2023届高考二轮总复习试题数学（文）考点突破练18利用导数求参数的值或范围Word版含解析

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考点突破练18　利用导数求参数的值或范围1.(2022·全国甲·文20)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.2.(2022·辽宁抚顺一模)已知函数f(x)=e2x+(1-2a)ex-ax.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=1时,若∀x>0,都有2f(x)-f'(x)≤-x2-(m+2)x,求实数m的取值范围.3.(2022·四川泸州三模)已知函数f(x)=-13x3+ax,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)·ex有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.

14.已知函数f(x)=x2-lnx.(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)若ef(x)+ex-ax≥0,求实数a的取值范围.5.(2022·北京东城二模)已知f(x)=x+2a2x+alnx(a∈R).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当x∈[e,+∞)时,曲线y=f(x)在x轴的上方,求实数a的取值范围.

26.(2022·山东济宁一模)已知函数f(x)=ax2-xlnx+2a(a∈R,a≠0),曲线y=f(x).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若不等式f(x)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.

3考点突破练18　利用导数求参数的值或范围1.解(1)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(-1)=2.当x1=-1时,f(-1)=0,故y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2x+2.又y=2x+2与y=g(x)相切,将直线y=2x+2代入g(x)=x2+a,得x2-2x+a-2=0.由Δ=4-4(a-2)=0,得a=3.(2)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(x1)=3x12-1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1),整理可得y=(3x12-1)x-2x13.由g(x)=x2+a,得g'(x)=2x.设曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线为y-(x22+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-x22+a.由题可得3x12-1=2x2,-2x13=a-x22,∴a=x22-2x13=14(9x14-8x13-6x12+1).令h(x1)=9x14-8x13-6x12+1,则h'(x1)=36x13-24x12-12x1=12x1(x1-1)(3x1+1).当x1<-13或01时,h'(x1)>0,此时函数y=h(x1)单调递增.则h(-13)=2027,h(0)=1,h(1)=-4,∴h(x1)min=h(1)=-4,∴a≥-44=-1,即a的取值范围为[-1,+∞).2.解(1)由已知得函数f(x)的定义域为R,则f'(x)=2e2x+(1-2a)ex-a=(2ex+1)(ex-a).由于2ex+1>0,从而当a≤0时,f'(x)>0恒成立,故函数f(x)在R上单调递增.当a>0时,由f'(x)>0,解得x>lna;由f'(x)<0,解得x0时,f(x)在(lna,+∞)上单调递增,在(-∞,lna)上单调递减.(2)当a=1时,由(1)得2f(x)-f'(x)=-ex-2x+1.当x>0时,不等式2f(x)-f'(x)≤-x2-(m+2)x可化为m0,所以h'(x)>0,因此h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(0)=0,即ex-x-1>0,得g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=e-2.因此m≤e-2,得实数m的取值范围为(-∞,e-2].3.解(1)由题意f'(x)=-x2+a,当a≤0时,f'(x)≤0恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,由f'(x)=-x2+a>0,得-a

4则f(x)在(-a,a)上单调递增,在(-∞,-a),(a,+∞)上单调递减.(2)g(x)=f(x)·ex=-13x3+ax·ex,g'(x)=-13x3-x2+ax+a·ex.∵g(x)有且只有一个极值点,∴g'(x)只有一个变号零点.由-13x3-x2+ax+a·ex=0,得a=13x3+x2x+1(x≠-1),当x=-1时,-13x3-x2+ax+a·ex≠0.令h(x)=13x3+x2x+1(x≠-1),h'(x)=23x(x2+3x+3)(x+1)2=23xx+322+34(x+1)2.由h'(x)>0,得x>0.又x≠-1,∴h(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x=0时,h(x)取得极小值h(0)=0,画出h(x)的图象如图.由g'(x)=0只有一个变号零点,∴a<0,∴a的取值范围是(-∞,0).4.解(1)定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-1x,则f'(1)=1,f(1)=1,故切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.(2)(方法一)记F(x)=ex2-elnx+ex-ax,由F(1)≥0,得e-0+e-a≥0,即a≤2e.下面证明a≤2e时,ef(x)+ex-ax≥0.当a≤2e时,由x>0,F(x)≥ex2-elnx+ex-2ex,令G(x)=ex2-elnx+ex-2ex,则G'(x)=2ex-ex+ex-2e=2e(x-1)+ex-ex,当x∈(0,1)时,G'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,G'(x)>0,所以G(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,G(x)≥G(1)=0,即F(x)≥G(x)≥0.综上可知,实数a的取值范围为(-∞,2e].(方法二)由条件得ex2-elnx+ex-ax≥0,x>0,所以a≤ex2-elnx+exx,记F(x)=ex2-elnx+exx,则F'(x)=2ex-ex+exx-(ex2-elnx+ex)x2=e(x2-1)+(x-1)ex+elnxx2,当x∈(0,1)时,F'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0,所以F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,F(x)min=F(1)=2e,则实数a的取值范围为(-∞,2e].5.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).当a=1时,f(x)=x+2x+lnx,f'(x)=1-2x2+1x.所以f(1)=3,f'(1)=0.

5所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3.(2)当a≥0时,由x∈[e,+∞),得f(x)>0,故曲线y=f(x)在x轴的上方.当a<0时,f'(x)=1-2a2x2+ax=(x-a)(x+2a)x2.令f'(x)=0,得x=-2a或a(舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下.x(0,-2a)-2a(-2a,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗当-2a≤e,即-e2≤a<0时,f(x)在[e,+∞)上单调递增,f(x)≥f(e)=e+2a2e+a=2ea+e42+78e>0,即曲线y=f(x)在x轴的上方.当-2a>e,即a<-e2时,f(x)在[e,-2a)上单调递减,在(-2a,+∞)上单调递增,则f(x)≥f(-2a)=-3a+aln(-2a).由-3a+aln(-2a)>0,解得a>-e32,所以-e320),则g'(x)=2a-1x=2ax-1x.①当a>0时,f(1)=a+2a>0与f(x)≤0恒成立矛盾,不合题意.②当a<0时,g'(x)<0,f'(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f'(e-1)=2ae-1<0,f'(e2a-1)=2a(e2a-1-1)>0,所以∃x0∈(e2a-1,e-1),使得f'(x0)=2ax0-lnx0-1=0,即a=lnx0+12x0.所以当x∈(0,x0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)max=ax02-x0lnx0+2a=lnx0+12x0x02-x0lnx0+2lnx0+12x0=x0[9-(lnx0)2]2(lnx0+1)≤0.因为x0∈(e2a-1,e-1),所以lnx0+1<0.所以9-(lnx0)2≥0,即-3≤lnx0<-1,解得e-3≤x00,所以g(x)在[e-3,e-1)上单调递增.所以g(e-3)≤g(x)