广东省揭阳市2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含答案

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掲阳市2020－2021学年度高中二年级期末教学质量测试数学试题本试卷共5页，22题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市县/区、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上．将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘點处”．2.作答选择题时，选出毎小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案．答案不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.2.设l是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3.复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A.B.C.D.4.2020年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍．某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对2000头生猪的体重（单位：kg）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

1A.这2000头生猪体重的众数为160kgB.这2000头生猪体重的中位数落在区间[160，180）内C.这2000头生猪中体重不低于200kg的有40头D.这2000头生猪体重的平均数为152.8kg5.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线斜率分别为，若，则该双曲线的离心率为（）A.5B.C.D.6.设变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A.3B.C.1D.87.已知函数（a＞0，且a≠1）过定点P，若点P在直线2mx＋ny－6＝0（mn＞0）上，则的最小值为（）A.2B.C.8D.8.已知y＝f（x）为R上的奇函数，y＝f（x＋1）为偶函数，若当时，，则f（2023）等于（）A.－1B.1C.0D.2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列结论正确的是（）

2A.g（x）的图象关于直线对称B.g（x）的图象关于点对称C.g（x）在区间上单调递增D.g（x）在区间上有两个零点10.已知，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.11.下列命题中，真命题的是（）A.B.已知，则“”是“”的充要条件C.命题P：“”的否命题为：“”D.已知函数，且关于x的方程f（x）＝－x＋a恰有两个互异的实数解的充要条件是a＜112.如图点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.若点M为线段的中点，则CM⊥B.不存在点M到直线AD和直线的距离相等C.若正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为D.在线段上不存在点M，使异面直线与CD所成的角是30°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a，b都为单位向量，，则向量a，b的夹角为．14.

3明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”，右图是来氏太极图，其大圆半径为5，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为．15.已知函数，给出三个条件：①；②；③．从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和＝．16.已知点P是地物线上的一个动点，则点P到直线和的距离之和的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知函数．（1）将f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象，求函数g（x）的解析式和最小正周期；（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）＝1，a＝，b＝2，求△ABC的面积．18.（12分）已知等比数列各项都是正数，且；数列的前n项和满足．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．19.（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为梯形，二面角P－AD－C为直二面角，且AB∥DC，AB⊥AD，AD＝AB＝DC，F为PC的中点．（1）求证：BF∥平面PAD；（2）求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值．

420.（12分）为了研究历年销售额的变化趋势，一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y（单位：十亿元），绘制如表：年份2010201120122013201420152016201720182019编号x12345678910销售额y0.98.722.4416594132.5172.5218268根据以上数据绘制散点图，如图所示：（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为销售额y关于x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及如表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测2021年天猫双十一销售额；（注：数据保留小数点后一位）（3）把销售额不超过150（十亿元）的年份叫“平销年"，把销售额低于30（十亿元）的年份叫“试销年”，从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个，表示取到“试销年”的个数，求的分布列和数学期望．参考数据：参考公式：对于一组数据，其回归直线

5的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．21.（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分別为，离心率为，过左焦点作直线交椭圆E于A，B两点，的周长为8．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线：y＝k＋m（km＜0）与圆O：相切，且与椭圆E交于M，N两点，是否存在最小值？若存在，求出的最小值和此时直线的方程．22.（12分）已知函数．（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为10，求此切线方程；（2）当a＜0时，证明：．揭阳市2020－2021学年度高中二年级期末教学质量测试参考答案及评分标准数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1—5ACBDD6－8DBA二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2

6分，有选错的得0分．9.AC10.BD11.ABC12.ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.14.15.16.3四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）解：（1）．………………2分函数g（x）的最小正周期是．………………3分（2），又角A为锐角，．……………5分在△ABC中，．∴由余弦定理得：．即，解得c＝3或c＝－1（舍去）．………………8分．∴△ABC的面积为．………………10分18.（12分）解：（1）设等比数列的公比为q（q＞0）．由，则，解得：g＝3或q＝－4.．………………3分∵数列的前n项和满足．①当n＝1时，．当n≥2时，．②①－②得：，又适合．……6分………………7分

7（2）由（1）得：．………………8分．…………9分．…………11分．………………12分19.（12分）（1）证明：如图所示，取PD的中点G，连接GF，AG．∵F为PC的中点，．又且CF＝AB．∴四边形ABFG为平行四边形．∴BF∥AG．又∵AG平面PAD，BF平面PAD，∴BF∥平面PAD．………………4分（2）解：取AD的中点O，连接OP，由△PAD为正三角形，∴PO⊥AD．取BC的中点E，连接OE，∵四边形ABCD为梯形，∴OE∥AB．∴OE⊥AD．∴∠POE为二面角P－AD－C的平面角．………………6分又二面角P－AD－C为直二面角，∴∠POE＝90°．PO⊥OE．………………7分以O为坐标原点，OA，OE，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：

8设AB＝2，则，A（1，0，0），B（1，2，0），C（－1，4，0），故，．………………8分设平面PAB的一个法向量为，则则可取．………………9分设直线PC与平面PAB所成的角为．．………………10分．故直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为．……………………12分20.（12分）解：（1）由散点图可得，适宜作为销售额y关于x的回归方程类型．……1分（2）令，则，根据题中数据可得：，，，所以，因此y关于x的回归方程为．………………5分当x＝12时，（十亿元）．所以2021年天猫双十一销售额预计为386.8（十亿元）．………………6分（3）由题意，2010年到2019年这十年的“平销年”的个数为7个，其中“试销年”为3个，因此从2010年到2019年这十年的“平销年”中任取3个，取到“试销年”的个数能取的值为0，1，2，3.…………7分则，．

9因此的分布列如下：0123P………………11分所以其数学期望为．…………12分21.（12分）解：（1）由的周长为8，由椭圆的定义可得4a＝8，即a＝2．又椭圆的离心率为，得，故．∴椭圆E的方程为．………………3分（2）由直线：y＝kx＋m（km＜0）与圆O：相切，则．①………………4分设由于点M在椭圆E上，则，可得．又．同理．………………6分联立，得．显然成立，则．…………7分又km＜0，由①得：，………………8分

10令，则，当且仅当“”即“t＝3”时等号成立．………………9分存在最小值，且．的最小值为2………………10分由，又km＜0，解得或．∴所求直线的方程为或，即或．…………12分22.（12分）解：（1），．………………1分∵f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为10，，即，解得：a＝2．………………2，切点坐标为（1，8）．…………3分∴所求切线方程为：y－8＝10（x－1），即10x－y－2＝0.………………4分（2），………………5分∵a＜0，当时，；当时，；当时，，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．

11∴当时，f（x）取得极大值，也是最大值，且．………………7分，………………8分令．………………9分解，得t＝1；解，得0＜t＜1；解，得t＞1∴h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）单调递减．………………10分∴当t＝1时，h（t）取得极大值，也是最大值，且．，即．∴当a＜0时，．……………………12分（注：其他解法，由评卷老师酌情给分）