《导数的概念》示范公开课教案【高中数学北师大】

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第二章导数及其应用2.2.1导数的概念◆教学目标1.理解导数的概念；2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．◆教学重难点◆重点：导数的定义和用定义求导数的方法．难点：对函数概念的理解．◆教学过程一、新课导入问题1：回忆我们学过的内容，说出函数fx从x1到x2的平均变化率公式．答案：平均变化率＝fx2-fx1x2-x1．追问1：如果用x1与增量Δx表示平均变化率的公式是怎样的？答案：平均变化率＝fx1+Δx-fx1Δx．追问2：我们如何得到函数fx在x1处的瞬时变化率？答案：当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是fx在点x1的瞬时变化率．二、新知探究极限与导数：设函数y=fx，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从fx0变到fx1，函数值y关于x的平均变化率为ΔyΔx=fx1-fx0x1-x0=fx0+Δx-fx0Δx当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，我们称这个值为平均变化率的极限，记作limx1→x0fx1-fx0x1-x0或limΔx→0ΔyΔx，那么这个值就是函数y=fx在点x0

1的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y=fx在点x0处的导数，通常用符号f'x0表示，记作f'x0=limx1→x0fx1-fx0x1-x0=limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx．注意：（1）函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在；（2）导数是一个局部概念，它只与函数y=fx在x=x0处及其附近的函数值有关，与Δx无关；（3）导数的实质是一个极限值．概念辨析：若f'x0=a，则limΔx→0fx0+Δx-fx0-3Δx2Δx的值为()A.-2aB.2aC.aD.–a解析：∵f'x0=limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx=a，∴limΔx→0fx0+Δx-fx0-3Δx2Δx=limΔx→0fx0+Δx-fx0+fx0-fx0-3Δx2Δx=12limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx+32limΔx→0fx0-fx0-3Δx-3Δx=a2+3a2=2a．总结：利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同．三、应用举例例1　求函数fx=4x2在x=2处的导数．解：∵fx=4x2，∴Δy=f2+Δx-f2=42+Δx2-1=4Δx-Δx22+Δx2，∴ΔyΔx=-4-Δx2+Δx2，∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0-4-Δx2+Δx2=-1，∴f'2=-1．由导数的定义，可以得到求函数y=fx在x0处的导数的步骤：1.求函数的改变量Δy=fx0+Δx-fx0；2.求平均变化率ΔyΔx=fx0+Δx-fx0Δx；3.取极限，得导数f'x0=limΔx→0ΔyΔx．

2例2一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间x(单位：s)的函数关系为fx=3x．求函数y=fx在x=2处的导数f'2，并解释它的实际意义．解：当x从2变到2+Δx时，函数值从3×2变到32+Δx，函数值y关于x的平均变化率为f2+Δx-f2Δx=32+Δx-3×2Δx=3ΔxΔx=3m3/s．　　当x趋于2，即Δx趋于0时，平均变化率总是3，所以f'2＝3m3/s．　导数f'2表示当x=2s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也就是说，如果水管中的水保持以x=2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3m3．总结：首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义．例3.一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y(单位：kg)与其工作时间x(单位：h)的函数关系为y=fx．假设函数y=fx在x=1和x=3处的导数分别为f'1=4和f'3=3.5，试解释它们的实际意义．解f'1=4表示该工人上班后工作1h的时候，其生产速度(即工作效率)为4kg/h．也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品．f'3=3.5表示该工人上班后工作3h的时候，其生产速度(即工作效率)为3.5kg/h．也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产3.5kg的食品．例４.服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数c=c(t)．假设函数c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10)=1.5和c'(100)=-0.6，试解释它们的实际意义．解c'(10)=1.5表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/mL∙min．也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/mL．c'(100)=-0.6表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6μg/mL∙min．也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将下降0.6μg/mL．四、课堂练习1．fx=x2在x=1处的导数为()A.2xB.2C.2+ΔxD.1

32．已知fx=x2-3x，则f'0等于()A.Δx-3B.Δx2-3ΔxC.-3D.03.汽车在笔直公路上行驶，如果vt表示t时刻的速度，则当Δt趋近于0时，vt0-Δt-vt0-Δt的意义是()A.表示当t=t0时汽车的加速度B.表示当t=t0时汽车的瞬时速度C.表示当t=t0时汽车的路程变化率D.表示当t=t0时汽车与起点的距离参考答案：　1．答案B解析limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f1+Δx-f1Δx=limΔx→01+2Δx+Δx2-1Δx=limΔx→02+Δx=2．　2．答案C解析f'(0)=limΔx→00+Δx2-30+Δx-02+3×0Δx=limΔx→0Δx2-3ΔxΔx=limΔx→0Δx-3=-3．3．答案A解析由于vt表示t时刻的速度，则当Δt趋近于0时，vt0-Δt-vt0-Δt表示当t=t0时汽车的加速度．五、课堂小结１.导数的概念：设函数y=fx，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从fx0变到fx1，函数值y关于x的平均变化率为ΔyΔx=fx1-fx0x1-x0=fx0+Δx-fx0Δx当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=fx在点x0的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y=fx在点x0处的导数，通常用符号f'x0表示，记作f'x0=limx1→x0fx1-fx0x1-x0=limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx．２.求导数的一般步骤：

4①求函数的改变量Δy=fx0+Δx-fx0；②求平均变化率ΔyΔx=fx0+Δx-fx0Δx；③取极限，得导数f'x0=limΔx→0ΔyΔx．３.导数在实际问题中的意义．六、布置作业教材第54页练习第1，2题．