初等变换在线性代数中的应用

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1、陕西理工学院毕业论文题目初等变换在线性代数中的应用学生姓名学号所在学院数学与计算机科学学院专业班级数应1102指导教师完成地点陕西理工学院2015年5月30日第10页共10页陕西理工学院毕业论文初等变换在线性代数中的应用（陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业1102班，陕西汉中，72300x）指导老师：摘要：本文介绍它在求矩阵的逆，求解线性方程组，矩阵方程，求解向量组的秩和极大线性无关组，将二次型化为标准二次型中的应用。关键词：线性代数初等变换逆矩阵二次型1引言线性代数是高等高职院校理工类和经管类的重要

2、的一门基础课，而且矩阵理论是线性代数的主要内容.矩阵的初等变换在线性代数中有着非常重要的作用.初等变换包括：线性方程组的初等变换、行列式的初等变换、矩阵的初等变换.线性方程组可以写成系数矩阵和未知数矩阵的乘积.所以线性方程组的初等变换也可以用矩阵的初等变换来表示.本文归纳了前人对初等变换在线性代数中的应用进行了讨论，初等变换在线性代数中是一个核心的概念，在线性代数有许多知识需要运用初等变换的方法.所以说矩阵的初等变换是初等变换的主要内容.在线性代数中，矩阵的初等变换是指如下定义：（1）交换矩阵的两行（列）

3、；（2）用一个非零的数K乘矩阵的某行（列）；（3）矩阵的某行（列）乘K倍加到另一行（列）；矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.初等变换在线性代数中主要具有以下作用：求矩阵的逆，求解线性方程组，求解矩阵方程，求解向量组的秩和极大线性无关组，将二次型化为标准型等.下面我们就根据这几个方面谈谈初等变换在线性代数中的应用.2初等变换的应用1.1求矩阵的逆定义1是数域中上的阶方阵，如果在上存在阶方阵，使得,则称为的可逆矩阵，为的可逆矩阵.关于这个定义要注意两点：1.1，满足定义的矩阵是唯一确定的（如果

4、存在的话）。1.2，如果矩阵满足,那么，一定也满足.(由于矩阵的乘法一般是没有乘法交换律的)1.1．1矩阵可逆的充要条件（1）必须是满秩第10页共10页陕西理工学院毕业论文（1）可经过行，列初等变换化为单位矩阵（2）的特征值的乘积不为0（3）的行（列）向量组线性无关.1.1.2初等变换求逆由于求矩阵的逆需具备矩阵是方阵。若可逆矩阵是方阵进行若干次初等变换可以转换为标准型，简单地说利用初等变换求逆一般的方法就是[][]或例2设矩阵=,求.解利用初等行变换。故=1.2求解线性方程组：给一个线性方程组很难看出它

5、是否有解，有几个解，一般我们解决线性方程组问题时有两种方法：消元法和初等变换法.所谓消元法和我们初中所学的解决一元二次方程的方法一样，只不过将其扩展了.而初等变换法是将矩阵的理论运用到解方程组的问题上，方便简单.线性方程组的解一般有三种情况：有唯一解，有无穷解，无解.给一个线性方程组（2）第10页共10页陕西理工学院毕业论文把系数按原来的位置写成一个矩阵A=,称为（2）的系数矩阵.若把常数项也添成一列，则得到一个（+1）矩阵=,称为（2）的增广矩阵.显然如果知道一个线性方程组的全部系数矩阵和常数项，那么就

6、可以确定这个线性方程组,而判断线性方程组解得情况就是看系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等.若有一个矩阵每一行元素的第一个是非零元素，那么我们就说这个非零元素就是该矩阵的首元，若的前行为非零，其余行全为零，且该首元所在列的其他元素都为0，那么我们就说该矩阵的秩就是.如果在阶梯型矩阵中每个首元都等于1，并且每个首元所在的列其他元素都为零，则称是一个单位阶梯型矩阵.线性方程组可以经过初等变换化为同解的方程组，而对线性方程组作初等变换就相当于对它的增广矩阵作相应的初等变换.由于每个矩阵都可以通过初等变换化为阶梯型

7、矩阵，所以每个线性方程组都可以利用初等变换化为同解的阶梯型方程组.因为线性方程组分为非齐次线性方程组和齐次线性方程组：非齐次线性方程组解的情况(1)线性方程组有解的充分必要条件：线性方程组有解的充分必要条件是]。且当时有唯一解；当时有无穷多解.（2）利用增广矩阵的初等变换求解线性方程组的三种情形：增广矩阵[]经过一系列的初等行变换，最后将增广矩阵转化成阶梯型矩阵，观察增广矩阵的非零行个数是否等于系数矩阵的非零行个数。若（）则方程组有唯一解；若（）,方程组有无穷多解。若出现一行最后一个元素不为零而其他元素都

8、为零时（），方程组无解.齐次线性方程组第10页共10页陕西理工学院毕业论文齐次线性方程组解的情况（1）齐次线性方程组有非零解得充分必要条件是.（2）齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数时（）必有非零解.（3）齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知量的个数时（）只有零解.注若线性方程组有无穷多解，则通解的表达式是不唯一的，因为自由未知量的选取可以不同（但自由未知量的个数是相同的）.当时，齐次线性方程组有个线性无关的解向量，个无关解