河南省周口市2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

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周口市2022-2023学年高二上期期中质量检测数学试题（考试用时120分钟试卷满分150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应科目的答案标号涂黑.如需改动，橡皮擦干净后，涂上其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:选择性必修一一、二章.第I卷（选择题）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间任意四个点A，B，C，D，则等于（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量加法的三角形法则和向量减法的定义即可求出答案.【详解】易知，.故选：D.2.如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

1A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】.故选：C.3.若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（）.A.0B.C.0或D.0或【答案】C【解析】【分析】直接利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】因为向量，，且与的夹角的余弦值为，所以，解得或.故选：C.4.如图，某圆锥轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

2A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别得到，然后根据空间向量夹角公式计算即可.【详解】以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则根据题意可得，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则.故选：C.5.已知定直线的方程为，点是直线上的动点，过点作圆的一条切线，是切点，是圆心，若面积的最小值为，则面积最小时直线的斜率为（）A.B.C.D.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

3【答案】B【解析】【分析】分析可知当时，的面积取最小值，求得，即圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得的值.【详解】由题意可得直线的方程为，圆的圆心，半径为，如图，又，所以，当取最小值时，取最小值，此时，可得，，则，解得.故选：B.6.已知直线与直线平行，则实数a的值为（）A.1B.C.1或D.【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.【详解】由于直线与直线平行，所以，或，当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.经检验可知符合题意.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

4故选：A7.已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断出直线 经过定点，分别求出，即可求解.【详解】由于直线 的斜率为， 且经过定点， 设此定点为.而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为  ，要使直线与线段有公共点，只需.故选 ：C.8.从中任取一个实数，则直线被圆截得的弦长大于的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出直线被圆截得的弦长大于2的等价条件，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．【详解】解：由题知所给圆的圆心为坐标原点，半径为，当弦长大于2时，圆心到直线的距离小于1，即，所以，故所求概率，故选A．二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）9.在四面体ABCD中，E是棱BC的中点，且，则下列结论中不正确的是（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

5A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】应用空间向量加减、数乘的几何意义，结合几何体用表示，即可确定x、y、z的值，进而判断各选项的正误.【详解】∵，∴，，则，故A，B，D错误，C正确.故选：ABD.10.如图，在正方体中，点在线段上移动，为棱的中点，则下列结论中正确的有（）A.平面B.的大小可以为C.直线与直线恒为异面直线第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

6D.存在实数，使得成立【答案】ABD【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量的方法逐一计算各个选项.【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为2，设所以又平面所以平面的法向量为因为所以所以平面故正确对于B，当为的中点时所以所以所以平面所以的大小可以为，故正确；对于当为线段的中点时，直线与共面，故不正确对于三点共线故正确.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

7故选:ABD.11.在平面直角坐标系中，已知，是圆上的两个动点，满足，下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角是B.直线的倾斜角是C.最大时，的面积是D.最大时，的面积是6【答案】AD【解析】【分析】因为，则点在的垂直平分线上，所以，根据两直线垂直的斜率关系可求得.最长即为圆的直径，用两点间的距离公式计算，代入即可求得.【详解】，在的垂直平分线上，又是圆的弦，圆心也在的垂直平分线上，则，，的斜率为，直线的倾斜角为.当过圆心，即为直径时，，此时的高为，且，故选：AD12.已知直线l1：x+y﹣4＝0与圆心为M（0，1）且半径为3的圆相交于A，B两点，直线l2：2mx+2y﹣3m﹣5＝0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD的面积的值可以是（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

8A.B.C.D.9（）【答案】BC【解析】【分析】写出圆的方程，联立直线方程与圆方程，求出A，B的坐标，可知动直线过AB的中点，则当CD与AB垂直时四边形ACBD面积最大，代入四边形ACBD面积公式求解即可．【详解】根据题意，圆M的圆心为M（0，1）且半径为3，则圆M的方程为x2+（y﹣1）2＝9，即x2+y2﹣2y﹣8＝0，直线l1：x+y﹣4＝0与圆M相交于A，B两点，则有，解可得：或，即A、B的坐标分别为（3，1），（0，4），则|AB|＝＝3，且AB的中点为（，），直线l2：2mx+2y﹣3m﹣5＝0，变形可得m（2x﹣3）+2y﹣5＝0，直线l2恒过定点（，）设N（，），当CD与AB垂直时，四边形ACBD的面积最大，此时CD的方程为y﹣＝x﹣，变形可得y＝x+1，经过点M（0，1），则此时|CD|＝6，故S四边形ACBD的最大值＝S△ACB+S△ADB＝×6×3＝9，故S四边形ACBD≤9，故选：BC．【点睛】关键点点睛：本题关键在于求得AB的中点与直线l2恒过定点是同一点，从而判断当CD与AB垂直时四边形ACBD面积最大．Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上）13.已知点，，，若，，三点共线，则______.【答案】【解析】【分析】首先求出，的坐标，再根据，，三点共线，即可得到，从而，即可得到方程，解得即可；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

9【详解】解：因为，，所以，因为，，三点共线，所以，即，所以，解得故答案为：14.设曲线在处的切线与直线垂直，则____________.【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义，以及两直线垂直的关系，求实数的值.【详解】因为，所以，所以，所以，即.故答案为：15.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马'问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为_________．【答案】【解析】【分析】求出点关于直线的对称点，再根据的值求最值.【详解】设，则，的中点坐标为，有因为，关于直线，所以，解得，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

10即，故最短路径为，故答案为：.16.已知圆C的圆心在y轴上，截直线所得弦长为8，且与直线相切，则圆C的方程___________.【答案】【解析】【分析】设圆C的圆心为，半径为，分别求出圆心到直线和的距离，利用直线与圆的位置关系列出方程组，可得圆的方程．【详解】设圆C圆心为，半径为圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为则，即，解得则圆C的方程为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查点线距公式，解决本题的关键点是直线与圆相交时，半径的平方与弦长一半的平方和圆心到直线的距离的平方和相等，并利用直线与相切，列出方程组，解出圆的标准方程，考查学生逻辑思维能力与计算能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，.（1）若，分别求与的值；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

11（2）若，且与垂直，求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据平行关系可得，由此构造方程组求得结果；（2）根据向量垂直和模长可构造方程组求得，由此得到.【详解】（1）由得：，即，解得：；（2），，又，，即，由得：，.18.如图，在三棱柱中，平面，且D为线段的中点.（1）证明：；（2）若到直线的距离为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可证得，理由勾股定理证得，再根据线面垂直的判定定理可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

12（2）过B作于H，连接，易证，则，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.【小问1详解】证明：因为平面平面，所以，因为，所以，所以，因为，所以平面，又平面，所以；【小问2详解】解：过B作于H，连接，因为平面，，所以平面，又因平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以，则，因为，所以.以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面的法向量为，则，令，则，同理可得平面的一个法向量为，则，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

13由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为.19.已知直线l1：x+y+2＝0；l2：mx+2y+n＝0.（1）若l1⊥l2，求m的值；（2）若l1//l2，且他们的距离为，求m，n的值.【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）由垂直得斜率互为负倒数，可求得；（2）由平行求得，再由距离求得．【详解】（1）的斜率为，∵l1⊥l2，∴直线的斜率为，∴；（2）∵，∴，（时两直线平行），的方程化为，∴两平行间的距离为，解得．【点睛】本题考查两直线垂直与平行的条件，考查两平行线间的距离公式，属于基础题．20.已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为．（1）求圆的标准方程；（2）设过点直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．【答案】（1）（2）5，或第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

14【解析】【分析】（1）根据题意，过点的直径所在直线方程为，进而与直线联立方程即可得圆心，进而求解方程；（2）要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，再根据三角形面积公式计算，且所在直线方程为，再与圆的方程联立即可求得的坐标为或，再分别讨论求解方程即可.【小问1详解】解：由题意，过点的直径所在直线方程为，即．联立，解得，∴圆心坐标为，半径，∴圆的方程为；【小问2详解】解：，要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，此时的最大值为；∵，∴所在直线方程为，即，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

15联立，得或，即的坐标为或，当时，的方程为，即；当时，的方程为，即．综上所述，所在直线方程为或．21.如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦．（1）当时，求AB的长．（2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

16【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）求出直线AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长；（2）当弦被点平分时，AB与垂直，由此可求出直线AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可.【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点，所以直线AB的方程为：，圆心到直线AB的距离为，则，所以；（2）当弦被点平分时，AB与垂直，因为，所以，直线AB的点斜式方程为即.22.已知直线与圆交于两点.（1）求的斜率的取值范围；（2）若为坐标原点，直线与的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，详见解析【解析】【分析】（1）变换得到，得到直线过点，设，利用直线和圆的位置关系得到，计算得到答案.（2）联立，根据韦达定理得到，计算，化简计算得到答案.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

17【详解】（1）由，可得.由，解得，所以恒过定点.故可设的方程为，即.由已知可得圆的标准方程为，圆心，半径，则由直线与圆相交，可得.解得，所以的斜率的取值范围为.（2）是定值联立，消去，整理得.设，，由韦达定理得，则为定值.【点睛】本题考查了斜率范围和定值问题，利用韦达定理求解是常用方法，需要熟练掌握，意在考查学生计算能力.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

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