7.2空间点、线、面之间的位置关系

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1、2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：7.2空间点、线、面之间的位置关系一、空间点、直线、平面之间的位置关系（一）异面直线的判定※相关链接※证明两直线为异面直线的方法：1、定义法（不易操作）2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。3、客观题中，也可用下述结论：过平面处一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：※例题解析※〖例〗如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：（

2、1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由（2）思路解析：（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。解答：（1）不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN//A1C1，又∵A1ACC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。（2）是异面直线。证明如下：∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与

3、CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线（二）平面的基本性质及平行公理的应用※相关链接※1、平面的基本性质的应用（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；（3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。3、公理2的推论：（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；（2）经过两条相交直线，有且只有

4、一个平面；（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。4、点共线、线共点、点线共面（1）点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。（2）线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。（3）证明点线共面的常用方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。※例题解析※〖例〗如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD

5、=∠FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点。（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？思路解析：（1）G、H为中点GHAD，又BCADGHBC；（2）方法一：证明D点在EF、GJ确定的平面内。方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，，可证M与重合，从而FE与DC相交。解答：（1）（2）方法一：方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，，∵BEAF，∴B为MA中点。∵BCAD，∴B为中点，∴M与重合，即FE与DC交于点M（），∴C、D、F、E四点共面。（三）异面直线所成的角〖例〗空间四边形AB

6、CD中，AB=CD且AB与CD所成的角为300，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。思路解析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。解答：取AC的中点G，连接EG、FG，则EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。∵ＡＢ与CD所成的角为300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形，

7、当∠ＥＧＦ=300时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500时，∠GEF=150。故EF与AB所成的角为150或750。注：（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；（2）求异面直线所成角的步骤：①作：通过作平行线，得到相交直线；②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③求：通过解三角形，求出该角。二、直线、平面平行的判定及其性质（一）直线与平面平行的判定※相关链接※判定直线与平面平行，主要有三种方法：（1）利用定义（常用反

8、证法）；（2）利用判定定