有以下儿个基木(secx)'=secxtanxdsecx=secxtanxdx性质。这些性质以后都要用到。定理I.（有界定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]士(cscx)1=-cscxcotxdcscx=-cscxcotxdx连续，则八x)必在[a,b]上有界。(log"x)1=二(a>O,act=1)xlnadx定理2.（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭dlog11x=~(a>0,a,;:.1)xlnall区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和(lnx)1=-dlnx=-dxXX最小值m。（矿）'=a"lna(a>O,a:t:-1)其中最大伯M和最小值m的定义如下：定义设／伈）＝M是区间[a,b]上某点Xo处的函数da"=旷lnadx(a>0,a:t:-1)2

3(e·`.)'=exdex=exdx叭t)存在，且妨(t)-:t=0,则1dy_lfl1(t)(arcsinx)1=~darcsinxarcsi=汇7dx（叶）丑o)勹dx叶）二阶导数1(arccosx)1=-~darccosx=-dx』言立＝d［皇］＝d［皇］上=w“心（t)－lfl，心”(t)I11(arctanx)=—l+x2darctanx=~2dxdx2clxdt~［叶）］3l+x,dt11(arccotx)=—darccotx=—dx21+x2l+x5.反函数求导法则如（x+歹了）I=1矗设y=J(x)的反函数X=g(y)，两者皆可导，且dln(x＋左言）＝1dxJ'(x)::/:-0厂则g'（y)＝l=l(.f'(x)::/:-0)加（x+歹了）IJ'(x)-.f'[g(y)]=l二dln(x＋丘言汀＝ldx二阶导数g”(y)＝d[gd;y)]=d［产］i52.四则运算法则加）土g(x)]'=f'(x)土g'(x)=-J”(x)=-f”[g(y)](J'(x)=1:-o)[J(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+J(x)g'(x)[r'(X)]3{J'[g(y)]}3［例］=f,心~(g(x),e0)6.隐函数运算法则设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定，求y'的方3.复合函数运算法则法如下：设y=f(u),u=(f)（对，如果叭x)在x处可导，．f(u)把F(x,y)=O讷边的各项对x求导，把y看作中间变在对应点u处可导，则复合函数y=f抄(x)]在x处可导，址，用复合函数求导公式计饼，然后再解出y'的表达式（允且有dydydu许出现y变品）==f'［小）切(x)dxdudx7.对数求导法则对应地dy=f'（叶du=f物(x)切(x汕先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导由千公式dy=f'(u)如不节u足自变械或中间变扯方法得出导数y'。都成立。因此称为一阶微分形式不变性。对数求导法主要兀千：＠幕指函数求导数4.由参数方程确定函数的运算法则＠多个函数连乘除或开方求导数设x＝(f)(t)'y＝的）确定函数y=y(x)，具中(f)'(t)'关于需指函数y=[J(x)］心）常用的—种方法3

4y=e心）lnf(x)这杆就可以自接用复合函数运算法则进行。(I)在闭巨间[a,b]上连续8.可微与可导的关系(2)在开区间(a,b)内可导；八x)在x。处可彶<=>J(x)在x。处可导。则存在i;E(a,b)，使得9.求n阶导数（n~2,正整数）f(b)-J(a)先求出y',y",A，总结出规律性，然后写出Y(n)，最后=J'(i;)b-a用归纳法证明。或写成八b)-J(a)=f'(i;Xb-a)(aO,a=1=I)产＝a入．（lna)"(0<0<1)这里X。相当a或b都1--1」以，~1--1J.Jr1--1」负。(3)y=smxy(n)=sin(X＋了）推论1若J(x)在(a,b)内可导，且f'(x)=0，则f(x)(4)y=cosx产＝cos(x+:]在(a,b)内为常数。(5)y=lnxy(")=(-1)"-t(n-l)x-11推论2．若J(x).g(x)在(a,b)内皆可导，且两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式f'(x)三g'(x)，则在(a,b)内／（x)=g(x)+c,其中c为II[u(x)v(x)]（儿）＝区Cn/..，u(k)(x)汃"-k)(x)个常数。k=O三柯西中值定理（数学四不要）n!u(0l(x)=u(x),设函数J(x)和g(x)满足：其中C,~=k!(n-kJ.'(1)在闭尸间[a,b]上皆连续；v(o)(x)=v(x)(2)在开区间(a,b)内皆可导；且g'(x)-:t-0假设u(x)和v(x)都是n阶可导。则存在i;E(a,b)使得微分中值定理一．罗尔定理即）－．l(a)_/'(~)(a<;

5(x今X。)的一个极小值，称x。为函数J(x)的一个极小值点。函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值其中RJx)=ol(x-x。)',l(x➔X。)称为皮亚诺点统称极值点。令项。［煦。(xR-：：))2.必要条件（可导情形）=oJ设函数f(x)在x。处可导，且x。为J(x)的一个极值前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同悄形取适当的n,所以对常用的初等函数如点，则f'伈）＝0。ex'sinx,cosx,ln(l+X)和(1+xt(a为实常数）绍t的n我们称x满足f'(x。)＝0的x。为J(x)的驻点可导函阶泰勒公式都要熟记。定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式）数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或小可导点，所以只要从这两种点设f(x)在包含Xo的区间(a,b)内有n+1阶导数，在中进一步去判断。[a,b]上有n阶连续导数，则对xE[a,b]，有公式3．第一充分条件儿）＝小。）＋宁(x-x。)＋宁丛'.-X。)'+A+~。)(x-x。)“+R.(x)设八x)在x。处连续，在00,而在(x0,x。+5)内的任一点x处，有上而展开式称为以x。为中心的n阶泰勒公式。当f'(x)<0,则／伈）为极大值，x。为极大值点；X。=0时，也称为n阶麦克劳林公式。20如果在(x。-o,x。)内的任一点x处，有如果limR,,(x)=0,那么泰勒公式就转化为泰勒级n-0f'(x)<0，而在(x0,x。硕）内的任一点x处，有数，这在后面尤穷级数中冉讨论。导数的应用：f'(x)>0,则f伈）为极小值，x。为极小值点；一．基本知识1.定义30如果在(x。-o,x。)内与(x。,x。+6)内的任一点设函数J(x)在(a,b)内有瓦义，x。是(a,b)内的某一x处，f'(x)的符号相同，那么八心）不是极值，X。不是点，则极值点。如果点x。存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点4．第二充分条件x(x-:t:.x。)，总有八x)f(x。)，则称f(x。)为函数．f(x)当／”（x。)>0时，f伈）为极小值，X。为极小值点。5

6y=J(x)在(a,b)内是凸的。二．函数的最大值和最小值1.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的方法求曲线y=J(x)的拐点的力法步骤是：甘先，求出J(x)在(a,b)内所有驻点和不可导点第一步：求出二阶导数J"(x):第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的x1,A,xk,其次计算f伈），A，八xk.)，八a\J(b)。点x1、X2、…、X人';最后，比较f(x1),A,J(xk),J(a)，八b),第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标：其中品大者就是f(x)在[a,b]上的品大值M；其中录第四步：求出拐点的纵坐标。小者就是J(x)在[a,b]上的最小值m。四渐近线的求法2.最大（小）值的应用问题1.垂直渐近线首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，若lirn,f(x)=oo或li~f(x)=oo然后再求出H标函数在巨间内的最大（小）值。x一a·x➔a则x=a为曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。三．凹凸性与拐点1.凹凸的定义2．水平渐近线设八x)在区间1上连续，若对杆惫不同的两点X1,X2'若皿f(x)=b，或丸恩,f(x)=b恒有则y=b是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。3.斜渐近线f(X:x2)>;[J(x1)+f伈）［J．(x12x2]<;[J(，十f伈）］］八x)若lim—=a*0,皿加）－叫＝bX-+O3Xf(x)则称J(x)在I一卜是凸（叫）的。或Jim＝a士0,．｀l上巴[J(x)-ax]=bX--—-X在儿何上，曲线y=f(x)上任意两点的割线在曲线下贝1Jy=ax+b足曲线y=J(x)的条斜渐近线。五．曲率（数学一和数学二）（上）面，则y=J(x)是凸（凹）的。设曲线y=J(x)，它在点M(x,y)处的仙车如果曲线y=J(x)有切线的话，每一点的切线都在曲y”lk=~，若k=t:-0,则称R=－为点M(x,y)处线之上（下）则y=J(x)是凸（凹）的。[1+(y'）千k2.拐点的定义的曲率半径，在M点的法线上，凹向这一边取一点D,曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。叫MDl=R,则称D为曲率中心，以D为圆心，R为半3.凹凸性的判别和拐点的求法径的圆周称为曲率圆。设函数J(x)在(a,b)内具有二阶导数f"(x),不定积分如果在(a,b)内的每点X,恒有J"(x)>0,则曲线一．基本积分公式y=f(x)在(a,b)内是凹的；1.fxadx=S+c(ac;:.-1，实常数）a+l如果在(a,b)内的每一点x，恒有J'，（对<0,则曲线6

71是非常熟练地凑出微分。2.f~dx=Ln忖＋CX常用的几种凑傲分形式：3.f矿dx=上矿＋C(a>O,a-#l)(1)f八ax+b胚＝切(ax＋心（ax+b)lnaafe·'dx=ex+c(a:/=o)4.fcosxdx=sinx+C(2)f八ax"+b)x11-1dx=~ff(ax"＋心（ax"+b)5.Jsinxdx=-cosx+C(a:;t:.O,n:;t:.O)16.Jsec2xdx=f±dx=tanx+C(3)f八lnx)空＝f八lnx汃lnx)COS-XX7.Jcsc2xdx=仁勹~Y=-cotx+C2smX(4)Jf（：）产＝－I心（：）8.Jtanxsecxdx=secx+C(5)J心）贵＝2I八功（五）9.Jcotxcscxdx=-cscx+C10.Jtanxd:飞＝－lnlcosxl+C(6)仇心xdx＝卢侵·`．压）11.Jcotxdx=Inlsinxi+C(a>O,a-::t-1)12.Jsecx心＝lnlsecx+tanxi+C庐x~xdx=J瓜沁）13.Jcscxdx=lnlcscx-cotxl+C(7)j八sinx)cosxdx=JJ(sinx)d(sinx)14.Jdx.=arcsm-x+C(a>o)(8)J八cosx)sinxdx=-J八cosx)d(cosx)心矿－x2a(9)J八tanx)sec2xdx=J八tanx)d(tanx)Jdx1x15.22=—arctan—+C(a>o)a+xaa(10)J八cotx)csc2xdx=-JJ(cotx)d(cotx)16.J2dx2=—1lnl-+a+xC(a>o)a—x2aa-x(11)J八secx)secxtanxdx=J八secx)d(secx)dx(12)J八cscx)cscxcotxdx=-J八CSCX)d(CSCX)17.J=lnlx＋丘言＋C(a>0)心(13)If(arcsmx)心＝I八arcsinx)d(arcsinx)j二．换元积分法和分部积分法1.第一换元积分法（凑傲分法）C14)J~dx=-IJJ(arccosx)d(arccosx)设j如汕＝F(u)+C,义叭x)可导，则卢J(arctanx)(l5)I~dx=JJ(arctanx)d(arctanx)雇吵'(x胚＝停心(x二ff吵uJ(arccotx)(16)Jdx=•仇arccot心(arccotx)I+x2=F(u)+C=F抄(x)]+C这里要水读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就7

81{（－AV-（x-X。)2]然后再作下列三种三角替换之一：flarctan.:.(17)f(l+X2x]dx=－ff(arcta分(arctan;］二角形不意陷（求反函数()根式的形式所作替换18用）j心x＋扣言）1dx=f本（x＋歹）¥他（x+汇二））卢J矿－x2x=asint二、卢干(a>o)()19J矿＋x2x=atant[:f1in(x+5二）1Idx=fJ加（x+汇了）¥他（x+汇=7))5(a>o)心2-a2x=asectf勹JX示-41c(20)f俐心＝ln|／凶＋C(.r(x)-:t:-0)3.分部积分法设u(x),v(x)均有连续的导数，则2.第二换元积分法设x＝的）可导，且rp'(t)-:f:.0,若fu(x)dv(x)=u(x)v(x)-fv(x)du(x)f八的）切＇（初＝G(t)+C,或fu(x)v'(x)心＝u(x)v(x)-fu'(x)v(x)dx则使用分部积分法时被积函数中谁看作u(x)谁看作f八x)dx令x＝的）I凇(t)](fJ，心t=G(t)+C=G忙（对］＋Cv'(x)有定规律。其中t＝矿（x）为x＝的）的反函数。(I)P,,(x)eax'P,,，（对sinax,P,,(x)cosax情形，第二换元积分法绝人多数兀千根式的被积函数，通过P,,(x)为n次多项式，a为常数，要进行n次分部积分法，换元把根式去掉，其常见的变蜇替换分为两大类：Iax+b每次均取eax,sinax,cosax为v'(x)：多项式部分为第一类：被积函数是x与忒云了5或x与{或cx+du(x)。由矿构成的代数式的根式，例如心五言口；等。(2)P,,(x)lnx,P,,(x)arcsinx,P,,(x)arctanx情只要令根式{a勺＝t，解出X=(f)(t)已经不再有根形，P,,(x)为n次多项式取片(x)为v'(x)，而lnx,式，那么就作这种变抵替换X=(f)(t)即可。arcsinx,arctanx为u(x)，用分部积分法一次，被积函第二类：被积俘1数含有✓Ax2+Bx+C(A-:t:-0),数的形式发生变化，再考虑具它方法。如果仍令✓Ax2+Bx+C=t解出x＝的）仍是根号，那C3)eaxsinbx,ea.rcosbx情形，进行二次分部积分么这样变黛替换不行，要作特殊处理，将A>O时先化为法后要移项，合并。(4)比较复杂的被积函数使用分部积分法，婓用凑微扛l(x-X。)2士l2]，A<0时，先化为8

9分法，使尽量多的因子和心凑成xE[a,b]称为变上限积分的函数一．定积分的概念与性质定理(I)若儿）在[a,b]|－可积，则F(x)=i"入／（叩1.定积分的性质(1)』勹(x汕＝—I"勹(x胚在[a,b]卜连续(2)fJ(x)dx=O(2)若f(x)什[a,b]上连续，则F(x)=rf心研(3)[a,b]上可导，且F'(x)=J(x)J:[kJ;(x)+k2儿(x)伈＝k1f"勹(x沁＋k2f：儿（x胚叭x)推）形式设F(x)＝［f(t)dt,(f)）（对，伲伈）可导，'P1(x)(4)rf(x)dx=ff(x)dx+［勹(x)dx(c也可以在[a,b]f(x)连续，之外）(5)设a:s;b,f(x):s;g(x)(a:s;x:s;b)，则则F'(x)=.f[

10定积分的应用一．平面图形的面积l．直角坐标系模型ISI=［权(x)－心）怀飞：其中Y2(x)江(x),xe[a,b]二．平面曲线的弧长（数学一和数学二）模刑IIS2=r[x2(y)-x心）协1.直角坐标系其中X2(Y)2:x1(y),ye[c,d]设光滑曲线y=y(x),(asxsb)［也即y(x)有连续的导数］弧长S=f:✓t订了《礼x夕飞而dS=＄可只可心也称为弧微分2.构坐标系2.构坐标系设光滑曲线r=r(0),(as0s/J)[r(0)在[a,/J]上有连续导数］模型IS1=¼尸归2Ja弧长S=「✓[r'(0)]2+[r'(0)]2d0模叩IIS2＝且乍(0)-r,2(0)加"3.参数方程所表曲线的弧长设光滑仙线c{X=x(t)（卢ts/J）国），y(t)在0/>／？()）。二y=y(t)[a,/J]上有连续的导数］曲线C的弧长S=i气［邓）］2+[y'(t)]2dt3.参数形式表出的曲线所围成的面积三．特殊的空间图形的体积（一般体积要用二重积分）1.已知平行截面面积的立体体积x＝叭t)设曲线C的参数方程｛设空间一个立体山一个曲面和乖直千z~由两半面y＝訰）z=c和z=d所围成，z轴每一点z(cszsd)且匪直千(a::;t::;fJ)叭a)=a,lf(/3)=b,(f}(t)在[a,/3]（或z轴的立体截向的面积s(z)为已知的连续函数，则立体体[p,a])上有连续导数，月(f)'(t)不变号，叭t);:::::0日连续，积则曲边梯形面积（曲线C与阿线x=a,x=b和x轴所围v=J:s(z炉成）2.绕坐标轴旋转的旋转体的体积S=J:ydx=s:lf心（初(I)平厢图形由曲线y=y(x)(?'.0)与直线x=a,x=b和x轴围成绕x轴旋转一周的体积10

11仄＝叶｛了(x)dxv入．＝2叶偷:,dyx(y协绕y轴旋转一周的体积V),=24飞(x汕四．绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学b二）(2)平面图形由曲线X=x(y)(：：：：：o)与直线y=c'设平面曲线C＝门位千x轴j--方，它绕x轴一周所y=d和y轴围成AB绕y轴旋转一周的体积得旋转曲伽的面积为S。Vy＝冗rx2(y协绕x轴旋转一周的体积/--才个c＝胚什/—气八)夕才dy通解j寸沁汕＋Cr\Q(y)l.设AB的方程为y=y(x)(asxsb)（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）则S=2寸沁劝了厂局巨(2)方程形式r、\M1(x)凡(y汕＋M2(x)凡(y协＝02.设AB的极坐标方程为r=r(0),(a:::;0:::;p)通解IM(x)心＋f兑(y)dy=C则S=2寸:r(0)sin0.j[r'(0))2+[r'(0))2d0M2(xf;•,JN心）^（从(x)=t-0,N1(y)=t-0)3.设AB的参数方程为X=x(t),y=y(t),2.变量可分离方程的推广形式(a:::;t勺/3)（］）齐次方程皇＝f(门则S=21rt/3y（心［x'(t)]2十权(t)]2dty令—=u,X常微分方程du则空＝u+x—=J(u)二变量可分离方程及其推广dxdx1.变量可分离的方程dyfdu=f—dx+c=1nIxI+c(1)方程形式：—＝P(x)Q(y)(Q(y)*0)即）－UJXdx11

122.一阶线性非齐次方程(2)贵＝J(ax+by+cXa*0,b*o)dy+P(x)y=Q(x)dx令ax+by+c=u,用常数变易法司求出通解公式则空＝a＋b如）令y=C(x)e-/P(x)小dxfdu寸dx代入方程求出c(x)=x+ca+bf(u)则得y=e寸P(x)加(x)eJP(x)d,dx+CJdy.Aa1x+b1y+c1(3)云＝f（a2x+b2y+C』3.贝努利方程d~+P(x)y=Q(x)ya(a式，1)dxa.bII＠当A=-:t:-0情形，先求：_111a2b2令Z=YI-adz{alx+bly+C,＝0的解(a,/3）把原力程化为—+（1-a)P(x)z=(I-a)Q(x)dxa2x+b2y+c2=0再按照一阶线性非齐次方程求解。令u=x—a,v=y—/Jdy14.方程：—＝dx-Q(y)-P(y)xdx则：＝仁言2勹＝f［:：]属于齐次可化为—+P(y)x=Q(y)dy以y为自变昼，x为未知函数方程情形再按照阶线件非齐次方程求解。a.b＠当A=11=0悄形，四．全傲分方程及其推广（数学一）a2b21.全微分方程a2b令-=-2=入oQoPalblP(x,y)dx＋Q(x,y协＝0,满足·-=axoydyAa1x+b1y+c1通解：u(x,y)=C,则云＝f（入(alx+bly)+C2)其中u(x,y)满足du(x,y)=P(x,y汕＋Q(x,y协令u=a1x+b1y,求u(x,y)的常用方法。则:=a1+bl贵＝a1+b1.f［二c；2]第一种：凑全微分法P(x,y汕＋Q(x,y协＝A.=du(x,y)屈千变星可分忠方程情形。把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就三．一阶线性方程及其推广很有帮助。1.一阶线性齐次方程Cl)xdx+ydy~d厂厂］；空＋P(x)y=0dx它也是变量可分离方程，通解公式y=Ce-!小）气(2)xdx-ydy~d(¥}(C为任意常数）12

13(3)ydx+xdy=d(xy);饮，vJ)Jydx+xdy(4)=d(lnxy);xy-』(X凡？）（从礼）o_＿>飞(5)x言产＝d[½ln伈＋y2)](6)~=d[」ln伈－y2)}X2-y22心，y)＝小。，y。）+I(x,y)P(x,y汕＋Q(x,y灼(xo,Yo)=u(xo,Y。)」，OP(x,y。)dx+f:。Q(x,y炒(7)x2ydx=d(:];第三种：不定积分法au由=P(x,y)得(8)ydxy-2xdy=d(:].函u(x,y)=J沁，y肚＋C(y)(9)yxd：十：产＝d（arctan:J对y求导，Ou6得Q(x,y)＝—=—~P(x,y)dx]+C'(y),匈匈(10)xx气广＝d(arctani);求出C'(y)积分后求出c(y)(ll)ydx-xdy=d(!inX-y].X2-y22x+y2.全微分方程的推广（约当因子法）(l2)xdy-ydx=d[lnx+y]X2+y22x-y设P(x,y汕＋Q(x,y协＝0不是全微分方程。oQoP不满足--=(13)f,：勹2d;=d(-;X2}y2]ox彻但是存在R(x,y)(14)xdx-ydy=d[丿l](f-y2)22x2-y2;使得R(x,y)P(x,y)dx+R(x,y)Q(x,y)cty=0为全(15)~=d厂½arctan伈＋y2)}微分方程，l＋伈＋y2)22祁Q]_o[RP]也即满足=函oy(16)l+xt:2--yyd:)2=duarctan伈了）］则R(x,y)称为约芍因了，第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）按全微分方程解法仍可求出R(x,y)P(x,y汕＋R(x,y)Q(x,y协＝du(x,y)通解u(x,y)=C。这种情形，求约当囚子是关键。特殊的高阶微分方程13

14一．可降阶的高阶微分方程任意常数）仍为同方程的解，特别地，当y,(x)土入Y2(x)方程类型解法及解的表达式仅为常数），也即y,(x)与Y2(x)线性无关时，则方程的通解y=]趴扒心）”＋Clx'I-l+C产通解为Y=C1Y1(x)+C2Y2(x)产＝．f伈）n次2.若Y1(x),Yi(x)为二阶非齐次线件方程的两个特令y'=p，则y"=p'，原方程⇒解，则Y,(x)-Y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。p'=J(x,p)—一阶方程，设其解3.若y(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解，而y"=J(x,y')为p=g(x,C小y(x)为对府的二阶齐次线性方程的任意特解，则即y'=g(x,C,)，则原方程的通解为沁）＋y(x)为此二阶非齐次线性方程的一个特解。y=fg(x,C1胚＋C2o4.若了为二阶非齐次线性方程的一个特觥，而令y'=p,把p看作y的函数，则C1y1(x)+C2y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的通解(cl,c2为独立的任意常数）则y"＝兜＝空空＝p空dxdydxdyy=y(x)+C,y,(x)+C2y2(x)是此二阶非齐次线性方程把y''y"的表达式代入原方程，得的通解。dp15.设y,(x)与Y2(x)分别是y"=J(y,y')—dy＝一Pf(y，p)—-阶方程，y"+p(x)y'+q(x)y＝八（x)与设其解为p=g(y,cl)，即y"+p(x)y'+q(x)y＝儿（x)的特解，则—ddyxgl(yy,,CCII)),则原方程的通俯为Y1(x)+Y2(x)是I(y办)=x+C2.g,C1y"+p(x)y'+q(x)y=．八(x)＋儿(x)的特韶。二．线性微分方程解的性质与结构三．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程我们讨论二阶线性微分力程解的性质与结构，其结l.二阶常系数齐次线性方程论很容易地推广到更乌1阶的线性微分方程。y"+py'+qy=0二阶齐次线性力程其中p,q为常数，y"+p(x)y'+q(x)y=0(1)特征方程入2+pJ+q=0二阶非齐次线性方程特征力程根的三种不同情形对应力程通解的三种形y"+p(x)y'+q(x)y=.f(x)(2)式L.若Y1（对，Y2(x)为二阶齐次线性方程的两个特(1)当£1=p2-4q>0'特征方程有两个不同的解，则它们的线性组合C1Y1(x)+C2Y2(x)(cl'C2为实根入I'/4214

15则方程的通解为y=C11e炉+Ce2炉通解：Y=ji+C,Y1(x)+C2Y2(x)(2)当A＝矿－4q=0,特征方程有二币根具中C,y,(x)+C21i(x）为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非儿I=/42升次线件方程的一个特解了如何求？则方程的通解为y=(C1+C2x)e小我们根据J(x)的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到(3)当1-:,.=p2-4q<0'特征方程有共枙复根特解y，常见的八x)的形式和相对应地了的形式如下：a土i/J，I.J(x)=P,"（对，其中P,,(x)为n次多项式则方程的通解为y=e气C1COS/JX+C2Sill/JX)(1)若0刁、是特征根，则令2.n阶常系数齐次线性方程歹＝RJx)=a。x"+a,x"-1+J\+an_,x+a,,产＋P1/11一i)+P2/"-i)+A+P11-1Y1+P,,Y=O其中a;(i=0,1,2,A,n)为待冗系数。其中p;(i=1,2,A,n)为常数。(2)若0是特征方程的单根，则令y=xR,,(x)相应的特征方程(3)若0是特征方程的重根，则令了＝x2R,,(x)入“+p,,ln-1+P2入“-2+A+p,,_1,l+p,,=02.f(x)=P,,(x~“其中P,,(x）为n次多项式，a为特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。实常数(1)若特征方程有n个不同的实根儿p入2,A，九(1)若a不是特征根，则令y=R,1(xk”则力程通解y=C,e久，x+C2e入2X+A.+CneA,.Xn(2)名a是特征方程单根，则令y=xR,,(x~m(2)若A。为特征方程的K重实根(k~n)(3)若a是特征方程的重根，则令歹＝x2凡(x)e”则方桯通解中含有(c,+C2x+J\+Ckx仁I}炉3或J(x)=P,,(x)e“sin/Jx(3)若a土汾为特征方程的K亚共枙复根八x)=P,,(x)e气OS/3x(2k~n)其中P,1(x)为n次多项式，a,/3皆为头常数则方程通解中含有(I)若a土i/J不是特征根，则令e"'"[(~+C2x+A+Ckx"-')cosf}x+(J>i+D2x+A+Dk产）sin/Jx]歹＝产[R,,(x)cosfJx+T,,(x)sin肛］由此司见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特其中R,,(x)=a。x"+a1xn-l+A+a,,_1x+a11征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征力桯的叶＝0,1,J\,n)为待定系数根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。T,,(x)=b。x"+b1x"-1+A+b,,一1x+b11四．二阶常系数非齐次线性方程方程：y"+py'+qy=f(x)其中p,q为常数b;(i=0,1,J\,n)为待定系数15

16(2)若g士i/J是特征根，则令3.数品积。ab=|a||b|cos（嘉）y=xe汁R,,(x)cos/Jx+T,,,（对sin/Jx]=a1b1+a凸＋a3b3五．欧拉方程（数学一）',(,1)/1-l(/1-l其中［动）为向晕a,b间夹角x"y(n)+p,x"-'y(11-I)+A+Pn_,xy'+P,,Y=0'a·b为数岳也称点乘。其中p;(i=1,2,A,n)为常数称为n阶欧拉力程。令a·b。表示向址a在向扯b上的投影，即x=e'代入方程，变为t是自变晕，y是未知函数的微a-b0=Prjba分方程，一定是常系数齐次线性侬分方程。注意下面变换公式：4.向堡积axb也称为叉乘。dydydt_-Idy1dy__dydy一＝—·—=e—=-—,x—=—,dxdtd,ydtXdtd;飞dtlaxbHall凡s`｀axb的方向按木手法则垂曰：：fa,b所在平而，目:＝贵归侵］＝三（e,贵］＝e-2,臼－e-2，夸ijkaxb=la,生生｀臼－靡］b,b2b32矿yd2ydyaxb是向篇，axb=-bxa。laxbl等千以a,b为x=-—dx2dt2dt邻边的平行四边形的面积。向盐代数与空间解析几何5.混合积：定义(a,b,c)=(axb)飞，坐标公式＿．向量的运算a=a/+a2j+a3k＝忆，a2,aJa1a2a3(a,b,c)=lb1忙从b=b1i＋如＋b次＝仇，b2,bJclCzC3c=c,i+c2j+c3k=伈，C2,C3}几何意义l(a,b,c~表不以a,b,c为棱的平行大面体的体积。四．两向址间的关系设a=忆，a2,a3},b=仇，b2，从｝1.加法。a+b＝忆＋b1,a2+b2,a3+bJ关系向蜇表示向量坐标表示减法。a-b={a1-b1,a2-b2,a3-bJa,b间灾co笚呫＋吆＋吆a·b2.数乘。入a=｛袖，弘，弘｝仅是常数）COS(p=—lallblJ仁奇＋忒J片屯＋氏角炒）向盘的加、减和数乘运算统称线性运算。a与b乖a-b=0a戊＋a丸＋b丸＝0直16

17设直线L的一般式方程为allaa3a与b平__万2__｛心＋Bly+Ciz+Dl=0，则通过L的所有平面方程--axb=0bb行_3A2x+B2y+C2z+D2=0为一平面及其方程k1(A1x+B1y+C1z+D1)+k2(A2x+B2y+C2z+D2)=0l.法（线）向翟，法（线）力向数。，其中(kl>k2)-:;:.(o,o)。与平面冗垂直的非零向扯，称为平面冗的法向扯，6.有关甲面的问题通常记成n。法向址{m,n,p}的坐标称为法（线）方向两平而为数。对才给定的平面兀，它的法向批有兀穷多个，但它冗1:A1x+B1y+C1z+D1=0所指的方向只有两个。2.点法式方程已知平面冗过M(x0,y。,z。)点，冗2:~x+B2y+C2z+D2=0其法向景n={A,B,C}，则平面冗的方程为冗1与冗2间A1A2+B1B2+C1C2COS(f)=扛＋Bi+Ci归＋B：+C:A(x-x。)＋B(y-y。)＋C(z-z。)＝0夹角（叫或n·(r-'i。)=0垂直条件A1A2+B1B2+c,c2=0其中r。={x。,y。,z。}，r={x,y,z}平行条件4＝生＝气气A2B2c2D23.一般式方程Ax+By+Cz+D=0AlBlClDI重合条件=-=-=A2B2C2D2其中A,B,C不全为零。x,y,z前的系数表示冗的设半面兀的方程为Ax+By+Cz+D=0,而点法线方向数，n={A,B,C}是冗的法向朵。M伈，Y1,21)为平面冗外的一点，则M到平面冗的距离特别悄形：d:Ax+By+Cz=0,农示通过原点的平面。Ax1+By1+Cz1+Dd=Ax+By+D=0,平行千z轴的平面。归2+B2+C2Ax+D=O,平行yOz平面的平而。三．直线及其方程l.力向向益、力向数x=O表示yOz半面。与宜线平行的非零向虽s,称为直线L的方向向童，4.三点式方程力向向益的坐标称为方向数。2.直线的标准方程（对称式方程）。设A(x1,Y1,21)'B(x2,Y2,22),C(x3,y3,Z3)三X-X。=y-y。＝三点不在一条百线上，则通过A,B,C的平面方程为lmnX-xly-y1z-z,具中(xu,Y。,z。)为直线上的点，l,m,n为直线的方X2-x,Y2-Y1Z2-z,I=0向数。X3-x,Y3-Y,z3-z13.参数式方程5.平面束17

18,Vdxyz___xoyozo+ltmtntAx+By+Cz+D=0_++__且线L的方程为：x-x。-=y-y。z-z。l-=nCs={l,m,n},t为参变菜。m4.两点式L与冗间夹角Al+Bm+Cn设A(x1,yi,z1),B(x2,y2,z2)为不同的两点，则位）lsina=~sina=言通过A和B的直线方程为lmnx-x1y-y1Iz-z1L与冗垂门条件一＝－＝－==ABCX2一斗Y2-YiZ2-z1L与兀平行条件Al+Bm+Cn=05.一般式方程（作为两平面的交线）：Al+Bm+Cn=0L与兀重合条件L上有一·点在冗上｛心＋Bly+Clz+Dl=0，方向向盘Azx+B2y+C2z+D2=0多元函数傲分学多元函数的偏导数与全微分S={Ai,B忑｝x队，B2,C2}四方向导数与梯度（数学一）6.有关直线的问题两直线为1.平面情形x-x,y-y,z-z1LI:==/1m1n1z=(x,y)在平面上过点片(x。,y。)沿方向x-x2y-y2z-z2I=(cosa,cos/J）的方向导数L2:==lmn222LI与L2间夹砑f伈＋tcosa,y。+tcos/3）－．f(xo,Y。)cosB=从＋m吧＋n1n2=limatl(xo,Y。)1今0tt12＋咐＋n:J片＋咐＋ni角(0)垂百条件从＋m1m2+n心＝0z=J(x,y)在点P0(x。,y。)处的梯度为l_m_n1___＿叱__一生半行条件hgradf伈，y。)＝（气0x,y。)，气;,y。)]而方向导数与梯度的关系为创四．平面与直线相互关系=[graq小。，y。）］latl(xo,Y。)=lgradf伈，y。伈cos!(graq凡，y。）,l)多元函数傲分法一．复合函数微分法锁链公式校型1.z=f(u，叶，u=u(x,y),v=v(x,y)半即冗的方程为：18

19空亟ozauozovozozauozov=-au-ax+＿-ox＿=一－+＿-ay函F'函F'.'(2)确定x=x{y,z)则—=--;加匈如动彻—=－一ayF,'8zF,'(3)确定z<：三匈F'6yF'y=y(z,x)则—=－一－;—=－－土ozF'y8xF'y校型2.u=J(x,y,z),z=z(x,y)多元函数的极值和最值如，位一．求z=J(x,y)的极值—＝八＇＋fc'·—0x0x{刀几((xyy))_00如，6z第步,x,_习、y.山“—＝刀＋J二·—__什J驻,匈匈(xk,Yk)(k=1,2,A,!)令三三：第少＂一＿Ak＝尺（xk,Yk)八龙，Yk)-[f~龙，动］2桢型3.u=f(x,y,z),y=y(x),z=z(x)若t:,_k<0则f伈，Yk）不是极仇:＝兀＋几'y'(x)+J;·z'(x)若t:,_k=0则不能确定（衙从极值定义出发气了讨论）若Ak>0则f伈，Yk)是极值模型4.w=J(u,v),u=u(x,y,z),v=v(x,y,z)进一步若尺(xk>yk)>Q则八xk,Yk')为极小伯OW,6u,Ov若尺(xk,Yk)

20F'=0=s:dyJ:.山）f(x,y协叭y).M关千二重积分的计算主要根据模型1或模型II把二F'=0Xn重积分化为累次积分从而进行计算，对1比较复杂的区域凡＝正，A,xJ=OD,如果既不符合模型1中关千D的要求，又不符合模M型II中关于D的要求，那么就需婓把D分解成些小区域，使得每一个小区域能够符合模型1或模型II中关于度＝仇，（x,,A,x11)=0区域的要求，利用二正积分性质，把大区域上二正积分等丁这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积求出（如，A,x~k)xk=1,2,A,l)是有可能的条件分则可以化为累次积分进行计算。极值点，一般再由实际问题的含义确定具充分性。这种在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相铭方法的关键是斛方程组的有关技功。化是一种很重要的丁段，具体做法是先把给定的祟次积分多元函数积分学反过来化为二蜇积分，求出它的积分区域D，然后根据D二．在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积再把二單积分化为另外一种顺序的累次积分。分顺序问题模型］：设有界闭巨域三．在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即D={(x,y~a:s:;x:s:;b,rp,{x)三y5rp2(x)}先固定0对y进行积分，然后再对0进行积分，由千区域扣沪驴X)D的不同类驴，也有几种常用的模驴。＼勹,,.2二）模型：设有界闭区域D={(y,0~卢0勺J3,01(O)勺立（小｝，五勹f`l;"其中{pl（对，rp2(x）在[a,b]上连续，J(x,y)在D上（厂『连续。则ff八x,y)心＝ff八x,y炉dy其中(fJ1(O)，(fJ2(O)在[a,/3］上连续，DD=J:dxJ:,；己（r入；）八x,y协J(x,y)=J(ycos0,ysin0)在D上连续，则模型II:设有界闭区域JJ八x,y)心＝JJ几cos0,ysin0)rdyd0DDD={(x,y~c~y~d,lf/1(y)~X~lf/心）｝=I/Jdef~~)J(ycos0,ysin0)ydyaJrp,(0)、l模犁I：设有界闭巨域；入上－｀止身:···-｀了＼兑：：：灯D=伦，0~o:s;胚2冗，例(0)勺句2(0)}乙I`--.....:,____.__,今战(6)足u,./---_______r,/.,,,.(.fiP具中u心），u心）在[c,d]上连续，八x,y)在D\上连续。则II八x,y)da-=ff八x,y)dxdy其中

21J(x,y)=J(ycos0,ysin0)在D上连续，则V=JI亿(x,y)-J;(x,y)如DII瓜，y')da=ff兀cos0,ysinB)rdydB其中D为闭曲面S在xy半面上投影区域DDz＝八（x,y)为1一半曲面，z＝J;(x,y)为下平曲面。2冗叭0)=J。d0Jp,(O)为cos0,ysin0)rdy极型JI：设有界闭区域2.空间曲面的面积D=伦，0｝a<05/J,O:s;y:s;叭0)}｀飞］2＋［荨心其中D为曲面S在xy平面上投影，曲面S的方程。pz=z(x,y)三重积分其中rp(0)在[a,(}]上连续，二．三重积分的计算方法八x,y)=J(ycos0,ysin0)在D上连续，则1．直角坐标系中三重积分化为累次积分II八x,y如＝II约cos0,ysin0)ydyd0DD(1)设Q是空间的有界闭区域，=f:d0[。,p(O)为cos0,ysin0)rdyQ={(x,y，中（x,y):o:::;z:o:::;z2(x,y),(x,y)ED}模型III：设有界闭区域其中D是xy平面上的有界闭区域，D=伦，0}肛缸2兀，0勺勺(0)}z,(x,y),z2(x,y)在D上连续，函数J(x,y,z)在Q上连续，则厮x,y,z)dv=ijdxdys:~~~:i)f(x,y,z胚？尸(2)设Q={(x,y,z~卢z::;/J,(x,y)ED(z)}其中(f)(B)在[o，江］上连续，其中D(z)为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则f(x,y)=J(ycos0,ysin0)在D上连续，则皿小，y,z)dv=t/Jdz1丿((x,y,z炉dyff瓜，y如＝ff八ycosB,ysin砂dydBDD2.柱坐标系中三重积分的计算=I。2“d0[。气(rcos0,ysin0)rdy皿J(x,y,z胚dydz=f[f氏cos0,ysin0,z)rdyd0dz四．二重积分在儿何上的应用1.空间物体的体积相当丁把(x,y)化为极坐标(y,0)而z保拧不变。21

223.球坐标系中三重积分的计算2.参数计算公式俨xyz__pppsmsmeosoeooOS.sm0,rp(\POO>-<-(X,LJ,'!)则f(f,fJ,'S)L8J(x,y,zy/S=［。，八x(t),y(t),z(t)从［x飞）］2+[y'(t)]2+[z'(t)]2dt4u（假设八x,y,z)和x'(t),y'(t),z飞）皆连续）这穴f样把曲线积分化为定积分来进行计算。二．第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）拊J(x,y,z')ctxdydzQ空间情形：设空间条逐段光滑有定向的曲线L=iJJ,=fff八psin0cos

23加以说明。飞[P(x,y,z)cosa+Q(x,y,z)cosfi+R(x,y,z)cos中2.参数计算公式r\其中cosa,cos/J,cosr为曲线弧AB上点我们只讨论空间情形（平面悄形类似）设空间有向曲线L的参数方程X=x(t),y=y（小(x,y,z)处沿定向A到B方向的切线的方向余弦。四．格林公式z=z(t)，起点A对应参数为a,终点B对应参数为P关千平面区域上的二阪积分和它的边界曲线上的曲（注意：现在a和P的大小不一定a

24值。如果对忏总分割和忏总取点，下列极限皆存在且相等叭三）dxdy=fPdx+Qdy/tIIlim区f（女，'7k,Sk焊'k入一认）寸C。Pdx+Qdy唱(Pdx+Qdyk=I则称这极限值为f(x,y,z)在曲面S上的第一类曲五．平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价面积分，也称对面积的曲面积分，记以条件Jff(x,y,z')dsS'设F但x,y),Q(x,y)｝的分扫P(x,y),Q(x,y)在2.基本计算公式单连通区域D内有一阶连续偏导数，则下面几条彼此等价。设曲面S的方程z=z(x,y1(x,y)ED,z(x,y)在l.对D内任意一条逐段光滑闭曲线L,都有D上有连续偏导数。£_Pdx+Qdy=0J(x,y,z)在S上连续，则2.任怠L=AB在D内，则fci.Pdx+Qdy只依赖筋8z\2(az12匠，y,z')ds=lj小，y，z(x```dxdyj起点A和终点B,与曲线L=A13的取法无关，称为曲线积分与路径尤关。这样把第一类曲面积分化为二疽积分进行计算。3.P(x,y)dx+Q(x,y炒＝du(x,y)成立。二第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）1.定义6Q6P4.D内处处有＝——成立。设S为分块光滑有向曲面（已指定侧为定向），放彻P{x,y,z),Q(x,y,z),R{x,y,z)皆在S上有定义，把5.向量场F炉(x,y),Q(x,y)}是有势场，即存在一曲而S任意分成n个小曲而M1,!::.S2,A,!::.S,,,而元函数v(x,y)，具有F=-gradV,V(x,y)称为势函轼(1:-s;k江）在yz平面上投影的面积记以（心人')}屯，在6V6V数，具有P=－—,Q=－一。6x6yzx平面上投影的面积记以(ASk)zx，在xy平面上投影的曲面积分而积记以（心k)戏，又在!::.Sk(1:-s;k:-:;;n)_I任取一点一．第一类曲面积分（对面积的曲面积分）（女，rJk,Sk)，令入是各小块曲面直径的最大值，考虑极1.定义限设S为分块光滑曲面，J(x,y,z)在S上有定义，畛压，m芯）），_＋Q忆，nk,sA．因）.,+R（女，nk,sk应）』把曲面S任意分成n块小曲面ASl,AS2,A,AS,／，在如果对任意分割，任意取点，极限值都存在并且相等，轼（1:::;k:::;n)上忏取一点（女，l]k,sk)，把小曲面ASk则这个极限限称为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在的面积也记以AS人＇，而凡表示各小块曲面且径的录大有向曲由S上的第二类曲面积分，也称为对面积的曲面24

25积分，记以令F={P,Q,R},n。叶cosa,cos/J,cosy}II凡，y,z协dz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdyffPdydz+Qdzdx+Rdxdy=ffF·n。dSsss如果令F={P,Q,R},dS={dydz,dzdx,clxdy}四．高斯公式则向贵形式为ffF-dS定理1.（单连通区域）s设Q是山分块光滑曲面S闱成的单迕通有界闭区域，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Q上有连续的一阶2.基本计算公式偏导数，则如果曲面S的方程z=z(x,y),(x,y)EDxy言詈詈］dv~fJPdydz+Qdzdx+Rdxdyz(x,y)在DX)，上迕续，R(x,y,z)在S上连续，则（外侧）ff船，y,z)dxdy＝土ff对x,y,z(x,y)]dxdySD汀=ff[Pcosa+Qcos/3+Rcosr]ds若曲而S指定一侧的法向蜇与z轴正向成锐角取s正号，成钝角取负号。这样把这部分曲面积分化为xy平其中cosa,cos/3,cosy为S在点(x,y,z)处的法向而L的二蜇积分。呈的方向余弦。类似地，曲面S的方程表示为x=x(y,z),定理2.（多边通区域）(y,z)EDyz，则设Q是(n+1)连通区域，外面边界曲面S。为外侧，ffP(x,y,z枷'ydz=士ffP[x(y,z),y,z协dz每一个“洞”的边界曲而S;（区k~n)为内侧，彼此不SDrz曲由S指定一侧的法向晕与x轴正向成锐角取正重叠，都在S。的内部。这些曲面都是分块光滑的，Q是号，成钝角取负号，如果曲面S的方程表示为y=y(z,x),(z,x)ED立，则有界闭区域，P(x,y,z),Q(x,y,ztR(x,y,z)在Q卜有连厮（x,y,z炉dx＝土ff创x,y(z,x),z扭dx续的一阶偏导数，则Dzx曲面S指定一侧的法向扯与y轴成锐角取正号，成皿：＋詈｀dv~!!Pdydz+Qdzdx+Rdxdy钝角取负号。由此可见，第二类曲面积分用基本公式进行计算是很麻烦的。绝大多数悄形都用下面的定理进行（外侧）计算，但是当P,Q,R有些为0只剩下一项或二项时，心ffPdydz+Qdzdx+Rdxdyk=ISK也有可能用基本公式进行计算。（内侧）三．两类曲面积分之间的关系五．斯托克斯公式JfPdydz+Qdzdx+Rdxdy=Jf[Pcosa+Qcos/3＋Rcosy伈定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边ss界的分块光滑有向曲面，L的兀向与S的侧（即法向挝的指向）符合右手法则，函数其中cosa,cos/J，cosy为曲面S在点(x,y,z)处根据P(x,y,z),Q(x,y,z忱(x,y,z)在包含S的一个空间区域定向指定一侧的法向岳的三个方向余弦。25

26内有连续的一阶偏导数，则有jK6吁i0dxdydydz66-oy-U旋度rotF="vxF=—az一-祁QR廿dx+Qdy+Rdz~fJI!动azpQR＝叭笠厂~Jdydz+（笠—笠）中心＋［60了—笠］dxdy=｀｀詈勹仅－勹称为F的旋度。斯托克斯公式可写成ff·dr=Jf(rotF)·n。dS也可用第一类曲面积分s其中dr=(dx,dy,dz),n。=(cosa,cos/3,cosr)cOSfJcosacosy6一动6廿心＋Qdy+Rdz~JJI!—dS无穷级数azQ常数项级数R六．散度与旋度1.基本性质，，，勹讨论中有三个概念很五要，就是梯度、散度和旋度。(1)如果Iu,，和Iv"皆收敛，a,b为常数，则/1=ln=1前而我们已经讨论过梯度：oo设”“u=u(x,y,z)算6V=［卢，归）L(au,,+bv,,)收敛，且哼千aLu,,+bLv,,11=1n=In=I(2)什级数中增加或减少或变更有限项则级数的收加auaugradu=(——,—)＝Vu称为u的梯度。敛性小变。淑＇动az(3)收敛级数具有结合伴，也即对级数的项任慈加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和小变。1.散度发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。设F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))O3(4)级数Iu,,收敛的必要条件是limu,l=0。n=I＂分心aP.aQ.aR散度divF=-＋—+—=V·F称为F的散O3ax函oz（注：引言中提到的级数:(-l)”+1,具有,l=1度高斯公式可写成附加Fdv=JJF·n。dSlim(-1)"+1不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，故II➔OOQS（外侧）1归1)11+1发散。调和级数2l满足hm上＝0，但2-n。=(cosa,cos[J,cosy)II=ln=ln,I➔OOn,i=,n却是分散的。所以满足收敛级数的必要条件limu11=0,2.旋度II➔OO而fu,，收敛忖尚不能确定。）设F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))II=l2.两类重要的级数26

27oooo(I)等比级数（几何级数）如杲LV,，收敛，则Lu,，收敛，11=1n=Ioo区ar"(a-:1;0)中心n=O如果LU,，发散，则区vn发散。11=1n=l。a当1叶<1时，Iar"=—收敛；11=01-r2.比较判别法的极限形式oo当1叶~1时，Lar"发散。设u"~0,V,,~0,(n=1,2,3,A)/1=0(2)p一级数u8al若lim~=A/i-OOV-nInpOOOO(1)为O1时，2上收敛；p/1=ln同时发散。°°l当p~l时，2了发散。(2)当A=O时，若言V"收敛，则言．u"收敛。/1=1n°°1（注：p>1时':—的和一般不作要求，但后(3)当A=＋OO时，若fu,,收敛，则fv,，收敛。pIl=ln11=111=1°°1冗2而用特殊的方法可知区勹－＝—o)3.比值判别法（达朗倍尔）/1=ln6u二．芷项级数敛散性的判别法设u,1>0，而lim2-!!兰=p“➔OOUnoo若u,，习O(n=1,2,3,A)则Lu,，称为开项级数，这oofl=l(1)当p<1时，则Iu,，收敛。11=1时S，叶1：：：：：S11(n=1,2,3,A)。(2)当p>l（包括P=+oo)时，则Iu,，发散。f1=l所以｛凡｝是单调增加数列，它是否收敛就只取决千(3)当p=1时，此判别法无效。凡是否有上界。u,,+1（注：如果lim不存在时，此判别法也无法用。）。II➔Ou因此LU,，收敛¢=>s有上界，这是正项级数比较IIII,1=l判别法的基础。从而也是正项级数扛它判别法的基础。4.根值判别法（柯西）1.比较判别法设u,1习0，而凹叭汇＝poo设c>O，当n~N时，CV11~U11>0皆成立。(1)当p<1时，则区U,，收敛。n=I27

28(2)条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即oo(2)当p>l（包括p=+oo)时，则区u,1发散。/1=l°l°l邑加l+u")或;2他－lu"I)一定是发散的。(3)当p=1则，此判别法无效。事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数4.一类重要的级数比较得出相应的结论。应用时，根据所给级数的形状有co(—l)”+l不同的选择，但它们在p=1情形都无能为力，数学上空旷有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说，不作~()(-1)'•+1要求。（］）当p>1时，2是绝对收敛的。n=lnp三．交错级数及其莱布尼兹判别法~(-1)"+1）．交错级数概念(2)当0中fu,.(x)称为区间I卜的函数项级数11=1则2(－l)”+IU，收敛，且O

29因此两种悄形的收敛域就确定的。而(3)的悄形，还需讨论心s(x)=Iu,,(x)'XE收敛域土R两点上的敛散性。/1=1a。如果｝吧:=l（包括＋00）或皿妇＝l（包称S(x)为函数项级数区u,,(x)的和函数，它的定11=)括＋OO）义域就是函数项级数的收敛域。1则收敛半径R=—（若l=＋OO，则R=0;若l=0,l二．幕级数及其收敛域则R=+oo)如果上述两极限不成立，那么就要用其它力法求收敛1.幕级数概念半径，后面有所讨论。fa,,(x-x。丫称为(x-x。)的幕级数，三．幕级数的性质11=1］．四则运算a11(n=0,1,2,A)称为幕级数的系数，是常数。oo平。＝0时，2a,，x”称为x的幕级数。设fa,,x"=f(x),lxl0,n=O。(2)收敛域仅为原点，除原点外幕级数区a,,x"皆oo11=0S(x)=Ia,,x"为和函数，则有下列重要性质11=0发散，我们称它的收敛半径R=0。(3)收敛域为(-R,R)或(-R,R]或[-R,R)或(I)S(x)在(-R,R)内可导，且有逐项求导公式[—R,R]中的种，我们称它的收敛半径为S'(x)=(ia,1x”]1＝江，，xn)'＝江，,x"-'11=0J11=011=1R(0

30下列基本公式应熟背(-R,R)内有任意阶导数，公式为。1(1)Ix"=,I斗

312.函数展成幕级数的条件oo例：cosx=(sinx)1＝区(-l)”X2/I,1习<+OOII=。（2n)!设f(x)在lx-x。|