安徽省淮北市2023届高三下学期一模数学Word版含解析

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淮北市2023届高三第一次模拟考试数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合和，则集合的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4．2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是，则（）A．B．C．D．3．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体4．已知则（）A．B．C．D．5．在平面直角坐标系中，点，在椭圆上，且直线OA，OB的斜率之积，则（）A．1B．3C．2D．学科网（北京）股份有限公司

16．如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧，点P在其中一段弧上，角以Ox为始边，OP为终边．若，则点P所在的圆弧是（）A．B．C．D．7．如图，对于曲线所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点A，B恒有成立，则称角为曲线的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点O的“确界角”．已知曲线（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（）A．B．C．D．8．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（）A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立C．C与D互斥D．A与C相互独立二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知D是的边BC上的一点（不包含顶点），且，其中，则（）学科网（北京）股份有限公司

2A．B．C．D．10．已知函数，则（）A．在单调递增B．有两个零点C．曲线在点处切线的斜率为D．是奇函数11．已知曲线，直线l过点交于A，B两点，下列命题正确的有（）A．若A点横坐标为8，则B．若，则的最小值为6C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点D．若，则以线段AB为直径的圆的面积是12．如图，以正方形的一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作，保持所作的直角三角形都相似，得四个正方形，记为A、B、C、D，其面积记为，，，，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．学科网（北京）股份有限公司

313．的展开式中的常数项为______．（用数字作答）14．已知直四棱柱的底面是菱形，，棱长均为4，，的中点分别为P、Q，则三棱锥的体积为______．15．设若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是______．16．已知双曲线过点，则其方程为______；设，分别为双曲线C的左右焦点，D为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是______（第一个空2分，第二个空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题满分10分）设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，．（1）求角B的大小（2）若，求的面积．18．（本题满分12分）已知数列满足，，．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）若，为数列的前n项和，求．19．（本题满分12分）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．学科网（北京）股份有限公司

4（Ⅰ）求证：面面ABCD；（Ⅱ）设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．20．（本题满分12分）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：奖项组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550（Ⅰ）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；（Ⅱ）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为，来自高二的人数为，试判断与的大小关系．（结论不要求证明）21．（本题满分12分）已知椭圆，A、F分别为的左顶点和右焦点，O为坐标原点，以OA为直径的圆与交于M点（第二象限），．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；学科网（北京）股份有限公司

5（Ⅱ）若，直线，l交于P、Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为，．（ⅰ）若l过F，求的值；（ⅱ）若l不过原点，求的最大值．22．（本题满分12分）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，令（ⅰ）证明：当时，；（ⅱ）若数列满足：，，证明：．淮北市2023届高三一模数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案BDBCACBDADACBCDBC二、填空题13．240；14．；15．16．，12．解：设，最大正方形边长为1，小正方形A、B、C、D的边长分别为a，b，c，d则，，，所以，故C正确，故B正确学科网（北京）股份有限公司

6所以选BC．16．解①由双曲线过点，所以，所以方程为②如图：设的内切圆与，，分别切于H，D，G，所以，，，所以，又，所以，，又，，所以G与重合，所以M的横坐标为a，同理可得N的横坐标也为a，设直线AB的倾斜角为，则，，学科网（北京）股份有限公司

7当时，，当时，由题知，，，．因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴，且，，综上所述，故①答案为：；三、解答题17．（本题满分10分）解：（1）由得，即，则，所以．（2）注意到，，，由得，即．又，所以．则．学科网（北京）股份有限公司

8所以．18．（本题满分12分）（1）注意到，则，即．所以是以为首项，以3为公比的等比数列．（2）由（1）知，故．所以．故，两同乘以3，错位，两式相减得所以，19．（本题满分12分）（1）证明：在中，因，所以，即，又，PB，AB相交，所以面PAB，所以面面ABCD得证（2）假设存在点Q，使得平面平面PAD．学科网（北京）股份有限公司

9如图，以A为原点，分别以，为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设是平面PAD的法向量，则，取设，其中．则连接EF，因平面BEQF，平面PAC，平面平面，故取与同向的单位向量．设是平面BEQF的法向量，则，取．由平面平面PAD，知，有，解得．故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面平面PAD．另，用几何法也可：由题意及（1）得，取E为PA中点，则所以面BEQF，故平面平面PAD在中，，E为中点，进而求解。学科网（北京）股份有限公司

10请阅卷老师相应给分!20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，记“任取1名学生，该生为高一学生”为事件B，∴，，∴（Ⅱ）由己知可得，得可能取值为0，1，2∴，，，∴的分布列为012p∴（Ⅲ）理由：∵，∴，∴21．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由己知点M是以AO为直径的圆上的点∴，又∵，，∴，∴，又∵点M在椭圆上，∴，整理得，∴（Ⅱ）设，，（ⅰ）由，，∴椭圆的方程为：学科网（北京）股份有限公司

11在中，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为，与椭圆方程联立得整理得：，∴，，∴（ⅱ）设直线l的方程为，与椭圆方程联立得消去x整理得：，当得，∴，，∴∴当且仅当时，有最大值，此时最大值是22．（本题满分12分）解：（1）由题意得：当时，恒成立，得在上单调递增：当时，时，此时单调递增，时，此时单调递减，综上得：当时，在上单调递增，当时，在单调递减，在上单调递增。（2）（ⅰ）当时，，学科网（北京）股份有限公司

12欲证，往证，即证，记，，得，故在上单调递减，得，．故当时，成立．（ⅱ）由（ⅰ）得当时，，故当，得，进而，依次得，．欲证，即证．下面先证关系，即证，．即，整理得即证：记，，得又，所以在上单调递增，有，所以在上单调递增，得，故当，时，有，所以，．故又，得，所以所以得证．学科网（北京）股份有限公司

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