2022届新高考数学一轮练习33高考大题专练三数列的综合运用Word版含解析.docx

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专练33　高考大题专练(三)　数列的综合运用1.已知等差数列{an}满足a1＝3，a5＝15，数列{bn}满足b1＝4，b5＝31.设cn＝bn－an，且{cn}为正项等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.2.[2020·全国卷Ⅲ]设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.3.[2021·全国新高考Ⅰ卷]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和．4.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn.(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1＋log2(an)2，求证数列的前n项和Tn＜.5.[2020·全国卷Ⅰ]设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．6.[2021·全国乙卷]记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．7.[2021·全国甲卷]已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.8.[2021·全国乙卷，文]设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<.专练33　高考大题专练(三)　数列的综合运用1．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意得a5＝a1＋4d＝3＋4d＝15，解得d＝3，因此an＝3＋3(n－1)＝3n.设等比数列{cn}的公比为q(q>0)，由已知得c1＝b1－a1＝4－3＝1，c5＝b5－a5＝31－15＝16.因为c5＝c1q4，即16＝1×q4，解得q＝2(负值舍去)，所以cn＝1×2n－1＝2n－1.由cn＝bn－an得bn＝an＋cn，所以bn＝3n＋2n－1.(2)由(1)得bn＝3n＋2n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝(3＋1)＋(6＋21)＋(9＋22)＋…＋(3n＋2n－1)＝(3＋6＋9＋…＋3n)＋(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝＋＝＋2n－1.2．解析：(1)a2＝5，a3＝7. 猜想an＝2n＋1.由已知可得an＋1－(2n＋3)＝3[an－(2n＋1)]，an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，……a2－5＝3(a1－3)．因为a1＝3，所以an＝2n＋1.(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1.所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.3．解析：(1)由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5又a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋2，(k∈N*)故a2k＋2＝a2k＋3，即bn＋1＝bn＋3，即bn＋1－bn＝3所以为等差数列，故bn＝2＋×3＝3n－1.(2)设的前20项和为S20，则S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，因为a1＝a2－1，a3＝a4－1，…，a19＝a20－1，所以S20＝2－10＝2－10＝2×－10＝300.4．解析：(1)∵an＋1＝2＋Sn(n∈N*)∴当n≥2时，an＝2＋Sn－1，∴an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，∴an＋1＝2an(n≥2)，又a2＝2＋a1＝4，又a1＝2，∴a2＝2a1，∴{an}是以2为首项以2为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n.(2)证明：∵bn＝1＋log2(an)2，则bn＝2n＋1，∴＝，∴Tn＝＝＝－＜.5．解析：(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.所以q2＋q－2＝0，解得q1＝1(舍去)，q2＝－2. 故{an}的公比为－2.(2)记Sn为{nan}的前n项和．由(1)及题设可得，an＝(－2)n－1.所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n.可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n.所以Sn＝－.6．解析：(1)因为bn是数列{Sn}的前n项积，所以n≥2时，Sn＝，代入＋＝2可得，＋＝2，整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．又＋＝＝2，所以b1＝，故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．(2)由(1)可知，bn＝，则＋＝2，所以Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.故an＝.7．解析：①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋d＝n2a1.因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列．①②⇒③.已知{an}是等差数列，{}是等差数列．设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n2d＋n.因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{}的公差为d，d>0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列．8．解析：(1)设{an}的公比为q，则an＝qn－1.因为a1,3a2,9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故an＝，bn＝.(2)由(1)知Sn＝＝(1－)，Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋…＋＋，②①－②得Tn＝＋＋＋…＋－，即Tn＝－＝(1－)－，整理得Tn＝－，则2Tn－Sn＝2(－)－(1－)＝－<0，故Tn<.