广东省东莞市2020-2021学年高二下学期期末考试数学题Word版含答案

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东莞市2020-2021学年度高二第二学期教学质量检查数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题給出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知函数，则（）A.B.C.D.2.设随机变量x服从正态分布，若，则（）A.1B.2C.3D.43.A，B，C，D，E等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）.已知学生A和B都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有（）A.18种B.36种C.48种D.54种4.某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率分别为和，则恰有一套机制失效的概率为（）A.B.C.D.5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，毎一卦由六爻组成.有一种“金钱起卦法”，其做法为：取两枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下，再撒钱币到桌面或平盘等硬物上，此为一爻，重复六次，得到六爻.两枚钱币全部正面向上称为变爻，若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为（）A.B.C.D.6.展开式中的常数项为（）A.-40B.-20C.20D.407.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时该同位素的含量.已知时，该同位素含量的时变化率为，则（）A.24贝克B.贝克C.1贝克D.贝克

18.已知函数，，若存在实数，使得，则的最大值为（）A.B.1C.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑9.下列结论正确的是（）A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1B.样本的回归直线至少经过其中一个样本点C.在回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.在线性回归模型中，用相关指数刻画拟合效果，的值越小，模型的拟合效果越好10.已知复数z满足，则的可能取值有（）A.0B.1C.2D.311.图1是函数的导函数的图象，则下列结论正确的是（）A.B.是的极小值点C.是的极小值点D.是的极大值点12.将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用表示空盒子的个数，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13.在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率为_________________.14.若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数______________.15.已知图2是“杨辉三角”，图3是“莱布尼茨三角”，两个“三角”之间具有关联性.已知“杨辉三角”中第n行第个数为，则“莱布尼茨三角”中第n行第个数为______________

2；已知“杨辉三角”中第n行和第行中的数满足关系式，类比写出“莱布尼茨三角”中第n行和第行中的数满足的关系式________________.16.若与的图象有且仅有两个公共点，则实数a的取值范围为_____________.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17.（本小题满分10分）已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意的都有成立，求c的取值范围.18.（本小题满分12分）已知复数，.（1）当，，，时，求，，；（2）根据（1）的计算结果猜想与的关系，并证明该关系的一般性；（3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明）.19.（本小题满分12分）为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图4所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.

3（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期；（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？有出游意愿无出游意愿合计青年中年合计附：0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828，其中.20.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且在上有且仅有1个极值点，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段.某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果如下：

4季度序号x12345使用次数y（万次）11.21.51.82.2（1）（i）根据上表，画岀散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数y与季度序号x之间的关系，如果能，求出y关于x的线性回归方程；如果不能，请说明理由.（ii）如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由.（2）为进一步开拓市场做准备，公司目前接受报价的有两款车型：A型单车每辆500元，第一年收入500元，以后逐年递减80元；B型单车每辆300元，第一年收入500元，以后逐年递减100元.经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如下表：车型\使用寿命1年2年3年4年总计A10203040100B10353025100不考虑除釆购成本以外的其它成本，假设毎辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：，.参考公式：，.22.（本小题满分12分）已知函数，.（1）证明恒成立；

5（2）用表示m，n中的最大值.已知函数，记函数，若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.

6东莞市2020-2021学年度第二学期教学质量检查高二数学参考答案一、单项选择题题号12345678答案DCBCADBB二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ACBCCDAD三、填空题（15题第一空2分，第二空3分）13.14.115.；16.四、解答题17.解：（1）因为，所以，.…………………………1分令，解得或，当，即或；当，即，.………………………………3分故的单调递增区间为和，单调递减区间为，.………………4分所以，时，有极大值，.………………………………………………5分当时，有极小值.……………………………………………………6分（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，.…………………………7分又，，.…………………………………………………………………………8分所以时，，.……………………………………………………………………9分

7因为对任意的都有成立，所以.………………………………………………10分18.解（1）由题知，，.……………………………………2分，.…………………………………………………………3分所以.………………………………………………………………4分（2）猜想，.………………………………………………………………5分证明：因为，，.………………………………………………6分所以，.…………………………7分因为，.……………………………………8分所以.…………………………9分所以成立.…………………………………………………………………………10分（3），或，或.说明：只要写出复数模运算相关的一个正确结论即可给2分.…………………………………………12分19.解：（1）由题知，样本中“00后”员工人数人，.…………………………1分由图4知，其中8人有出游意愿，2人无出游意愿，从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数X的所有可能取值为0，1，2，.……………………2分，，，随机变量X的分布列为X012P.………………………………………………………………………………………………………………5分随机变量X的期望.………………………………………………6分（2）由题知，样本中中年员工占比为，人数人，青年员工人数人，.………………………………………………………………………………7分

8结合图3得到如下列联表，有出游意愿无出游意愿合计青年301040中年402060合计7030100.…………………………………………………………………………………………………………9分假设“有岀游意愿与年龄段无关”，则，.……………………………………………11分∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关.………………12分20.解：（1）由题得，函数定义域为，，.……………………………………1分①当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；.………………………………………………………………3分②当时，由，得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，.……………………………………5分综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.………………………………6分（2）由题得，令，得，.……………………7分因为在上有且仅有1个极值点，所以与在的图象有且仅有一个交点，.…………………………8分①当时，，此时与没有交点，.……………………9分

9②当时，由前面的分析得，两个函数图象在上有且仅有一个交点，则，即，.……………………………………………………11分综上所述，a的取值范围为.…………………………………………………………12分21.解：（1）（i）散点图如图所示：根据散点图，可以用线性回归模型拟合使用次数y与次季度序号x之间的关系，设回归方程为，则，由，，得，所以y关于x的线性回归方程为.（ii）开放型答案，根据学生理由叙述情况，酌情给分.参考答案一：下一季度可以向市场增加投放共享单车，理由：①由（i）中散点图判断可预估下季度市场对本公司单车使用次数会持续上涨；②由（i）中使用次数y关于季度序号x的线性回归方程可知，下季度市场对本公司单车下一季度的使用次数会持续上涨0.3万次左右，因此需要向市场增加投放共享单车.说明：答岀一种理由即可给满1分，其他理由酌情给分.………………………………………………5分参考答案二：下一季度可以先不向市场增加投放共享单车，理由：

10题中只给岀了使用次数这一方面的数据，是否增加投放共享单车还要考察单车的使用率高低，单车的区域分布是否合理，单车使用后的回收与分配是否及时等等因素，这些都会影响投放单车的决策，因此要进行进一步调查过后才能决定.说明：答岀一种理由即可给满1分，其他理由酌情给分.……………………………………………………5分（2）设1辆A型单车产生的毛利润为随机变量，则的所有可能取值为500，920，1260，1520，.…….……………………………………………………………………………………6分用频率估计概率，则1辆A型单车产生毛利润的分布列为毛利润50092012601520概率.………………………………………………………………………………………………………………7分则1辆A型单车毛利润的数学期望，故1辆A型单车纯利润的数字期望为，.………………………………………………………………8分设1辆B型单车产生的毛利润为随机变量，则的所有可能取值为500，900，1200，1400，.……9分用频率估计概率，则1辆B型单车产生毛利润的分布列为毛利润50090012001400概率.………………………………………………………………………………………………………………10分则1辆B型单车毛利润的数学期望，故1辆B型单车纯利润的数学期望为，.…………………………………………………………11分因为1辆B型单车纯利润的数学期望大于1辆A型单车的，所以选择B型单车.……………………分22.解：（1）由题得的定义域为，则在上恒成立等价于在上恒成立，.……1分记，则，.……………………………………………………2分

11当时，；时，，故在上单调递减，上单调递增，.……………………………………………………3分所以，即恒成立.………………………………………………………………4分（2）由题得，①当时，，此时无零点.……………………………………………………5分②当时，，a.当，即时，是的一个零点；b.当，即时，不是的一个零点；.…………………………6分③当时，恒成立，因此只需考虑在上的零点情况.由a.当时，，在上单调递增，且，当时，，则在上无零点，故在上无零点；当时，，则在上无零点，故在上有1个零点；当时，由，，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；所以，.…………………………………………………………………………9分b.当时，由得，由时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增；

12由，，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；所以，.…………………………………………………………………………………………11分综上所述，时，在上恰有两个零点.………………………………………………12分