《直线与平面垂直(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

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第六章立体几何初步6.5.1直线与平面垂直(2)

11.理解和掌握直线与平面垂直的判定定理并能简单应用．2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，进一步培养学生的空间观念.3.通过对线面垂直的判定定理的证明，培养学生逻辑推理素养.直线与平面垂直的判定定理.直线与平面垂直的判定定理的应用.

2如何判定一条直线与一个平面平行？1、定义法：线面无交点；2、线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.类似的，应该如何判定一条直线与一个平面垂直呢？1、定义法：直线与平面内所有直线垂直不方便！al线线平行线面平行2、“（有限组）线线垂直”→“线面垂直”？不方便！

3如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？长方体中几乎包含了线面之间的各种关系，可以借助长方体来探究如图，长方体中，直线B′C⊥CD，直线B′C与底面ABCD垂直吗？ADCBA′D′C′B′不垂直不能

4如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？平面内的两条直线可能平行，也可能相交，分类讨论ADCBA′D′C′B′如图，长方体中，直线B′C⊥AB，B′C⊥CD，直线B′C与底面ABCD垂直吗？不垂直当两条直线平行时

5平面内的两条直线可能平行，也可能相交，分类讨论ADCBA′D′C′B′如图，长方体中，直线C′C⊥BC，C′C⊥CD，直线C′C与底面ABCD垂直吗？垂直当两条直线相交时如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？

6结合问题1和问题2，大家能猜想出如何判定直线与平面垂直吗？如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.证明过程较为复杂，这里不做要求！

7如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.若则.符号语言直线与平面垂直的判定定理①②③缺一不可“线面垂直”“线线垂直”如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？如果一条直线和一个平面内的任意两条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？不垂直，无数条直线并不能保证有两条相交直线，判定定理不成立垂直，任意两条直线肯定能保证有两条相交直线，判定定理成立.

81、若三条共点的直线两两垂直，那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是什么关系？acbP不妨设直线a，b，c两两垂直，相交于点P，直线b，c确定平面.∵∴.垂直线面垂直的判定定理

92、过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直？假设过平面外的一点可以作两条直线与已知平面垂直，则根据线面垂直的性质定理，这两条直线平行，不可能共一点，故假设错误.故答案为有且只有一条.

10证明：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.在平面内作两条相交直线，证明l2与这两条直线垂直即可证明：要证明l2⊥，只需证明l2与平面内两条相交直线垂直.在平面内作两条相交直线a，b.∵l1⊥，∴l1⊥a，l1⊥b.又∵l1∥l2，∴l2⊥a，l2⊥b.又∵，a，b是两条相交直线，∴l2⊥.已知：如图，l1∥l2，l1⊥.求证：l2⊥.ab

11下列说法正确的有.①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若直线与平面不垂直，则平面内一定没有直线与垂直.解：在空间中，与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确；由线面垂直的定义可知，②正确；这两条直线也可能平行，并不能保证相交，线面垂直的判定定理不成立，③不正确；如图，与不垂直，但，故④不正确.PAOal②

12如图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点，求证：直线SD⊥平面ABC.SABCD连接BD，由SA=SC可得SD⊥AC，再由△SAD≌△SBD，可知SD⊥BD，结论可证解：连接BD，∵SA=SC，点D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，∵点D为斜边AC的中点，∴BD=AD.在△SAD与△SBD中∴△SAD≌△SBD（SSS），∴∠SDB=∠SDA=90°，∴SD⊥BD，又SD⊥AC，，BD、AC都在平面ABC中，∴SD⊥平面ABC.

13应用判定定理证明线面垂直的步骤找在平面内找到或作出两条与已知直线垂直的直线证明已知直线垂直于找到(作出)的直线由判定定理得出结论证结论

14如图，长杆l与地面相交于点O，在杆子上距地面2m的点P处挂一根长2.5m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A或点B(A，B，O三点不在同一条直线上.)如果A，B两点和点O的距离都是1.5m，那么长杆l和地面是否垂直？为什么？直线l∥平面解：在△POA和△POB中，∵PO=2m，AO=BO=1.5m，PA=PB=2.5m，∴PO2+AO2=22+1.52=2.52=PA2，PO2+BO2=22+1.52=2.52=PB2.根据勾股定理的逆定理得PO⊥AO，PO⊥BO.又A，B，O三点不共线，∴PO⊥平面，即长杆与地面垂直.PO⊥AO，PO⊥BO勾股定理的逆定理

15已知平面，直线l，m且m∥，则“l⊥m”是“l⊥”的条件.分别讨论必要性和充分性，可画图帮助理解解：①讨论必要性.当l⊥时，∵m∥，∴l⊥m.必要性成立.ml②讨论充分性.当l⊥m时，∵m∥，则l与平行相交都有可能.充分性不成立.必要不充分ml

16如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中.求证：AC⊥平面BDD′B′.解：∵BB′⊥平面ABCD，∴BB′⊥AC.∵底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又,∴AC⊥平面BDD′B′.ABCDA′B′C′D′AC⊥平面BDD′B′AC⊥BD，AC⊥BB′BB′⊥平面ABCD线面垂直的定义线面垂直的判定定理

17如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系中不正确的是（）.A.PA⊥BCB.BC⊥平面PACC.AC⊥PBD.PC⊥BCA选项，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC；B选项，∵AB是圆的直径，∴AC⊥BC又，∴BC⊥平面PAC；C选项，无法证明，错误；D选项，∵BC⊥平面PAC，∴PC⊥BC.C

18已知：在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.易知△VAC、△BAC是等腰三角形，取AC中点D，连接VD、BD，由三线合一的性质可知VD⊥AC，BD⊥AC，结论可证.解：取AC中点D，连接VD、BD，∵VA=VC，∴VD⊥AC.同理可得BD⊥AC.又∴AC⊥平面VBD，∴VB⊥AC.VBCAD

19课堂小结线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.若则.符号语言①②③缺一不可“线面垂直”“线线垂直”

20教材第235页习题6-5A组第5题．

21谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！

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