上海市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则Imz＝　　．2．若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，则直线l与平面α的位置关系为　　．3．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为　　．4．方程的解是　　5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝5，AD＝2，则异面直线AB1和DD1的距离为　　．6．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数k的值为　　．7．设空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），若∥，则|﹣|＝　　．8．已知空间四边形ABCD，AB＝CD＝2，且AB与CD所成的角为，设E、F分别是BC、AD的中点，则EF的长度为　　．9．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为2的球，且A、B两点的球面距离为，则该正四棱柱的体积为　　．10．在复数范围内方程z2+2|z|﹣1＝0的解集为　　．11．在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为Pi（xi，yi，zi）（i＝1，2，3，4）．设集合A＝{zi|i＝1，2，3，4}，则集合A的元素个数可能为　　（写出所有可能的值）．12．在三棱锥A﹣BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为l（l＜4）的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界），若线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l的值为　　．二、选择题13．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（　　）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β14．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（　　）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2

115．将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（　　）种A．10B．16C．22D．2816．在如图所示的棱长为20的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到A1D1的距离为6，到AA1的距离为5，则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是（　　）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形三、解答题17．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．（只需列式并计算结果）（1）甲、乙两人相邻；（2）丙、丁两人不相邻；（3）甲站在丙、丁两人的中间（未必相邻）．18．如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB＝BC＝5，CD＝3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离．19．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根．（1）若α为虚数，且|α|＝3，求实数m的值；（2）若|α﹣β|＝2，求实数m的值．20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形AEFD翻折至A′EFD’，使得平面A′EFD′⊥平面BEFC．（1）求证：A′E⊥BE；（2）设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，求异面直线BD′与CG所成角的大小；

2（3）求多面体A′BCD′EF的体积．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，E为PD中点，F在PC上，且＝．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣P的大小．（3）设平面AEF与直线PB交于点G，求的值．

3参考答案一、填空题1．已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则Imz＝　﹣1　．解：因为z＝1﹣i，故Imz＝﹣1．故答案为：﹣1．2．若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，则直线l与平面α的位置关系为　平行　．解：若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，则直线l与平面α平行，不可能相交，因为三点A，B，C共线．．故答案为：平行．3．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为　2π　．解：设圆锥的底面积半径r，则底面半径为πr2＝π，解得r＝1；由母线长为l＝2，则该圆锥的侧面积为S侧＝πrl＝π×1×2＝2π．故答案为：2π．4．方程的解是　x＝3或x＝7　解：∵，∴x＝2x﹣3或x+2x﹣3＝18，解得x＝3或x＝7．∴方程的解是x＝3或x＝7．故答案为：x＝3或x＝7．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝5，AD＝2，则异面直线AB1和DD1的距离为　2　．解：如图，在长方体体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为AD⊥平面DD1C1C，且DD1⊂平面DD1C1C，所以AD⊥DD1，同理可证AD⊥AB1故AD是异面直线AB1和DD1的公垂线段，

4因此AB1和DD1的距离为AD＝2．故答案为：2．6．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数k的值为　1　．解：因为＝为纯虚数，所以k﹣1＝0且k+1≠0，解得k＝1．故答案为：1．7．设空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），若∥，则|﹣|＝　9　．解：因为空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），且∥，所以，即（2，n，﹣4）＝λ（﹣1，2，m），可得，解得m＝2，n＝﹣4，所以＝（﹣1，2，2），＝（2，﹣4，﹣4），则﹣＝（﹣3，6，6），所以．故答案为：9．8．已知空间四边形ABCD，AB＝CD＝2，且AB与CD所成的角为，设E、F分别是BC、AD的中点，则EF的长度为　1或　．解：如图，取BD中点M，连结FM，EM，由题可知，MF∥AB，ME∥CD，MF＝，ME＝，∵AB与CD所成的角为，∴或者＝，当时，△FME为等边三角形，∴EF＝1，

5当时，由余弦定理可知，EF2＝EM2+MF2﹣2EM•MF•cos∠FME＝，∴EF＝，综上，EF＝1或EF＝，故答案为：1或．9．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为2的球，且A、B两点的球面距离为，则该正四棱柱的体积为　8　．解：设球的球心为O，正四棱柱的高为h，因为球的半径为2，且A、B两点的球面距离为，则有∠AOB•2＝，所以∠AOB＝，又OA＝OB＝2，所以AB＝2，即正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面正方形的边长为2，又正四棱柱的体对角线为外接球的直径，则，解得h＝，所以该正四棱柱的体积为＝8．故答案为：8．10．在复数范围内方程z2+2|z|﹣1＝0的解集为　{1+，，﹣i，i}　．解：设z＝x+yi（x，y∈R），则原方程化为，则，由②可知，y＝0或x＝0，故原方程有实根或纯虚数根，①若y＝0，则z＝x，

6故|x|2+2|x|﹣1＝0，解得x＝1+或x＝；②若x＝0，则z＝yi，则有|y|＝±1，所以z＝±i．综上所述，z＝1+或z＝或z＝±i．故答案为：{1+，，﹣i，i}．11．在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为Pi（xi，yi，zi）（i＝1，2，3，4）．设集合A＝{zi|i＝1，2，3，4}，则集合A的元素个数可能为　2或3或4　（写出所有可能的值）．解：若集合A中只有一个元素，则P1P2P3P4在同一个垂直于z轴的平面内，故不可能，当正四面体P1P2P3P4的底面在坐标平面xoy内时，集合A中有2个元素，当正四面体P1P2P3P4的一面与x或y轴平行，集合A有3个元素，当正四面体P1P2P3P4的各面，各边都不与x或y或z轴平行，集合中有4个元素，故集合A的元素可能为2或3或4．故答案为：2或3或4．12．在三棱锥A﹣BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为l（l＜4）的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界），若线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l的值为　2　．解：由题意可知，∠MAN＝90°，在Rt△AMN中，AP＝，线段MN的中点P的轨迹是以A为球心，为半径的球面的，所以线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l＝2．故答案为：2．

7二、选择题13．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（　　）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即选项A正确，故选：A．14．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（　　）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当＝z3时，则，所以＝，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则，可得，

8所以，故选项D错误．故选：BC．15．将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（　　）种A．10B．16C．22D．28解：根据题意，分3种情况讨论：①2个盒子各放3个小球，一个盒子是空的，有C32＝3种放法，②若每个盒子放2个小球，有1种放法，③若1个盒子放1个小球，1个盒子放2个小球，最后一个放3个小球，有A32＝6种放法，则有3+1+6＝10种放法，故选：A．16．在如图所示的棱长为20的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到A1D1的距离为6，到AA1的距离为5，则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是（　　）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解：截面形状草图，如图所示：由图可知，截面为六边形，故选：D．三、解答题

917．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．（只需列式并计算结果）（1）甲、乙两人相邻；（2）丙、丁两人不相邻；（3）甲站在丙、丁两人的中间（未必相邻）．解：（1）根据题意，将甲乙看成一个整体，与其他6人全排列即可，有A22A77＝10080种排法；（2）根据题意，将8人全排列，有A88种排法，其中丙、丁相邻的排法有A22A77＝10080种，则丙、丁两人不相邻的排法有A88﹣A22A77＝30240种；（3）根据题意，将8人全排列，有A88种排法，甲乙丙三人的排法有A33＝6种，其中甲站在丙、丁两人的中间有2种，则有甲站在丙、丁两人的中间有＝13440种．18．如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB＝BC＝5，CD＝3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离．解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵BC是圆O的直径，∴BD⊥CD，又BD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，AB∩BDE＝B，∴CD⊥平面ABD．∴∠CAD是AC与平面ABD所成的角．∵AB＝BC＝5，∴AC＝5，∴sin∠CAD＝＝．

10∴直线AC与平面ABD所成角的大小为arcsin．（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，由（1）得CD⊥平面ABD，CD⊂平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD，又平面ABD∩平面ACD＝AD，BM⊂平面ABD，BM⊥AD，∴BM⊥平面ACD．∵BD＝＝4，∴AD＝＝．∴BM＝＝．即B到平面ACD的距离为．19．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根．（1）若α为虚数，且|α|＝3，求实数m的值；（2）若|α﹣β|＝2，求实数m的值．解：（1）因为α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根，因为α为虚数，设α＝a+bi，则β＝a﹣bi，又|α|＝3，则a2+b2＝9，解得，因为aβ＝（a+bi）（a﹣bi）＝a2+b2＝9＝m，所以m＝9；（2）①当△＝16﹣4m＜0时，由（1）可知，a+bi+a﹣bi＝﹣4，解得a＝﹣2，又aβ＝（a+bi）（a﹣bi）＝a2+b2＝m，因为|α﹣β|＝2，所以|2bi|＝2，解得b＝±1，故m＝5；②当△＝16﹣4m≥0时，则α+β＝﹣4，αβ＝m，所以|α﹣β|＝2，即，解得m＝3．

11综上所述，m＝3或m＝5．20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形AEFD翻折至A′EFD’，使得平面A′EFD′⊥平面BEFC．（1）求证：A′E⊥BE；（2）设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，求异面直线BD′与CG所成角的大小；（3）求多面体A′BCD′EF的体积．【解答】（1）证明：因为平面A′EFD′⊥平面BEFC，EF⊥BE，EF⊥A′E，所以∠A′EB是二面角A′﹣EF﹣B的平面角，所以∠A′EB＝90°，所以A′E⊥BE；（2）解：设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，EG＝2，建立空间直角坐标系，如图所示：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D′（0，2，2），G（0，2，0），所以＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，0），设异面直线BD′与CG所成角为θ，则cosθ＝＝＝0，所以θ＝90°；（3）解：多面体A′BCD′EF的体积为：VA′BCD′EF＝+VD′﹣EBCF

12＝S△BEA′•EE1+•DE1＝×2×2×2+××2×2＝6．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，E为PD中点，F在PC上，且＝．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣P的大小．（3）设平面AEF与直线PB交于点G，求的值．解：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，又AD，PD⊂平面PAD，AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，因为PA＝AD＝4，则△PAD是等腰三角形，又E是PD的中点，所以AE⊥PD，又PD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以AE⊥平面PCD．（2）如图所示分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则A（0，0，0），D（0，4，0），E（0，2，2），F（1，1，3），P（0，0，4），C（4，4，0）则，设平面AEF的一个法向量为，所以⇒，取c＝1，解得b＝﹣1，a＝2，所以．是平面AEF的一个法向量，设二面角F﹣AE﹣P的平面角为θ，

13则．（3）平面AEF与直线PB交于点G，设，则，设G（a，b，c），则，⇒（a，b，c﹣4）＝λ（4，0，﹣4）⇒a＝4λ，b＝0＝m⇒⇒﹣8λ+0+4﹣4λ＝0⇒，所以．