数学毕业论文-帕斯卡定理和布利安桑定理及其应用

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1、新疆师范大学2014届本科毕业论文设计2014届本科毕业论文(设计)题目:帕斯卡定理和布利安桑定理及其应用学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班学生姓名：指导教师：答辩日期：2014年5月8日新疆师范大学教务处13新疆师范大学2014届本科毕业论文设计目录1前言……………………………………………………………………………32帕斯卡定理和布利安桑定理…………………………………………………42.1帕斯卡定理…………………………………………………………42.2布利安桑定理………………………………………………………63帕斯卡定理和布利安桑定理

2、的应用…………………………………………73.1帕斯卡定理的应用…………………………………………………73.2布利安桑定理的应用………………………………………………94总结…………………………………………………………………………105参考文献……………………………………………………………………116致谢…………………………………………………………………………1213新疆师范大学2014届本科毕业论文设计帕斯卡定理和布利安桑定理及其应用摘要：在科学技术高速发展的今天，数学在生活中广泛的应用，尤其是高等几何。无论是在建房还是在修建道路都离不开几何图形。

3、帕斯卡定理和布利安桑定理是在射影平面中很重要的定理。应用这些定理，很顺利的解决在初等几何中的许多问题。在此论文中我首先介绍了帕斯卡定理及布利安桑定理，然后分别证明它们,最后我给出例子。帕斯卡定理和布利安桑定理是相互对偶的定理。关键词：帕斯卡定理;布利安桑定理;二次曲线。13新疆师范大学2014届本科毕业论文设计前言对射影几何中最重要的定理有帕斯卡定理和布利安桑定理及其它们的应用，所以它们在射影变换，射影对应中占重要的地位。它们在初等几何中的应用展示了用高等几何的方法解决初等几何问题的简捷实例。帕斯卡定理及布利安桑定理是解决二次曲线与简单六点形(六

4、角形)内接或与简单六线形(六边形)外切、及其在这些情况下的点线接合关系的两个著名定理。布莱士·帕斯卡（BlaisePascal，1623－1662）是法国数学家、物理学家，哲学家，散文家。16岁时发现著名的帕斯卡六边形定理：内接于一个二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。17岁时写成《圆锥曲线论》(1640)。布利安桑(CharlesJulienBrianchon，1785—1864)。1806年发现了布利安桑定理。13新疆师范大学2014届本科毕业论文设计2帕斯卡定理和布利安桑定理2.1帕斯卡定理A2帕斯卡定理对于任意一个内接于非退化的二阶曲线

5、的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。这条线称为帕斯卡线。A3证明A1,A2,A3，B1,B2,B3,（如图1）所示A1Q 已知二次曲线上的六个点A1,A2,A3,B1,MPB2,B3用线A1B2，B2A3，A3B1，B1A2,NA2B3，B3A1顺次连接这些点，再分别作L对对边与A1B2与B1A2，B2A3与A2B3以及A3B1与B3A1的交点L，M，N，那么这三个B1B3B2点在一直线上。L=A1B2B1A2，M=B2A3A2B3N一A3B1N=A3B1B3A1，以点A1,A3为中心，分别向其他四点投射直线，则可得两个成射影对应的线束

6、：如图1A1(B2，B1，A2，B3)A3(B2，B1，A2，B3)设A1B3B1A2=P，A2B3A3B1=Q，则有：A1(B2，B1，A2，B3)B1A2(L，B1，A2，P)A3(B2，B1，A2，B3)A2B3(M,Q，A2，B3)所以：(L，B1，A2，P)(M，Q，A2，B3)由于两点列底的交点(即B1A2A2B3=A2)自对应，故得：(L，B1，A2，P)(M，Q，A2，B3)所以LM、B1Q、PB3三线共点，又由B1QPB3=N，即L、M、N三点共线。帕斯卡定理的一些特殊的情况：①当六边形中有两个顶点重合,即对于内接于圆的五边形,

7、亦有结论成立.在圆内接五边形A(B)CDEF中,点A(与B重合)处的切线与DE的交点X、BC与FE的交点Y、CD与AF的点Z三点共线。13新疆师范大学2014届本科毕业论文设计如图2②当六边形变为四边形AB(C)DE(F)或A(B)C(D)EF等时,（如图3）,结论仍成立。如图3③当六边形变为三边形A(B)C(D)E（F）等时，（如图4），结论仍然成立。如图4NE(F)(()A(B)MC(D)L如图413新疆师范大学2014届本科毕业论文设计2.2布利安桑定理布利安桑定理对于任意一个外切于非退化的的二阶曲线的简单六线形，它的三对对顶点的连线通过一

8、个点。这个点称为布利安桑点。证明（如图5）记六边形为a1a2a3a4a5a6是二级曲线的外切简单六点形，对顶a1a2，a4a5之连线为L