安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高二（实验班）上学期期末考试数学（解析版）

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2021-2022学年高二年级上学期期末考试卷（实验班）数学试题（仅在答题卡指定范围内作答）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知直线：与直线：平行，则a的值是（）A.B.1C.或1D.4或【答案】B【解析】【分析】根据给定条件列出关于a的等式，求解并验证即可作答.【详解】因直线：与直线：平行，则有，解得或，当时，直线：与直线：平行，当时，直线：与直线：，即重合，所以a的值是1.故选：B2.已知空间向量，，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.【详解】.故选：B.3.已知直线和直线，下列说法不正确的是（）A.始终过定点B.若，则或C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限【答案】B第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

1【解析】【分析】对于A选项，提出让其前面的系数为，即可验证A正确.对于B选项，当则与重合，故B错误.利用两直线垂直，即可得到，得到C正确.把直线化为斜截式方程，找到恒过定点，即可验证D正确【详解】，，，即始终过定点，故A正确.若，当则与重合，故B错误.或，故C正确.当时，直线始终过点，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.故选：B.4.已知直线被圆截得的弦长为2，则（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】求出该圆的圆心和半径长，用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用圆的半径长、弦长的一半以及弦心距三者满足勾股定理可得出关于的等式，则可解得的值.【详解】圆的圆心为，半径为，圆心C到直线l的距离为，由题意可知，，解之得，即.故选：B.5.在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当线段、的长度均最短时，（）A.B.C.D.第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

2【答案】A【解析】【分析】根据题意得到平面，直线，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合向量的运算公式，即可求得的值.【详解】解：如图所示，因为，，可得平面，直线，当最短时，平面，且，所以为的中心，为的中点，如图所示，又由正四面体的棱长为1，所以，，所以，因为平面，所以，所以中，，所以故选：A6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

3处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出点关于直线对称点为，则可得即为“将军饮马”的最短总路程，求出的坐标，即可求出．【详解】如图，点关于直线的对称点为，则即为“将军饮马”的最短总路程，设，则，解得，则故“将军饮马”最短总路程为故选：A7.已知椭圆的上下顶点分别为，一束光线从椭圆左焦点射出，经过反射后与椭圆交于点，则直线的斜率为（）第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

4A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件借助椭圆的光学性质求出直线AD的方程，进而求出点D的坐标计算作答.【详解】依题意，椭圆的上顶点，下顶点，左焦点，右焦点，由椭圆的光学性质知，反射光线AD必过右焦点，于是得直线AD的方程为：，由得点，则有，所以直线的斜率为.故选：B8.已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若不等式的解集为区间，且，则（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】根据条件可得函数是定义在上的奇函数且在上的增函数，进而可得，再利用数形结合即得.【详解】∵函数的图象关于点对称，∴函数的图象关于点对称，又是定义在上的增函数，∴函数是定义在上的奇函数且在上的增函数，由，可得，第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

5∴的解集为区间，且，作出函数与的图象，函数表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分，表示过定点的直线，由图象结合条件可知，又，∴，即直线与半圆的交点的横坐标为2，故，∴.故选：B.【点睛】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是掌握形与数的对应关系，基本思路为：①构造函数（或与），②作出（或与）的图象，③找出满足题意的曲线（部分），曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点.9.已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的的范围可求得取最大值时，点第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

6在椭圆的短轴上.【详解】设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式可得：则有：根据椭圆的特点，可知：可得：当时，取最大值此时，点在椭圆的短轴上，则有：故选：B10.设双曲线C：的左､右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，因为O为的中点，所以,而,则，为等腰三角形，故，第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

7由，得，又为等腰直角三角形，故，即，解得，即，故选：A.11.已知A，B两点在以F为焦点的抛物线上，并满足，过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线，与OA交于N点，则MN的长为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知结合抛物线的性质，求得坐标，进而求得坐标，即可得解.【详解】由，利用抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，作垂直于抛物线准线，垂足分别为，作于C,如图所示，设，由抛物线的定义知,在中，，则,所以，所以直线AB的方程为,与抛物线的方程联立得，解得，,所以，，故AB的中点,第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

8直线OA的方程为，令，得，所以MN长为故选：C12.过抛物线：的焦点且垂直于轴的直线被双曲线：所截得线段长度为，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先根据抛物线的焦点坐标及线段长度可求出的值，从而可求出双曲线的渐近线方程.【详解】易知抛物线的焦点坐标为，所以点在双曲线上，即，因为，所以解得.所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知圆，直线（不同时为0），当变化时，圆被直线l截得的弦长的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】由题意知直线恒过定点，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆被直线l截得的弦长为最小值，即可求出答案.第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

9【详解】把直线化为，恒过定点，当圆被直线l截得的弦长的最小值时，圆心到定点的距离为，圆心到直线距离最大值时即为，此时直线弦长为最小值.故答案为：.14.已知双曲线：，与共渐近线的双曲线过，则的方程是___________.【答案】【解析】【分析】设双曲线的方程为：，求出即得解.【详解】设双曲线的方程为：，由题得所以双曲线的方程为：即：.故答案为：15.已知点为双曲线的右焦点，定点为双曲线虚轴的一个顶点，直线与双曲线的一条渐近线在轴左侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是_________【答案】【解析】【分析】利用直线的斜截式方程得直线的方程，再利用双曲线的性质及几何意义得双曲线的一条渐近线方程，最后利用平面向量的坐标运算，结合双曲线的性质计算得结论．第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

10【详解】因为过点，的直线方程为  ，双曲线的一条渐近线方程为   ，联立，解得交点，由，，得，解得，故．故答案为：．16.抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线，一条平行于抛物线对称轴的光线从点向左发出，先经抛物线反射，再经直线反射后，恰好经过点，则该抛物线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的聚焦特点，经过抛物线后经过抛物线焦点，再经直线反射后经过点，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可.【详解】设光线与抛物线的交点为，抛物线的焦点为，则可得：抛物线的焦点为：则直线的方程为：设直线与直线的交点为，则有：第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

11解得：则过点且垂直于的直线的方程为：根据题意可知：点关于直线的对称点在直线上设点，的中点为，则有：直线垂直于，则有：点在直线上，则有：点在直线上，则有：化简得：又故第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

12故答案为：【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是关键三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17.已知圆，直线．（1）求证：直线与圆恒有两个交点；（2）设直线与圆的两个交点为、，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据直线的方程可得直线经过定点，而点到圆心的距离小于半径，故点在圆的内部，由此即可证明结果．（2）由圆的性质可知，当过圆心时，取最大值，当和过的直径垂直时，取最小值，由此即可求出结果.【小问1详解】证明：由于直线，即令，解得，所以恒过点，所以，所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点；【小问2详解】解：当过圆心时，取最大值，即圆的直径，由圆的半径，所以的最大值为；当和过的直径垂直时，取最小值，此时圆心到的距离，所以，故的最小值为．第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

13综上，的取值范围.18.设直线l的方程为（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长；【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）将直线方程整理成关于的式子，再令其系数为0，解关于和的方程组，即可；（2）易知，，由，求出参数的值，从而可得的坐标，即可求出答案.【小问1详解】证明：将整理成，令，解得，，所以定点为，故不论为何值，直线必过一定点；【小问2详解】解：由题意知，，由，当时，，当时，，由，得，所以面积，解得，此时，，，所以的周长为，故当面积为12时，的周长为.第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

1419.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点.（1）求证：平面PFB；（2）求平面PBC与平面PBD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取PB的中点M，连接EM，FM，证明，再利用线面平行判定定理，即可得到答案；（2）如图，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，求出两个面的法向量，再求向量夹角的余弦值，即可得到答案；【小问1详解】证明：取PB的中点M，连接EM，FM，∵E，M分别是PC，PB的中点，∴，，第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

15∵四边形ABCD是正方形，F是AD中点，∴，，∴四边形DEMF平行四边形，∴，又平面PFB，平面PFB，∴平面PFB.【小问2详解】如图，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，则、、、、、、，设平面PBD的法向量为，∵，∴，∴，∴设平面PBC的法向量为，∵，，∴，∴，∴∴，设平面PBC与平面PBD的夹角为，则，故平面PBC与平面PBD夹角的余弦值为.20.已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

16【分析】（1）由等轴双曲线的离心率可得椭圆的离心率，再由直线与圆相切，可得的值，由，，与离心率的关系求出的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得的坐标，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由斜率之和可可得参数的关系，可证得直线恒过定点．【小问1详解】∵等轴双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率，又∵直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切，∴，即，可得，即，则椭圆的方程为：；【小问2详解】①若直线的斜率不存在，设方程为，则点，，，，由，即，解得，此时直线的方程为；②若直线的斜率存在，设的方程为，由题意可得，设，，，，则，整理可得：，，且，，由，可得，即，即，，，故直线的方程为，即直线过定点，第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

17综上所述：直线过定点．21.已知抛物线，点在抛物线上．（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由点在抛物线上可得的值，进而求出抛物线的方程；（2）直线与抛物线联立求出两根之和与两根之积，由若可得实数的值．【小问1详解】∵点在抛物线上，∴，即，∴抛物线的方程为；【小问2详解】设，，，，联立，得，△，得，，，又，则，，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，综上：的值为．22.已知双曲线，，分别为其左，右焦点，双曲线C上存在点P，满足，且的面积为．（1）求双曲线C的离心率；第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

18（2）设A为双曲线C的左顶点，Q为第一象限内双曲线C上的任意一点，问是否存在正实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）不妨设点P在双曲线的右支上，设，由双曲线的定义可得到，由余弦定理可得，结合三角形的面积公式即可求出，从而可求出双曲线C的离心率；（2）先从特殊情况时，寻找出的值；再求满足条件的轨迹，与双曲线完全一致即可.【小问1详解】不妨设点P在双曲线的右支上，设，则，在中，由余弦定理，得，即，所以，因为的面积为，所以.所以，所以.【小问2详解】由（1）知，.当时，，，所以，此时，即；下面求满足条件的轨迹，设为轨迹上任意一点，则，因为，因为，所以，第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

19化简，得，即，与双曲线完全一致，所以存在，使成立.第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司

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