江西省新余市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）Word版含解析

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2020-2021学年江西省新余市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知集合A＝{x|x＝in，n⊂N}，集合，其中i为虚数单位，则集合A与集合B的关系是（　　）A．A⫋BB．B⫋AC．A＝BD．A≠B2．是的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知向量＝（2，1，﹣5），＝（4，y，z），且∥，则y+z＝（　　）A．﹣8B．﹣12C．8D．124．若椭圆和双曲线＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（　　）A．B．C．D．5．若函数f（x）＝x2++lnx在x＝1处取得极小值，则f（x）的最小值为（　　）A．3B．4C．5D．66．已知点P是抛物线C：y2＝4x上一点，点F为抛物线C的焦点，点M（2，1），则△PMF的周长的最小值为（　　）A．3B．1C．D．7．若函数f（x）＝x+tsinx在（0，）上单调递增，则实数t的取值范围是（　　）A．（1，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．[﹣1，+∞）8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（　　）A．MN⊥CD

1B．直线MN与平面ABCD所成角为45°C．MN∥平面ADD1A1D．异面直线MN与DD1所成角为60°9．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（　　）A．193B．192C．174D．17310．已知（x+4）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a3（x+2）3+a4（x+2）4+a5（x+2）5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝（　　）A．242B．243C．404D．40511．已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点，∠ABC＝60°，AC＝2，球O的表面积为，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（　　）A．2B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）＝（　　）A．B．0C．D．1二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．∫（x2sinx+）dx＝　　．14．用数学归纳法证明34n+2+52n+1（n∈N）能被14整除时，当n＝k+1时，对于34（k+1）+2+52（k+1）+1应变形为　　．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是线段A1B1的中点，则直线BE与DA1所成角的余弦值是　　．

216．若曲线y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线与曲线y＝ex相切于点Q（x2，y2），则＝　　．三、解答题（共6小题，第17题10分，第18题、第19题、第20题、第21题、第22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？18．已知a∈R，设p：∀x∈[2，3]，（a+1）x﹣1＞0恒成立，q：∃x0∈R，使得x02+ax0+1＜0．（Ⅰ）若p∧q是真命题，求a的取值范围；（Ⅱ）若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，求a的取值范围．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，AD∥BC，且AB＝AD＝BC＝1，AA1＝DC＝．（1）求证：平面BDD1B1⊥平面CDD1C1；（2）求二面角C﹣BD1﹣C1所成角的余弦值．20．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x

3（单位：元/千克）满足关系式y＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．21．已知椭圆C：的离心率为，点F1，F2是椭圆C的左、右焦点，点P是C上任意一点，若△PF1F2面积的最大值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l1：与椭圆C在第一象限的交点为M，直线l2：与椭圆C交于A，B两点，连接MA，MB，与x轴分别交于P，Q两点，求证：△MPQ始终为等腰三角形．22．已知函数．（Ⅰ）若f（x）≥0，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若有两个极值点分别为x1，x2（x1＜x2），求2g（x1）﹣g（x2）的最小值．

4参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知集合A＝{x|x＝in，n⊂N}，集合，其中i为虚数单位，则集合A与集合B的关系是（　　）A．A⫋BB．B⫋AC．A＝BD．A≠B解：由题意得A＝{i，﹣1，﹣i，1}，，所以B＝{i，﹣1，﹣i，1}＝A．故选：C．2．是的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当时，cos（2α+π）＝﹣cos2α＝1﹣2cos2α＝＝，反之不一定成立，故选：A．3．已知向量＝（2，1，﹣5），＝（4，y，z），且∥，则y+z＝（　　）A．﹣8B．﹣12C．8D．12解：因为向量＝（2，1，﹣5），＝（4，y，z），且∥，所以，则有，解得y＝2，z＝﹣10，所以y+z＝﹣8．故选：A．4．若椭圆和双曲线＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（　　）A．B．C．D．解：由题可知，焦距F1F2＝6，不妨设点P是双曲线右支上的一点，

5由椭圆和双曲线的定义可知，，解得，在△PF1F2中，由余弦定理可知，cos∠F1PF2＝．故选：A．5．若函数f（x）＝x2++lnx在x＝1处取得极小值，则f（x）的最小值为（　　）A．3B．4C．5D．6解：（1）∵f（x）＝x2++lnx，∴f'（x）＝2x﹣，函数f（x）＝x2++lnx在x＝1处取得极小值，∴2﹣a+1＝0，a＝3，函数f（x）＝x2++lnx，可知x∈（0，1），函数是减函数，x∈（1，+∞）函数是增函数，满足在x＝1处取得极小值，∴f（1）＝4．则f（x）的最小值为：4．故选：B．6．已知点P是抛物线C：y2＝4x上一点，点F为抛物线C的焦点，点M（2，1），则△PMF的周长的最小值为（　　）A．3B．1C．D．解：由题意可得M在抛物线的内部，过M向抛物线的准线作垂线交准线于N交抛物线于P，△PMF中，三角形的周长为：|MF|+|PM|+|PF|，由抛物线的性质，可得|MF|+|PM|+|PN|≥|MF|+|MN|，由抛物线的方程可得，抛物线的准线方程为x＝﹣1，所以|MN|＝2﹣（﹣1）＝3，|MF|＝，所以三角形的周长的最小值为：2+，故选：D．

67．若函数f（x）＝x+tsinx在（0，）上单调递增，则实数t的取值范围是（　　）A．（1，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．[﹣1，+∞）解：f′（x）＝1+tcosx≥0在（0，）恒成立，故t≥﹣在（0，）恒成立，y＝﹣在（0，）递减，故y的最大值小于﹣1，故t≥﹣1，故选：D．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（　　）A．MN⊥CDB．直线MN与平面ABCD所成角为45°C．MN∥平面ADD1A1D．异面直线MN与DD1所成角为60°解：如图，连结BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故C正确；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，则CD⊥A1D，∵MN∥A1D，∴MN⊥CD，故A正确；直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，故B正确；而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误．

7故选：D．9．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（　　）A．193B．192C．174D．173解：根据题意，由数表可得：每一行的第一个数字依次为1、2、4、7、……，则第n行的第一个数字为+1，则第20行的第一个数字为191，故第20行从左向右的第3个数为193；故选：A．10．已知（x+4）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a3（x+2）3+a4（x+2）4+a5（x+2）5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝（　　）A．242B．243C．404D．405解：设x+2＝t，可知原式变为，两边同时求导可得．令t＝1，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝405，故选：D．11．已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点，∠ABC＝60°，AC＝2，球O的表面积为，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（　　）A．2B．C．D．解：球O的表面积为，设球的半径为R，可得4πR2＝，解得R＝，底面三角形ABC的外接圆的半径为r，2r＝＝，解得r＝，如图，底面三角形的外心为G，可知底面三角形是正三角形时，A到BC

8的距离球的最大值，面积的最大值为：＝，P与底面三角形的顶点的连线恰好是正三棱锥时，三棱锥的高取得最大值，PG＝PO+OG＝+＝2，所以棱锥的体积的最大值为：＝．故选：B．12．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）＝（　　）A．B．0C．D．1解：当x＞0且x≠1时，，可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0；0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0．令g（x）＝x2f（x），x∈（0，+∞），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]．可得：x＞1时，g′（x）＞0；0＜x＜1时，g′（x）＜0．可得函数g（x）在x＝1处取得极值，∴g′（1）＝2f（1）+f′（1）＝0，由f′（1）＝﹣1，可得f（1）＝，故选：C．二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．∫（x2sinx+）dx＝　2π　．解：因为y＝x2sin⁡x是奇函数，所以根据奇函数的积分性质可知，．表示圆心在原点半径为2的上半圆，此时半圆的面积为，

9所以根据积分的几何意义知．所以．故答案为：2π．14．用数学归纳法证明34n+2+52n+1（n∈N）能被14整除时，当n＝k+1时，对于34（k+1）+2+52（k+1）+1应变形为　34（34k+2+52k+1）﹣56•52k+1　．解：34（k+1）+2+52（k+1）+1＝34（34k+2+52k+1）﹣56•52k+1．故答案为：34（34k+2+52k+1）﹣56•52k+115．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是线段A1B1的中点，则直线BE与DA1所成角的余弦值是　　．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则B（2，2，0），E（2，1，2），D（0，0，0），A1（2，0，2），＝（0，﹣1，2），＝（2，0，2），设直线BE与DA1所成角为θ，则cosθ＝＝＝．故答案为：．

1016．若曲线y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线与曲线y＝ex相切于点Q（x2，y2），则＝　0　．解：y＝lnx的导数为y′＝，可得y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线方程为y﹣lnx1＝（x﹣x1），y＝ex的导数为y′＝ex，可得在点Q（x2，y2）处的切线的方程为y﹣＝e（x﹣x2），由两条切线重合的条件，可得＝e，且lnx1﹣1＝e（1﹣x2），则x2＝﹣lnx1，即有lnx1﹣1＝（1+lnx1），可得lnx1＝，则+x2＝lnx1﹣lnx1＝0．故答案为：0．三、解答题（共6小题，第17题10分，第18题、第19题、第20题、第21题、第22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

11解：（1）设曲线方程为，由题意可知，．∴．∴曲线方程为．（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知得4y2﹣7y﹣36＝0，y＝4或（不合题意，舍去）．∴y＝4．得x＝6或x＝﹣6（不合题意，舍去）．∴C点的坐标为（6，4），．答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．18．已知a∈R，设p：∀x∈[2，3]，（a+1）x﹣1＞0恒成立，q：∃x0∈R，使得x02+ax0+1＜0．（Ⅰ）若p∧q是真命题，求a的取值范围；（Ⅱ）若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，求a的取值范围．解：（I）若p为真，即p：∀x∈[2，3]，（a+1）x﹣1＞0恒成立，所以，解得a＞﹣，若q为真，即q：∃x0∈R，使得x02+ax0+1＜0，则△＝a2﹣4＞0，解得，a＞2或a＜﹣2，若p∧q是真命题，则p，q为真，，所以a＞2，

12故a的范围（2，+∞），（II）因为p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，所以p∧（￢q）一真一假即p，q同真同假，当p，q都真时，由（I）知a＞2，当p，q都假时，，即﹣2，综上，﹣2或a＞2．故a的范围{a|﹣2或a＞2}．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，AD∥BC，且AB＝AD＝BC＝1，AA1＝DC＝．（1）求证：平面BDD1B1⊥平面CDD1C1；（2）求二面角C﹣BD1﹣C1所成角的余弦值．【解答】（1）证明：因为AD⊥AB，，所以BC＝2，，因为，所以BD2+DC2＝BC2，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD．因为AA1⊥底面ABCD，所以DD1⊥底面ABCD，所以BD⊥DD1．因为DD1∩CD＝D，DD1⊂平面CDD1C1，CD⊂平面CDD1C1，所以BD⊥平面CDD1C1，又BD⊂平面BDD1B1，所以平面BDD1B1⊥平面CDD1C1．（2）解：如图，分别以DB，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，．所以，，，设平面CBD1的法向量为，

13则，令x＝1，得．设平面C1BD1的法向量为，则，令a＝1，得，所以，由图知二面角C﹣BD1﹣C1为锐角，所以二面角C﹣BD1﹣C1所成角的余弦值为．20．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：（Ⅰ）因为x＝5时，y＝11，所以+10＝11，故a＝2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y＝所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）＝10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]＝30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：

14x（3，4）4（4，6）f'（x）+0﹣f（x）单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．21．已知椭圆C：的离心率为，点F1，F2是椭圆C的左、右焦点，点P是C上任意一点，若△PF1F2面积的最大值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l1：与椭圆C在第一象限的交点为M，直线l2：与椭圆C交于A，B两点，连接MA，MB，与x轴分别交于P，Q两点，求证：△MPQ始终为等腰三角形．解：（1）由，a2＝b2+c2，可得，由△PF1F2面积的最大值为知，，解得，，c＝4，∴椭圆C的方程为．（2）证明：联立，解得M（3，1），联立，得2x2+6mx+9m2﹣18＝0，∵直线l2与椭圆C交于A，B两点，∴△＝（6m）2﹣4×2×（9m2﹣18）＞0，∴﹣2＜m＜2，且m≠0，设直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．又x1+x2＝﹣3m，，

15，，则＝，∴k1+k2＝0，从而△MPQ始终为等腰三角形．22．已知函数．（Ⅰ）若f（x）≥0，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若有两个极值点分别为x1，x2（x1＜x2），求2g（x1）﹣g（x2）的最小值．解：（Ⅰ）因为，所以，由f（x）＝0得或．①当a＞0时，因为，不满足题意，②当a＜0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，于是，解得﹣e3≤a＜0，所以a的取值范围为[﹣e3，0）．（Ⅱ）函数g（x）＝lnx+x2﹣ax，定义域为（0，+∞），，因为x1，x2是函数g（x）的两个极值点，所以x1，x2是方程2x2﹣ax+1＝0的两个不等正根，则有△＝a2﹣8＞0，，，得，对称轴，故，，且有，，＝＝＝

16＝，令，则，，，当时，h（t）单调递减，当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增，所以，所以2g（x1）﹣g（x2）的最小值为．