吉林省长春北师大附属学校2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（原卷版）

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北师大长春附属学校2021—2022学年度高二年级下学期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，每道题4个选项中只有一个符合题目要求.1.设，向量，且，则（）A.B.1C.D.22.若，，，则事件与的关系是（）A.互斥B.相互独立C.互对立D.无法判断3.盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”对立的事件是（）A.2个小球都是黑色B.2个小球恰有1个是红色C.2个小球都不是红色D.2个小球至多有1个是红色4.若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，5.已知平面的一个法向量为，，且，则下列结论正确的是（）A.B.，垂足为AC.，但不垂直D.6.假设，，且与相互独立，则（）A.0.7B.0.9C.0.2D.0.57已知，若三向量共面，则实数等于（）A4B.3C.2D.18.在四面体中，点在上，且，中点，则等于（）A.B.C.D.9.设正方体的棱长为a，与相交于点O，则（）第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司

1A.B.C.D.10.在正四面体的棱中任取两条棱，则这两条棱所在的直线互相垂直的概率是（）A.B.C.D.11.已知，，，（），那么点到平面的距离为（）A.B.C.D.12.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（）A.EF平面B.C.EF与AD1所成角为60°D.EF与平面所成角的正弦值为二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.13.已知，，，则=________．14.已知甲､乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲､乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.15.已知空间三点，，，则以为邻边的平行四边形面积为________．16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BCAD，PA⊥平面ABCD且AB＝BC＝PA＝1，AD=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为________．第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司

2三、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.袋子中放有5个除颜色外完全相同的小球，其中有标记为的2个红球，标记为的2个白球和1个标记为的黑球，从中不放回地依次摸出2个球，观察球的颜色.（1）写出试验的样本空间并计算；（2）设事件为“一黑一白”，求.18.已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点.（1）求直线的一个方向向量；（2）证明：平面19.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成，，，…，六组，并得到如图所示的频数表．质量指标值频数10151530255规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司

3（1）若从该企业生产的口罩中随机抽取1只，估计是一等品的概率；（2）利用分层随机抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，样本量按比例分配，并从中依次抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中含有二等品的概率．20.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为1，且，是的中点.（1）求两点间的距离；（2）求与所成角.21.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，侧面底面，点满足，.（1）当取何值时，;（2）在（1）的条件下，求平面与平面夹角的正弦值.22.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.驾驶证考试，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.假设每个人科目二5次考试是否通过互不影响，且夫妻二人每次考试是否通过也互不影响.（结果保留两位小数）（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司