《导数的计算》示范公开课教案【高中数学北师大】

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第二章导数及其应用2.3导数的计算◆教学目标1．通过计算简单函数的导数，领会函数求导的一般步骤，感受求极限的基本思想.2．理解导函数的意义，会根据导数公式求导数.◆教学目标教学重点：进一步理解导数的概念，利用导数公式表求函数的导数．教学难点：对导函数概念的理解．◆教学过程◆一、新课导入温故知新：同学们，我们之前学习了导数的基本概念，一起来回顾一下.答案：设函数y=fx，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从fx0变到fx1，函数值y关于x的平均变化率为∆y∆x=fx1-fx0x1-x0=fx0+∆x-fx0∆x当x1趋于x0，即∆x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=fx在点x0的瞬时变化率，称为函数y=fx在点x0处的导数，通常用符号f'x0表示，记作f'(x0)=limx1→x0fx1-fx0x1-x0=lim∆x→0fx0+∆x-fx0∆x那么我们如何计算函数y=fx在x=x0处的导数呢？有哪些步骤？这节课我们一起来深入探究.设计意图：由本节课的关键在于学生对导数概念的进一步理解，感知求极限的思想，并且掌握求导数的基本步骤，因此要先回忆之前所学习的导数的基本概念，然后再引出计算导数的方法．二、新知探究

1问题1：请大家小组讨论一下，我们计算函数y=fx在x=x0处的导数需要哪几个步骤呢？请大家上台展示自己的讨论成果.答案：算函数y=fx在x=x0处的导数一般有以下3个步骤：（1）通过自变量在x=x0处的改变量∆x，确定函数值在x0处的改变量∆y=fx0+∆x-fx0（2）确定函数y=fx从x0到x0+∆x处的平均变化率∆y∆x=fx0+∆x-fx0∆x（3）当∆x趋于0时，得到导数f'(x0)=lim∆x→0fx0+∆x-fx0∆x当然，这样说有点过于空泛，我们用两个具体的例子来说明每个步骤的做法.问题2：求函数y=fx=2x+x在下列各点处的导数：（1）x=1（2）x=x0答案：（1）∆y=f1+∆x-f1=21+∆x+1+∆x-21+1=-2∆x1+∆x+∆x∆y∆x=-21+∆x+1当∆x趋于0时，得到导数f'(1)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0-21+∆x+1=-1（2）∆y=fx0+∆x-fx0=2x0+∆x+x0+∆x-2x0+x0=-2∆xx02+x0∆x+∆x∆y∆x=-2x02+x0∆x+1

2当∆x趋于0时，得到导数f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0-2x02+x0∆x+1=-2x02+1像问题2中的函数fx=2x+x对于定义域中的每一个自变量的取值x0，都有唯一一个导数值f'(x0)=-2x02+1与之对应，所以f'(x)=-2x2+1是x的函数.一般地，如果一个函数y=fx在区间(a,b)的每一点x处都有导数f'(x)=lim∆x→0fx+∆x-fx∆x那么f'(x)是关于x的函数，称f'(x)为y=fx的导函数，也简称为导数.如问题2中函数fx=2x+x的导数为f'(x)=-2x2+1显然，前面求fx=2x+x在各点的导数就是导数f'(x)=-2x2+1在各点处的函数值为了解决可能遇到的导数计算问题，下面给出了一个简单的导数公式表，列出了学过的基本初等函数的导数，在后面的导数计算中会用到，要注意及时记忆.函数导数函数导数y=c（c是常数）y'=0y=sinxy'=cosxy=xa（a是常数）y'=axa-1y=cosxy'=-sinxy=ax(a>0,a≠1)y'=axlna特别地ex'=exy=tanxy=1cos2xy=logax(a>0,a≠1)y'=1xlna特别地lnx'=1x设计意图：本节课前半部分的重心是求导数的步骤以及使用方法，一定要详细地给学生展示求导的过程，让他们留下深刻的印象，后面的导数公式表在后续的课程中才会发挥比较大的作用，因此简单带过就行.

3三、应用举例例1：求y=fx=3x2-x的导数f'(x)，并利用f'(x)求f'(1)，f'(-2)，f'(0).解：∆y=fx+∆x-fx=3x+∆x2-x+∆x-3x2-x=3∆x2+6x∆x-∆x∆y∆x=-3∆x2+6x∆x-∆x∆x=3∆x+6x-1当∆x趋于0时，得到导数f'(x)=lim∆x→0fx+∆x-fx∆x=lim∆x→03∆x+6x-1=6x-1可得f'1=6×1-1=5f'-2=6×-2-1=-13f'0=6×0-1=-1四、课堂练习1.通过查表，求下列函数的导数.：（1）y=1x（2）y=3x2.求y=100x的导数f'(x)，并利用f'(x)求f'(1)，f'(2)，f'(3).参考答案：1.解：（1）通过查表，可得y=1x=x-12y'=-12x-12-1=-12x-32（2）y'=3xln32.∆y=fx+∆x-fx=100x+∆x-100x

4=-100∆xxx+∆x∆y∆x=-100∆xxx+∆x∆x=-100xx+∆x当∆x趋于0时，得到导数f'(x)=lim∆x→0fx+∆x-fx∆x=lim∆x→0-100xx+∆x=-100x2可得f'1=-10012=-100f'2=-10022=-25f'3=-10032=-1009五、课堂小结1.求函数的导数的三个步骤（1）求出函数值的改变量∆y∆y=fx+∆x-fx（2）确定平均变化率∆y∆x∆y∆x=fx+∆x-fx∆x（3）当∆x趋于0时，得到导数f'(x)=lim∆x→0fx+∆x-fx∆x六、布置作业教材P62A组第1、2、3题．

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