浙江省宁波市奉化区2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年浙江省宁波市奉化区高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1．直线的倾斜角是（　　）A．B．C．D．2．已知命题：“若a＜b，则ac2＜bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（　　）A．0B．1C．2D．43．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中正确的是（　　）A．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β4．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，则该平面图形的面积为（　　）A．2B．4C．4D．25．已知直线l1：y＝﹣x﹣1，l2：y＝k2x﹣2，则“k＝2”是“l1⊥l2”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（　　）A．（﹣2，1，﹣4）B．（﹣2，﹣1，﹣4）C．（2，1，﹣4）D．（2，﹣1，4）7．过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2＝16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22＝1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（　　）

1A．B．C．D．8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（　　）A．B．C．D．9．已知F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线y＝x上任意一点Q，都有|PQ|＝|QF2|，则此双曲线的离心率为（　　）A．B．C．2D．10．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为边AD上的一点，DE＝1，现将△ABE沿直线BE折成△A′BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角A′﹣BE﹣C的大小为θ，直线A′B，A'C与平面BCDE所成的角分别为α，β，则（　　）A．α＜β＜θB．β＜θ＜αC．α＜θ＜βD．β＜α＜θ二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知平行直线l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2的距离　　；点（0，2）到直线l1的距离　　．12．双曲线﹣y2＝1的焦距是　　，渐近线方程是　　．13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　，表面积为　　．14．已知圆C的圆心（2，0），点A（﹣1，1）在圆C上，则圆C的方程是　　；以A为切点的圆C的切线方程是　　．15．已知空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝．则向量与向量的夹角的余弦值　　．16．已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ

2，则a的最小值是　　．17．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，AA1＝2，点P是面BCD1A1上异于D1的一动点，则异面直线AD1与BP所成最小角的正弦值为　　．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知方程+＝1（m∈R）表示双曲线．（Ⅰ）求实数m的取值集合A；（Ⅱ）设不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m＝0（m∈R）．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．21．已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|＝2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．

322．已知椭圆C：+＝1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（﹣4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣4于点P，Q．求的值．

4参考答案一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1．直线的倾斜角是（　　）A．B．C．D．解：直线的斜率为﹣，倾斜角是，故选：C．2．已知命题：“若a＜b，则ac2＜bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（　　）A．0B．1C．2D．4解：若a＜b，c2＝0，则ac2＝bc2．∴原命题若a＜b，则ac2＜bc2为假；∵逆否命题与原命题等价，∴逆否命题也为假．原命题的逆命题是：若ac2＜bc2，则c2≠0且c2＞0，则a＜b．∴逆命题为真；又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真；综上，四个命题中，真命题的个数为2．故选：C．3．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中正确的是（　　）A．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解：在A中，若m∥α，n⊥β，m∥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；在B中，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．4．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C'，且直观图OA'B'C

5'的面积为2，则该平面图形的面积为（　　）A．2B．4C．4D．2解：由已知直观图OA'B'C'的面积为2，∴原来图形的面积S＝2×2＝4，故选：B．5．已知直线l1：y＝﹣x﹣1，l2：y＝k2x﹣2，则“k＝2”是“l1⊥l2”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若l1⊥l2，则﹣•k2＝﹣1，即k2＝4，则k＝2或﹣2，则“k＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选：A．6．在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（　　）A．（﹣2，1，﹣4）B．（﹣2，﹣1，﹣4）C．（2，1，﹣4）D．（2，﹣1，4）解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），∴点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：（﹣2，﹣1，﹣4）．故选：B．7．过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2＝16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22＝1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（　　）A．B．C．D．解：设直线方程为x＝my+2m，代入y2＝16x可得y2﹣16my﹣32m＝0，∴y1+y2＝16m，y1y2＝﹣32m，∴（y1﹣y2）2＝256m2+128m，

6∵y12﹣y22＝1，∴256m2（256m2+128m）＝1，∴△OAB（O为坐标原点）的面积为|y1﹣y2|＝．故选：D．8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（　　）A．B．C．D．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），＝（0，﹣1，0），＝（﹣1，﹣1，1），＝（0，0，1），设平面ABD1的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得，设平面BB1D1的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，﹣1，0），设二面角A﹣BD1﹣B1的大小为θ，则cosθ＝＝＝﹣，∴θ＝．∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小为．故选：C．

79．已知F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线y＝x上任意一点Q，都有|PQ|＝|QF2|，则此双曲线的离心率为（　　）A．B．C．2D．解：【解法一】由题意知渐近线y＝x是线段F2P的垂直平分线，∴y＝x垂直平分PF2，∵OF2＝c，tan∠QOF2＝，∴MF2＝b，OM＝a，∴PF1＝2OM＝2a，PF2＝2b，由垂直平分线的定义和抛物线的定义知，|PF2|﹣|PF1|＝2b﹣2a＝2a，∴b＝2a，∴c＝＝a，∴双曲线的离心率为e＝＝；【解法二】由题意知渐近线y＝x是线段F2P的垂直平分线，且直线F2P的方程为y＝﹣（x﹣c）；则由，解得，

8即直线F2P与渐近线y＝x的交点为M（，）；由题意知F2（c，0），利用中点坐标公式求得点P的坐标为（，）；又点P在双曲线上，∴﹣＝1，化简得c2＝5a2，解得＝，∴此双曲线的离心率为e＝．故选：D．10．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为边AD上的一点，DE＝1，现将△ABE沿直线BE折成△A′BE，使得点A'在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角A′﹣BE﹣C的大小为θ，直线A′B，A'C与平面BCDE所成的角分别为α，β，则（　　）A．α＜β＜θB．β＜θ＜αC．α＜θ＜βD．β＜α＜θ解：如图所示，在矩形ABCD中，过A作AF⊥BE交于点O，将△ABE沿直线BE折成△A′BE，则点A'在平面BCDE内的射影O′在线段OF上，设点A'到平面BCDE上的距离为h，则h＝A′O′，由二面角，线面角的定义得，tanα＝，tanβ＝，tanθ＝，∵O′O＜O′C＜O′B，∴tanα＜tanβ＜tanθ，∴α＜β＜θ，

9故选：A．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知平行直线l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2的距离　　；点（0，2）到直线l1的距离　　．解：∵l1：2x+y﹣1＝0，l2：2x+y+1＝0，∴l1，l2的距离d＝＝；点（0，2）到直线l1的距离d＝＝；故答案为：，．12．双曲线﹣y2＝1的焦距是　2　，渐近线方程是　y＝±x　．解：双曲线＝1中，a＝，b＝1，c＝，∴焦距是2c＝2，渐近线方程是y＝±x．故答案为：2；y＝±x．13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　，表面积为　5+2+　．解：由题意可知几何体的直观图如图：一个侧面与底面垂直，四棱锥的顶点在底面上的射影是边的中点，底面是正方形边长为2，棱锥的高为1，所以几何体的体积为：＝，四棱锥的表面积为：2×2+2×+＝5+2．

10故答案为：；5+2．14．已知圆C的圆心（2，0），点A（﹣1，1）在圆C上，则圆C的方程是　（x﹣2）2+y2＝10　；以A为切点的圆C的切线方程是　y＝3x+4　．解：根据题意，圆C的圆心（2，0），点A（﹣1，1）在圆C上，则圆的半径r＝|CA|＝＝，故圆的方程为（x﹣2）2+y2＝10，又由C（2，0）、A（﹣1，1），则KCA＝＝﹣，则以A为切点的圆C的切线方程斜率k＝＝3，切线过点A，则其方程为y﹣1＝3（x+1），即y＝3x+4；故答案为：（x﹣2）2+y2＝10，y＝3x+4．15．已知空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝．则向量与向量的夹角的余弦值　﹣　．解：∵空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），∴＝＝（1，1，0），＝＝（﹣1，0，2）．则向量与向量的夹角的余弦值为：cos＜＞＝＝＝﹣．故答案为：﹣．16．已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是　4　．

11解：假设在BC边长存在点Q，使得PQ⊥DQ，连结AQ，∵在矩形ABCD中，AB＝，BC＝a，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DQ，∵PQ⊥DQ，∴DQ⊥平面PAQ，∴DQ⊥AQ，∴∠AQD＝90°，由题意得△ABQ∽△QCD，设BQ＝x，∴x（a﹣x）＝8，即x2﹣ax+8＝0（*），当△＝a2﹣32≥0时，（*）方程有解，∴当a时，在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，故a的最小值为4．故答案为：4．17．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，AA1＝2，点P是面BCD1A1上异于D1的一动点，则异面直线AD1与BP所成最小角的正弦值为　　．解：如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，AA1＝2，连接BC1，过点C1作C1P⊥CD1，则C1P⊥平面BCD1A1，又AD1∥BC1，∴∠PBC1是异面直线AD1与BP所成的最小角，在Rt△PBC1中，C1P＝＝，BC1＝＝，∴sin∠PBC1＝＝＝．故答案为：．

12三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知方程+＝1（m∈R）表示双曲线．（Ⅰ）求实数m的取值集合A；（Ⅱ）设不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0的解集为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）由方程+＝1（m∈R）表示双曲线，可得：m（4﹣m）＜0，可得集合A＝{m|m＜0或m＞4}；（Ⅱ）由题意：B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}＝{x|a＜x＜a+1}，∵x∈B是x∈A的充分不必要条件，即有B⊊A，∴a≥4或a+1≤0∴实数a的取值范围：a≥4或a≤﹣1．19．已知直线l过点M（﹣3，3），圆C：x2+y2+4y+m＝0（m∈R）．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）圆C方程标准化为：x2+（y+2）2＝4﹣m∴圆心C的坐标为（0，﹣2）直线l截圆C弦长最长，即l过圆心，故此时l的方程为：，整理得：5x+3y+6＝0；

13（Ⅱ）若过点M的直线与圆C恒有公共点，则点M在圆上或圆内，∴（﹣3）2+32+4×3+m≤0，得m≤﹣30．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．解：（I）因为N是PB的中点，PA＝PB，所以AN⊥PB．因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，从而PB⊥平面ADMN．因为DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM．（Ⅱ）取AD的中点G，连结BG、NG，BG//CD，所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等．因为PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．在Rt△BGN中，．故所成的角的正弦值．

1421．已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|＝2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），∴y2＝8x．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|＝a，则|PF|＝2a．设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．|PH|＝2a＝2|GH|，∴|PG|＝a．在RT△PQG中，|PG|＝a，|PQ|＝3a，得|QM|＝a，∴k＝tan∠QPG＝，同理k＜0时，，∴．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．由，∴，

15同理可得，∴，，∴，当且仅当|m|＝1时，面积取到最小值16．22．已知椭圆C：+＝1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（﹣4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣4于点P，Q．求的值．解：（Ⅰ）椭圆C：+＝1过点A（﹣2，﹣1），且a＝2b，则，解得b2＝2，a2＝8，

16∴椭圆方程为+＝1，（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为y＝k（x+4），由，消y整理可得（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣8＝0，∴△＝﹣32（4k2﹣1）＞0，解得﹣＜k＜，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，则直线AM的方程为y+1＝（x+2），直线AN的方程为y+1＝（x+2），分别令x＝﹣4，可得yP＝﹣1＝﹣，yQ＝﹣∴|PB|＝|yP|＝||，QB|＝|yQ|＝||，∴＝||＝||∵（2k+1）x1x2+（4k+2）（x1+x2）+8（2k+1）＝，∴||＝||＝||＝1，

17故＝1．