拉格朗日方程，拉格朗日体系

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第四十章：拉格朗日方程，拉格朗日体系，你一定听过。——灵遁者拉格朗日方程，拉格朗日体系，你一定听过。但是拉格朗日这个人，我们并不熟悉。至少他的名字没有像牛顿，爱因斯坦那样闻名。但他的贡献可以和牛顿比肩。甚至很多细心的朋友，应该注意到了即使在量子力学中，拉格朗日体系也是经常被应用的。拿破仑还给他颁过奖，牛顿去世的时候，他是一个9岁的孩子。虽然本书是量子力学的科普书籍，但由于书中反复出现了这位伟人的名字，所以我有必要把他的生平和他的理论贡献，为大家做一个介绍。约瑟夫·拉格朗日伯爵（法语：JosephLagrange，1736年1月25日－1813年4月10日），法国籍意大利裔数学家和天文学家。拉格朗日曾为普鲁士腓特烈大帝在柏林工作20年，被腓特烈大帝称其为“欧洲最伟大的数学家”，后受法国国王路易十六的邀请定居巴黎直至去世。拉格朗日一生才华横溢，在数学、物理和天文等领域做出很多重大的贡献。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立拉格朗日力学等等。拉格朗日是18世纪一位十分重要的科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献，但他主要是数学家。他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用，使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具。同时在使天文学力学化、力学分析化上也产生历史性影响，促使力学和天文学（天体力学）更深入发展。在他的时代，分析学等分支刚刚起步，欠缺严密性和标准形式，但这不足以妨碍他取得大量的成果。接下来我一起来回顾一下这位伟大科学家的牛哄哄的人生履历吧。即使放到现在，依然是很牛的人物！1754年（18岁时），拉格朗日以意大利语写出第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，寄给数学家法尼亚诺，并用拉丁语写出寄给在柏林的欧拉。可是当年8月他看到了莱布尼兹同约翰·伯努利的通信，获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，9月给法尼亚诺的信中说他正研究等时曲线，并于年底开始研究变分极值问题。1755年8月12日，拉格朗日在写给普鲁士科学院数学部主任欧拉的信中，给出了用纯分析方法求变分极值的提要；欧拉在9月6日回信中称此工作很有价值。此成果使拉格朗日在都灵出名。9月28日，他被任命为都灵皇家炮兵学校教授，年仅19岁。他本人认为这是第一篇有意义的论文。

1任教后，拉格朗日积极进行研究。1756年，他在给欧拉的信中，开始把变分法用于力学，还把欧拉关于有心力的一个定理推广到一般动力学问题。欧拉十分赞赏，把信送交院长皮埃尔·莫佩尔蒂（莫培督）。莫佩尔蒂看到拉格朗日才华非凡，而且是他的最小作用原理的支持者，便建议拉格朗日来普鲁士任讲座教授，条件比都灵优越；但拉格朗日尚无此等想法，婉言谢绝。9月2日，他被欧拉举荐入普鲁士科学院。1757年，以拉格朗日为首的一批都灵青年科学家，成立了一个科学协会（即都灵皇家科学院的前身），并开始以拉丁语和法语出版学术刊物《都灵科学论丛》（MiscellaneaTaurinensia，法语名MélangesdeTurin）。前三卷（1759年、1762年、1766年）刊登了拉格朗日几乎全部都灵时期的论文。其中有关变分法、分析力学、声音传播、常微分方程解法、月球天平动、木卫运动等方面的成果都是当时最出色的，为后来他在这些领域内更大贡献打下了基础。1762年，法国科学院放出1764年悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。1763年11月，都灵王朝外交官Caraccioli去伦敦赴任时，带拉格朗日到巴黎，受到巴黎科学院的热烈欢迎，并初次会见达朗贝尔。在巴黎停留六周后拉格朗日却病倒，不能去伦敦。康复后遵照达朗贝尔意见，回国途中在日内瓦拜访了当时著名数学家伯努利和文学家伏尔泰，他们的看法对拉格朗日以后的工作有启发。1765年初，回到都灵后，他成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题（木星的四个卫星的运动问题），于1766年又一次获奖。　同时，1765年秋，达朗贝尔写信给普鲁士国王腓特烈大帝，热情赞扬拉格朗日，并建议在柏林给拉格朗日一个职位。国王同意后写信给拉格朗日说，在“欧洲最伟大的王”的宫廷中应有“欧洲最伟大的数学家”。但他回信表示不愿与欧拉争职位。1766年3月，达朗贝尔来信说欧拉决定离开柏林，并请他担任留下的职位。拉格朗日决定接受。5月3日欧拉离开柏林去彼得堡后，拉格朗日正式接受普鲁士邀请，于8月21日离开都灵。在去柏林前，拉格朗日绕道巴黎和伦敦，拜访达朗贝尔和Caraccioli，之后于10月27日到达柏林，11月6日正式继任普鲁士科学院数学部主任。他受到约翰伯努利（英语：JohannIIIBernoulli）等人的热烈欢迎。拉格朗日深得国王赏识，国王经常和他讲完美的有规律的生活的益处。拉格朗日听了进去，此后他对大脑和身体当做机器一般进行了研究，并通过实验精确调整到他每日能够完成而不累垮的工作量。每天晚上，他为自己定下第二天的明确的任务，并在完成任何一个学科分支时，写下简短的分析，看看哪些地方可以改进。他总是在开始撰写之前想好论文的题目，然后一气呵成，常常没有一处删除或更正。在普鲁士科学院，拉格朗日的任务是每月宣读一篇论文，内容一般在《科学院文献》（Mémoiresdesl'Academieroyaledessciences）以及《柏林科学院新文献》（Nouveauxmemoiresdel'AcademiedesBerlin）上发表。他还接受达朗贝尔的建议，经常参加巴黎科学院竞赛课题研究，并获得1772、1774、1776、1780年度的奖金。1767年9月，拉格朗日同维多利亚·孔蒂（VittoriaConti）结婚。他给达朗贝尔的信中说：“我的妻子是我的一个表妹，曾与我家人一起生活很长时期，是一个很好的家庭妇女。”但维多利亚·孔蒂体弱多病，未生小孩，久病后于1783年去世。

2在柏林期间，拉格朗日完成了大量重大研究成果，为一生研究中的鼎盛时期，多数论文在柏林科学院和法国科学院的刊物中发表，少量仍寄回都灵。其中有关月球运动（三体问题）、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学、数论、方程论、微分方程、函数论等方面的成果，成为这些领域的开创性或奠基性研究。他在1766年至1773年写出了《都灵科学论丛》的第四卷和第五卷，其中最重要的是在1771年，他讨论了如何将众多的天文观测数据结合以给出最符结果。1783年，拉格朗日的故乡建立了“都灵（皇家）科学院”，他被任命为名誉院长。他还完成了《分析力学》（Mécaniqueanalytique）一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。1782年给拉普拉斯（P.Laplace）的信中他说：“我几乎写完《分析力学论述》（TraitédeMécaniqueAnalytique），但不知何时出版”最终，经过拉普拉斯等多人评审，该书于1788年在巴黎出版，那时拉格朗日已然来到巴黎。1786年，腓特烈二世去世，拉格朗日发觉柏林令人难受，决定离开。应巴黎科学院邀请，他于1787年5月18日动身，7月29日到达巴黎开始工作。由于他从1772年起就是该院副院士，这次来工作受到更热情的欢迎，被安排在卢浮宫。可惜达朗贝尔在1783年去世。到巴黎的前几年，他主要学习更广泛的知识，如形而上学、历史、宗教、医药和植物学等；他陷入忧郁，连《分析力学》（1788年）的出版也视而不见。1789年，法国大革命爆发，将他从忧郁中摇醒；一开始他只是有兴趣地旁观，但很快他发现时局急转直下。与其他人相比，可以说，他的胆怯和低调使他在革命动乱中保全。1790年5月8日的制宪大会上通过十进位的公制法，科学院建立相应的“度量衡委员会”，拉格朗日是委员之一。1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员。1792年，丧偶9年的拉格朗日同天文学家勒莫尼埃（LeMonnier）的女儿何蕾-弗朗索瓦-阿德莱德（Renée-Francoise-Adelaide）结婚；阿德莱德同情他的遭遇，执意要与他结婚，并一直矢志不渝。1793年8月8日，国民议会决定对科学院专政，把拉瓦锡（A.L.Lavoisier），拉普拉斯，库伦（C.A.Coulomb）等著名院士清除出科学院。但拉格朗日被保留，并任度量衡委员会主席。9月，恐怖统治开始，革命政府决定逮捕所有在敌国出生的人，经拉瓦锡竭力向当局说明后，把拉格朗日作为例外。1794年5月7日，法国雅各宾派开庭审判波旁王朝包税官，把包括拉瓦锡在内的28名成员全部处以死刑，革命法庭副长官考费那尔（J.B.Coffinhal）宣称，“

3共和国不需要学者，而只需要为国家而采取的正义行动！”第二天5月8日的早晨，拉格朗日痛心地说：“他们一眨眼就把拉瓦锡的头砍下来，但像他那样的头脑一百年也找不出一个了。”【看到这里，每一个善良，好学的人，都会深深流泪。拉格朗日和拉瓦锡都是人类史上的天才。可是拉瓦锡却以这样的方式离开，是我们人类的悲哀。所有后来的，现在当局执政者应该以此为戒！】1794年，巴黎成立两个共和国最高学府：巴黎高等师范学院（ÉcoleNormale）和巴黎综合理工大学（ÉcolePolytechnique）；次年，拉格朗日于此两所高校任教，为首批教授，虽然前者办学仅4个月便被关闭（直到1808年在拿破仑帝国时期重新开始办学）。1795年6月25日，成立法国国家经度局（英语：BureaudesLongitudes），统一管理全国航海、天文研究和度量衡委员会，拉格朗日是委员之一。10月25日，在取消对科学院的专政后，建立了法国最高学术机构——法兰西学会，选举拉格朗日为第一分院（即科学院）的数理委员会主席。此后他才重新进行研究工作，但主要是整理过去的工作，并结合教材编写完成一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》，总结那一时期的一系列研究工作。1799年，法国完成统一度量衡工作，制定被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位。在拉瓦锡死后的这段时间里，拉格朗日对此的推动功不可没。1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。拉格朗日走了，他的理论一直被我们沿用。名字始终被我们提起。拉瓦锡也是的。看完朗格朗日人生履历，你真的是清楚了一个人有多么的勤奋，一个人有多么的纯粹。他不缺钱，他不缺人脉，但他从不敢挥霍人生。他的一生经历，我们确实该敬佩。他说：“我把数学看成是一件有意思的工作，而不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定地说，我对别人的工作比自己的更喜欢。我对自己的工作总是不满意。”接下来我简单的介绍一下他的常见理论作品。对他的工作，也有深的体会。首先我们常常听到拉格朗日量，这是什么？在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（英语：Lagrangian），又称为拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对于一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能，以方程表示为L=T-V；其中，L为拉格朗日量，T为动能，V为势能。在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日量，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。

4拉格朗日量于作用量的关系拉格朗日量与守恒性。拉格朗日表述是经典力学的一种重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因为它可以广泛应用在经典力学；而更是因为它能够帮助物理学家更深刻地了解一个物理系统的物理行为。虽然拉格朗日只是在寻找一种表述经典力学的方法，他用来推导拉格朗日方程的平稳作用量原理，现在已被学术界公认为在量子力学也极具功用。§拉格朗日表述不会被任何坐标系统捆绑住。拉格朗日表述使用广义坐标来描述系统的空间参数。它所涉及的物理量是动能与势能，这些物理量的值不会随广义坐标的选择而改变。因此，对于系统的种种约束，可以选择一组最合适的广义坐标，来计算问题的解答。§拉格朗日表述能够简易地延伸至其他学术领域。电路学、量子力学、粒子物理学、等等，都可以用拉格朗日表述来分析。

5§如果用同样的表述可以分析不同学术领域的物理系统，这些系统必定有结构上的类推。在一个学术领域的新发现，意味着很可能在另一个学术领域会有类似的现象。拉格朗日另一个贡献是关于拉格朗日力学。拉格朗日力学（英语：Lagrangianmechanics）是分析力学中的一种，于1788年由约瑟夫·拉格朗日所创立。拉格朗日力学是对经典力学的一种的新的理论表述，着重于数学解析的方法，并运用最小作用量原理，是分析力学的重要组成部分。经典力学最初的表述形式由牛顿建立，它着重于分析位移，速度，加速度，力等矢量间的关系，又称为矢量力学。拉格朗日引入了广义坐标的概念，又运用达朗贝尔原理，求得与牛顿第二定律等价的拉格朗日方程。不仅如此，拉格朗日方程具有更普遍的意义，适用范围更广泛。还有，选取恰当的广义坐标，可以大大地简化拉格朗日方程的求解过程。还有一个重要的贡献就是拉格朗日方程。拉格朗日方程（Lagrangeequation）是分析力学的重要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。以上就是关于拉格朗日的科学贡献，其实他的科学贡献，即使再写2万字，也是远远不够的。他的数学表述我是看不懂的，但我希望更多的人能看的懂，愿意去学习。什么是最美的诗篇，拉格朗日本人，就是最美的诗篇。生命在于运动，更在于探索。——灵遁者摘自独立学者，作家，艺术家灵遁者量子力学科普《见微知著》