重庆市名校联盟2021届高三高考三模数学Word版含解析

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2021年重庆市名校联盟高考三诊数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝}，则（　　）A．A＝BB．A∩B＝∅C．A∩B＝AD．A∪B＝A2．若复数z满足|z﹣1+i|＝|1﹣2i|，其中i为虚数单位，则z对应的点（x，y）满足方程（　　）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5B．（x﹣1）2+（y+1）2＝5C．（x+1）2+（y﹣1）2＝5D．（x+1）2+（y+1）2＝53．函数f（x）＝（3x﹣x3）sinx的部分图象大致为（　　）A．B．C．D．4．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数．2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对．那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，可组成孪生素数的概率为（　　）A．B．C．D．5．已知（2x2+1）（﹣1）5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（　　）A．﹣10B．﹣7C．9D．106．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　）A．8日B．9日C．12日D．16日7．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，虚轴长为2，若其渐近线上横坐标为1的点P恰好满足•＝0，则双曲线的离心率为（　　）

1A．2B．C．4D．8．若ex﹣a≥lnx+a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）A．B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，e]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[0，50]，[51，100]，[101，200]，[201，300]，[301，500]分别对应“优”、“良”、“轻度污染“、“中度污染”“重度污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数变化趋势图，下列说法中正确的是（　　）A．从2日到5日空气质量越来越好B．这14天中空气质量指数的极差为195C．这14天中空气质量指数的中位数是103.5D．这14天中空气质量指数为“良”的频率为10．定义在实数集R的函数f（x）＝Acos（ωx+φ）A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（﹣，3），与之相邻的一个对称中心为（，0），将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（　　）A．f（x）的振幅为3B．f（x）的频率为πC．g（x）的单调递增区间为[]D．g（x）在[0，]上只有一个零点11．f（x）是定义在R上周期为4的函数，且f（x）＝，则下列说法中正确的是（　　）A．f（x）的值域为[0，2]

2B．当x∈（3，5]时，f（x）＝2C．f（x）图像的对称轴为直线x＝4k，k∈ZD．方程3f（x）＝x恰有5个实数解12．如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（　　）A．存在某个位置，使得CN⊥AB1B．翻折过程中，CN的长是定值C．若AB＝BM，则AM⊥B1DD．若AB＝BM＝1，当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是4π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则cos2α的值是　　．14．已知x＞2，y＞0且满足2x•2y＝16，则x+y＝　　，的最小值为　　．15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（）是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝交于E，G两点，若sin∠MFG＝，则抛物线C的方程是　　．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA＝4，AB＝3，二面角P﹣AB﹣C的大小为30°，在侧面△PAB内（含边界）有一动点M，满足M到PA的距离与M到平面ABC的距离相等，则M的轨迹的长度为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分。解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①b2+ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝．（1）求角B；（2）求△ABC的面积．

318．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an﹣Sn＝1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝3DC＝6，BM＝2MP．（1）求证：CM∥平面PAD；（2）若AD＝1，AD⊥DC，PD⊥PC且PD＝PC．求直线CM与平面PAB所成的角．20．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积（单位：亩）12345管理时间（单位：月）810132024并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（保留三位小数）（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：，，其中n＝a+b+c+d，．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.001

4k02.7063.8415.0246.63510.82821．设椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，焦距为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，P为直线x＝3上的一点，是否存在直线l与点P，使得△ABP恰好为等边三角形，若存在求出△ABP的面积，若不存在说明理由．22．设x∈（0，），f（x）＝kx﹣sinx，k∈R．（1）f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）求证：当x∈（0，）时，＞3．

5参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝}，则（　　）A．A＝BB．A∩B＝∅C．A∩B＝AD．A∪B＝A解：根据题意，集合A＝{x|y＝}，表示函数y＝的定义域，即A＝[1，+∞），B＝{y|y＝}，表示y＝的值域，即B＝[0，+∞），分析可得，A⊆B，即有A∩B＝A，故选：C．2．若复数z满足|z﹣1+i|＝|1﹣2i|，其中i为虚数单位，则z对应的点（x，y）满足方程（　　）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5B．（x﹣1）2+（y+1）2＝5C．（x+1）2+（y﹣1）2＝5D．（x+1）2+（y+1）2＝5解：设z＝x+yi，∵|z﹣1+i|＝|1﹣2i|，∴|（x﹣1）+（y+1）i|＝|1﹣2i|，∴＝，故（x﹣1）2+（y+1）2＝5，故选：B．3．函数f（x）＝（3x﹣x3）sinx的部分图象大致为（　　）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝（﹣3x+x3）sin（﹣x）＝（3x﹣x3）sinx＝f（x），∴f（x）为偶函数，排除选项B；当0＜x＜时，3x﹣x3＞0，sinx＞0，∴f（x）＞0，

6当＜x＜π时，3x﹣x3＜0，sinx＞0，∴f（x）＜0，故选：D．4．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数．2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对．那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，可组成孪生素数的概率为（　　）A．B．C．D．解：不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，在不超过16的素数中任意取出不同的两个，基本事件总数n＝＝15，可组成孪生素数包含的基本事件有：（3，5），（5，7），（11，13），共3个，∴在不超过16的素数中任意取出不同的两个，可组成孪生素数的概率为P＝．故选：A．5．已知（2x2+1）（﹣1）5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（　　）A．﹣10B．﹣7C．9D．10解：（2x2+1）（）5开式中各数和为3（a﹣1）5＝0，∴a＝1，则（）5，即，它的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•x2r﹣10，令2r﹣10＝﹣2，求得r＝4；令2r﹣10＝0，求得r＝5，故（2x2+1）（）5＝（2x2+1）（﹣1）5的展开式中常数项是2﹣＝9，故选：C．6．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　）A．8日B．9日C．12日D．16日解：由题可知，良马每日行程an构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程bn构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列，则an＝103+13（n﹣1）＝13n+90，bn＝97﹣0.5（n﹣1）＝97.5﹣0.5n，

7则数列{an}与数列{bn}的前n项和为1125×2＝2250，又∵数列{an}的前n项和为×（103+13n+90）＝×（193+13n），数列{bn}的前n项和为×（97+97.5﹣0.5n）＝×（194.5﹣n），∴×（193+13n）+×（194.5﹣n）＝2250，整理得：25n2+775n﹣9000＝0，即n2+31n﹣360＝0，解得：n＝9或n＝﹣40（舍），即九日相逢．故选：B．7．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，虚轴长为2，若其渐近线上横坐标为1的点P恰好满足•＝0，则双曲线的离心率为（　　）A．2B．C．4D．解：由已知可得2b＝2，则b＝，不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝，取x＝1可得P（1，），即P（1，），＝，，由•＝0，得，又c2＝a2+3，解得a＝1，c＝2，则e＝．故选：A．8．若ex﹣a≥lnx+a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）A．B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，e]解：设f（x）＝ex﹣a﹣lnx﹣a（x＞0），则f（x）≥0对一切正实数x恒成立，即f（x）min≥0，由，令，则恒成立，所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，h（x）→﹣∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，则在（0，+∞）上，存在x0使得h（x0）＝0，当0＜x＜x0时，h（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，

8故函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在x＝x0处取得最小值为f（x0）＝，因为，即x0﹣a＝﹣lnx0，所以恒成立，即，又，当且仅当x0＝，即x0＝1时取等号，故2a≤2，所以a≤1．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[0，50]，[51，100]，[101，200]，[201，300]，[301，500]分别对应“优”、“良”、“轻度污染“、“中度污染”“重度污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数变化趋势图，下列说法中正确的是（　　）A．从2日到5日空气质量越来越好B．这14天中空气质量指数的极差为195C．这14天中空气质量指数的中位数是103.5D．这14天中空气质量指数为“良”的频率为解：对于A，由折线图可知，从2日到5日空气质量指数越来越大，所以空气质量越来越差，故选项A错误；对于B，这14天中空气质量指数的极差为220﹣25＝195，故选项B正确；对于C，这14天中空气质量指数为25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，所以中位数是（86+121）÷2＝103.5，故选项C正确；

9对于D，这14天中空气质量指数为“良”的频率为，故选项D错误．故选：BC．10．定义在实数集R的函数f（x）＝Acos（ωx+φ）A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（﹣，3），与之相邻的一个对称中心为（，0），将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（　　）A．f（x）的振幅为3B．f（x）的频率为πC．g（x）的单调递增区间为[]D．g（x）在[0，]上只有一个零点解：函数f（x）＝Acos（ωx+φ）A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（﹣，3），与之相邻的一个对称中心为（，0），所以，所以ω＝2，当x＝时，φ）＝0，解得φ＝﹣．故f（x）＝3sin（2x﹣）．f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝3sin（2x﹣）的图象，故函数的振幅为3，函数的周期为π，频率为，故A周期，B错误；当时，，故函数在该区间上单调递减，故C错误，对于D：当x∈[0，]时，，只存在x＝，g（）＝0，故D正确；故选：AD．11．f（x）是定义在R上周期为4的函数，且f（x）＝，则下列说法中正确的是（　　）A．f（x）的值域为[0，2]B．当x∈（3，5]时，f（x）＝2C．f（x）图像的对称轴为直线x＝4k，k∈ZD．方程3f（x）＝x恰有5个实数解

10解：当x∈（﹣1，1]时，由y＝，得；当x∈（1，3]时，y＝1﹣|x﹣2|＝．作出f（x）的部分图象如图：由图可知，f（x）的值域为[0，2]，故A正确；把x∈（﹣1，1]时，y＝右移4个单位，可得x∈（3，5]时，y＝2，即，故B正确；函数f（x）图像的对称轴为直线x＝2k，k∈Z，故C错误；方程3f（x）＝x的解的个数，即y＝f（x）与y＝的交点个数，由图可知，两函数交点个数为5，故D正确．故选：ABD．12．如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（　　）A．存在某个位置，使得CN⊥AB1B．翻折过程中，CN的长是定值C．若AB＝BM，则AM⊥B1D

11D．若AB＝BM＝1，当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是4π解：对于A：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故A错误．对于B：如图1，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NE＝（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC2＝NE2+EC2﹣2NE•EC•cos∠NEC，∴NC是定值，故B正确．对于C：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，由题意得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，由题意不成立，可得C错误．对于D：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，由题意得AD中点H就是三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π，故D正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则cos2α的值是　　．解：由，得，

12即，解得tanα＝﹣3．∴cos2α＝＝．故答案为：．14．已知x＞2，y＞0且满足2x•2y＝16，则x+y＝　4　，的最小值为　4　．解：（1）因为2x•2y＝2x+y＝16＝24，所以x+y＝4；（2）＝＝，当且仅当x＝3，y＝1时取“＝”；故最小值为4．故答案为：4，4．15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（）是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝交于E，G两点，若sin∠MFG＝，则抛物线C的方程是　y2＝4x　．解：由题意可知直线x＝是过焦点F的垂直x轴的直线，因为sin∠MFG＝，所以cos∠MFG＝，又cos∠MFG＝＝，所以x＝3，则x0＝3﹣，所以M（3﹣，2），代入抛物线方程可得：p2﹣6p+8＝0，解得：p＝2或4，当p＝2时，x0＝2，当p＝4时，x0＝1＝2，不满足题意，所以p＝2，此时抛物线方程为y2＝4x，故答案为：y2＝4x．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA＝4，AB＝3，二面角P﹣AB﹣C的大小为30°，在侧面△PAB内（含边界）有一动点M，满足M到PA的距离与M到平面ABC的距离相等，则M的轨迹的长度为　　．解：如图，过M作MN⊥PA于N，MO⊥平面ABC于O，过O作OQ⊥AB于Q，连接MQ，

13则∠MQO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，由∠MQO＝30°，得MQ＝2MO．又MO＝MN，所以MQ＝2MN，在△PAB中，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则直线AM的方程为y＝2x，直线PB的方程为4x+3y﹣12＝0，所以直线AM与PB的交点坐标为，所以M的轨迹为线段AR，长度为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分。解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①b2+ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝．（1）求角B；（2）求△ABC的面积．解：（1）若选①b2+ac＝a2+c2，由余弦定理可得，cosB＝＝，故B＝，

14若选②acosB＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosB＝bsinBinA，因为sinA≠0，所以sinB＝cosB，即tanB＝，因为B为三角形的内角，故B＝，③由sinB+cosB＝2可得2sin（B+）＝2，所以sin（B+）＝1，因为B为三角形的内角，故B＝；（2）由正弦定理可得，，所以a＝＝，所以S△ABC＝＝＝．18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an﹣Sn＝1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜1．解：（1）由2an﹣Sn＝1（n∈N*），可得2a1﹣S1＝2a1﹣a1＝1，即a1＝1，当n≥2时，2an﹣1﹣Sn﹣1＝1，又2an﹣Sn＝1，相减可得2an﹣2an﹣1＝an，即an＝2an﹣1，则an＝2n﹣1；（2）证明：bn＝＝＝﹣，Tn＝1﹣+﹣+﹣+...+﹣＝1﹣，由{Tn}是递增数列，可得Tn≥T1＝，且Tn＜1．所以≤Tn＜1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝3DC＝6，BM＝2MP．

15（1）求证：CM∥平面PAD；（2）若AD＝1，AD⊥DC，PD⊥PC且PD＝PC．求直线CM与平面PAB所成的角．解：（1）证明：如图，取线段PA的靠近P的三等分点为N，连接DN，NM，则＝＝，所以MN∥AB且MN＝AB，又DC∥AB且DC＝AB，所以四边形MNDC为平行四边形，所以DN∥CM，又DN⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，所以CM∥平面PAD．（2）如图，取CD中点为O，连接OP，过O作OE∥AD交AB于E，因为平面PCD⊥平面ABCD，OP⊥DC，由面面垂直的性质定理可知，OP⊥平面ABCD．所以直线OP，OC，OE两两垂直，以O为原点，分别以射线OE，OC，OP的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，所以＝+＝+＝（，，），＝（0，6，0），＝（﹣1，1，1），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，即，取x＝1，得＝（1，0，1），所以cos＜，＞＝＝，所以直线CM与平面PAB所成的角为45°．

1620．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积（单位：亩）12345管理时间（单位：月）810132024并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（保留三位小数）（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：，，其中n＝a+b+c+d，．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解：（1）依题意：，，故，，，则故管理时间y与土地使用面积线性相关．（2）依题意，女性村民中不愿意参与管理的人数是50，计算得k2的观测值为．故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关．

17（3）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到愿意参与管理的男性村民的概率为．，，，，故x的分布列为：X0123P则数学期望为．21．设椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，焦距为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，P为直线x＝3上的一点，是否存在直线l与点P，使得△ABP恰好为等边三角形，若存在求出△ABP的面积，若不存在说明理由．解：（1）因为焦距为4，所以2c＝4，解得c＝2，因为椭圆的离心率e＝，即＝，解得a＝，所以b2＝a2﹣c2＝6﹣4＝2，所以椭圆的方程为+＝1．（2）由（1）知F（2，0），当直线l斜率不存在时，直线l的方程x＝2，把x＝2代入椭圆的方程，得+＝1，解得y＝±，所以A（2，），B（2，﹣），所以AB的中点为F（2，0），

18若△ABP恰好为等边三角形，则PF⊥AB，所以此时P点坐标为（3，0），此时|PA|＝＝≠|AB|＝，不合题意，舍当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立方程得，化简得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，所以|x1﹣x2|＝＝2•所以|AB|＝|x1﹣x2|＝2•，设AB的中点M（x0，y0），则x0＝，y0＝﹣，直线MP的斜率为﹣，且xP＝3，所以|MP|＝|x0﹣xP|＝•，当△ABP为正三角形是，|MP|＝|AB|，所以•＝•2•，解得k＝±1，所以|AB|＝2•＝，所以S△ABP＝××sin60°＝，综上所述，△ABP的面积为．22．设x∈（0，），f（x）＝kx﹣sinx，k∈R．（1）f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；

19（2）求证：当x∈（0，）时，＞3．解：（1）f（x）＝kx﹣sinx，f′（x）＝k﹣cosx，因为x∈（0，），所以0＜cosx＜1，所以当k≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上单调递减，所以f（x）＜f（0）＝0，所以k≤0，不符合题意，当k≥1，则f′（x）＞0在（0，）上恒成立，所以f（x）在（0，）上单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，所以k≥1，符合题意，当0＜k＜1时，令f′（x）＝0，即k＝cosx，则在（0，）内存在唯一x0，使得k＝cosx0，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又f（0）＝0．所以f（x）＞0在（0，）不恒成立，所以0＜k＜1，不符合题意，综上所述，k的取值范围为[1，+∞）．（2）证明：由（1）知，当x∈（0，）时，有x＞sinx，所以＞3，所以tanx﹣sinx＞3x﹣3sinx，所以tanx+2sinx﹣3x＞0，设g（x）＝tanx+2sinx﹣3x，x∈（0，），则g′（x）＝+2cosx﹣3＝

20＝＝，设t＝cosx，由x∈（0，），得t∈（0，1），再设y＝2t2﹣t﹣1＝2（t2﹣t+）﹣＝2（t﹣）2﹣，当t＝0时，y＝﹣1＜0，当t＝1时，y＝0，所以对任意t∈（0，1）时，y＝2t2﹣t﹣1＜0，所以对任意t∈（0，1），y＝2t2﹣t﹣1＜0，所以对任意x∈（0，）时，有2cos2x﹣cosx﹣1＜0，又cosx﹣1＜0，所以g′（x）＞0恒成立，所以g（x）在（0，）上是单调递增，所以g（x）＞g（0）＝0，所以tanx+2sinx﹣3x＞0，所以不等式＞3得证．