河南省开封市2022-2023学年高三上学期1月期末联考数学（理科）（原卷版）

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2022年河南省高三上学期期末联考数学（理）试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（）A.6B.5C.4D.72.的实部与虚部之和为（）A.B.C.D.3.在数列中,,,则（）A.是等比数列B.是等比数列C.是等比数列D.是等比数列4.过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条5.将图象向右平移个单位长度得到的图象，则（）A.B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在内是增函数6.已知三个单位向量，，满足，则的最大值为（）第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

1A.B.2C.D.7.已知为球球面上的三个点，若，球的表面积为，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.8.执行如图所示的程序框图，则输出的（）A.5B.6C.8D.79.函数的最小值为（）A.1B.C.D.10.双曲线的左、右顶点分别为，，为上一点，若点的纵坐标为1，，，则的离心率为（）A.B.C.D.11已知，设，，，则（）AB.C.D.12.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则的最小值为（）第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

2A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若，满足约束条件则的最大值为______.14.若从区间内，任意选取一个实数，则曲线在点处的切线的倾斜角大于45°的概率为______.15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列的前n项和为，则的最小值为___________．16.某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.，，分别为的内角，，的对边.已知.（1）求；（2）若，，求的周长.18.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

3，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．（1）求甲获得奖金的期望；（2）已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，平面ABCD，底面ABCD为矩形，点F在棱PD上，且P与E位于平面ABCD的两侧．（1）证明：平面PAB．（2）若，，，且在上的投影为3，求平面ACF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．20.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若是函数的极小值点，求a的取值范围．21.已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线．（1）求曲线方程．（2）若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值．（二）选考题.共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4—4，坐标系与参数方程]第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

422.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程是.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;（2）若直线与曲线交于两点,点,求的值.[选修4—5；不等式选讲]23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求a的取值范围．第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

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