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第六章立体几何初步刻画空间点、线、面位置关系的公理(2)
11.认识基本事实4和定理，并能做简单的应用．2.认识异面直线的概念，识别异面直线，并能够求简单的异面直线夹角.3.提升直观想象和数学抽象素养．认识基本事实4、定理、异面直线的概念及夹角通过平移，体会将空间问题转化为平面问题的思想，求异面直线的夹角
2上节课，我们学习了哪些刻画空间点、线、面的公理及推论？基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
3我们知道在平面中，平行线具有传递性，在空间中，平行线是否仍具有传递性？如图，已知AB∥CD，CD∥C′D′，那么AB∥C′D′吗？A′D′B′C′ABCD平行基本事实4：平行于同一直线的两条直线平行.空间平行线的传递性符号语言：a∥b，b∥ca∥c
4两条没有公共点的直线一定平行吗？不一定不同在任何一个平面内（不共面）的两条直线称为异面直线abcA′D′B′C′ABCD长方体中与AD异面的直线有几条？4条，BB′、CC′、A′B′、C′D′
5相交直线平行直线共面直线异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点在同一平面内，没有公共点在同一平面内，有且只有一个公共点若空间中有直线a、b、c，有，那么成立吗？acb平行异面abc垂直没有传递性！abc相交空间中直线与直线的位置关系：
6如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角的大小有什么关系？通过平移，空间中两角关系可转化为平面中两角关系①两组边方向相同②两组边方向相反③一组方向相同，另一组相反相等相等互补相等或互补定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为BC的中点，判断直线A′C′、B′C′、C′E、C′C与直线AB的位置关系.异面A′D′B′C′ABCDE仅用“异面”不足以描述异面直线的相对位置“异面直线所成的角”ab平移（各自与AB的相对位置却不同）如何确定？
8ab如图，已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b所成的角（或夹角）.a′b′O若两条异面直线a，b所成的角为直角，则称这两条直线互相垂直，记作：a⊥b.平移使得空间问题转化为平面几何问题相交垂直异面垂直(0°，90°]异面直线夹角的范围？垂直
9四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.如图，在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.ABDCHEFG连接BD，构造中位线，凑“一组对边平行且相等”的条件解：如图，连接BD，∵FG是△CBD的中位线，∴FG∥BD，FGBD又∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，EHBD∴FG∥EH，FGEH∴四边形EFGH是平行四边形
10如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a.（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线BC′是异面直线？（2）求异面直线AA′与BC所成的角；（3）求异面直线BC′与AC所成的角.AA′BDCB′D′C′根据定义判断异面直线；通过平行求异面直线的夹角解：（1）A′A，A′B′，A′D′，DA，DC，DD′（2）∵BC∥AD，AD⊥AA′∴AA′与BC所成的角为90°（3）连接A′B,A′C′，在正方体ABCD-A′B′C′D′中易得AC∥A′C′∴∠BC′A′即所求角∵A′B=A′C′=BC′∴△BA′C′是等边三角形∴BC′与AC所成的角为60°
11求两条异面直线所成的角的一般步骤：（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角．（2）证明：证明作出的角就是要求的角．（3）计算：求角度，常放在三角形内求解．（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的．
12如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（）A.GH和MN平行，GH和EF相交B.GH和MN平行，MN和EF相交C.GH和MN相交，GH和EF异面D.GH和EF异面，MN和EF异面ABCDA′B′C′D′MNGHEFB∵GH∥A′B，A′B∥D′C，∴GH∥D′C又∵MN∥D′C，∴GH∥MN由异面直线定义可知，GH与EF异面延长EF，MN，易证二者相交故选：B
13如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′=a，E，F分别是BC，DC的中点，求直线AD′与EF的夹角.ABCDA′B′C′D′NEF通过平移将空间问题转化为平面几何问题解：如图，连接BC′，BD在正方体ABCD-A′B′C′D′中，易得AD′∥BC′∵E，F分别是BC，DC的中点∴EF∥BD连接C′D易得△BCD、△CDC′、△BCC′为全等的等腰直角三角形∴BD=BC′=C′D∴△BC′D是等边三角形∴∠DBC′=60°∴直线AD′与EF的夹角为60°.
14如图，在空间四边形ABCD中，已知AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF=，求异面直线AD，BC所成角的大小.取BD中点G，连接EG、FG，构造中位线和三角形，则∠EGF即所求角或所求角的补角.解：取BD中点G，连接EG、FG∵E，F分别是AB，CD的中点∴EGAD，FGBC，EG∥AD，FG∥BC∴∠EGF即所求角或所求角的补角.由余弦定理得∴∠EGF=120°∴异面直线AD，BC所成角的大小为.ABDCEFG
15课堂小结1、基本事实4：相交直线平行直线共面直线异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点在同一平面内，没有公共点在同一平面内，有且只有一个公共点3、定理：平行于同一直线的两条直线平行.2、空间中直线与直线的位置关系：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4、异面直线所成的角通过平移把空间问题转化为平面几何问题.
16教材第214页习题6-3A组第3题，215页B组第1题．
17谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！
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