重庆市南开中学校2022-2023学年高三上学期期末数学综合复习Word版含解析

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重庆南开中学高2023届高三（上）复习题数学综合试卷一、单选题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知为虚数单位，复数，则的虚部为（）A．B．C．D．2．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．3．若已知直线与圆交于两点，则“”是“弦所对圆心角为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若是上周期为3的偶函数，且当时，，则（）A．B．2C．D．5．已知等比数列的前项和为，则的最小值为（）A．B．C．D．6．在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司

17．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法错误的是（）A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为B．C．使得不等式成立的的最大值为4D．数列的前项和8．已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中．有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．直线与平行，则B．正项等比数列满足，，则C．在中，，，若三角形有两解，则边长的范围为D．函数为奇函数的充要条件是学科网（北京）股份有限公司

210．动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是（）A．刀片电池的安全性更高，价格优势更突出B．三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低C．对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池D．磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好11．已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（）A．B．C．的最大值为D．设，则12．数列依次为：1，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第一项为，接下来三项均为，再接下来五项均为，依此类推．记的前项和为，则（）A．B．存在正整数，使得C．D．数列是递减数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应位置上．13．已知，，则______________．14．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠环相连的银制的九连环（如图）．现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的最少移动次数，且数列满足，，（，），则解开九连环最少需要移动______________次．学科网（北京）股份有限公司

315．已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______________．16．已知数列的通项公式为，，设是数列的前n项和，若对任意都成立，则实数的取值范围是______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．圆心在射线上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）求过点且与该圆相切的直线方程．18．已知的内角的对应边分别为，，，．（1）求；（2）设为边上一点﹐且，求的面积．19．已知数列的前n项和为，且，．（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）证明：．20．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部长肖亚庆先生提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（亿元）与科技升级直接纯收益（亿元）的数据统计如下：序号12345678910111223468101321222324251322314250565868.56867.56666学科网（北京）股份有限公司

4当时，建立了与的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定与满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型．回归模型模型①模型②回归方程182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数，）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，应用（1）的结论，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：线性回归方程的系数关系：）（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率大幅提高，经实际试验得大致服从正态分布．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过，不予奖励；若芯片的效率超过，但不超过，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过，每部芯片奖励4元．记为每部芯片获得的奖励，求（精确到0.01）．（附：若随机变量，则，）21．(12分)已知函数,,其中e为自然对数的底数．（1）当时，求证：；（2）是否存在直线与函数及的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．学科网（北京）股份有限公司

522．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点,的距离之比是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为：，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．①求的取值范围；②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．学科网（北京）股份有限公司

6重庆南开中学高2023届高三（上）数学综合复习题参考答案一．单选题BAACDBCD二．多选题9．BCD10．AB11．BCD12．ACD三．填空题13．14．15．16．四．解答题17．解：（1）设圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，而，即，解得（舍去），故所求圆的方程为．（2）当切线的斜率不存在时，因为过点，其方程为，圆心到直线的距离为，满足题意．当切线斜率存在时，设切线为，即，圆心，半径，，解得．当切线的斜率存在时，其方程为，即．综上，切线方程为或．18．解：（1）由正弦定理得：，即，，在中，，，所以，因为，所以．（2）由余弦定理可得，即，整理得：，解得或（舍去），，，解得，在中，，所以，，即是的中点，所以的面积．19．解：（1）因为，所以，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，从而，故学科网（北京）股份有限公司

7（2）由（1）知，，则，作差，得，所以，又因为，所以．故．20．解：（1）由表格中的数据，，所以，所以．可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．所以回归模型②的拟合效果更好．（2）由（1）回归模型②的拟合效果更好，其回归方程为，所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）．当时，由已知可得，．所以．所以当时，与满足的线性回归方程为．当时，科技升级直接收益的预测值为亿元．当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，所以技术升级投入亿元时，公司的实际收益更大．（3）因为，，所以；．所以（元）．21．解：（1）设，，．因为在为增函数，且，所以，，为减函数，，，为增函数．所以，，即证．（2）设直线与切于，与切于，．学科网（北京）股份有限公司

8，，，所以切线为．因为，即，即．又因为，将，代入，得：，整理得．设，，因为在为增函数，且时，，所以，，为减函数，，，为增函数．，又因为，，所以在上有两个零点，即方程有两个根，所以有两条直线与函数及的图象均相切．22．解：（1）设，由题意（常数），整理得：，故，又，解得：，，∴，椭圆的方程为．（2）①由，又，∴，令，则，设，则有，又直线的斜率，则，，代入得：学科网（北京）股份有限公司

9，即，∵，∴．②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，则有，即，解得：．又，故，∴，又，∴，解得：，，∴，∴直线的方程为．学科网（北京）股份有限公司

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