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时间：2022-12-31
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导数常用的一些技巧和结论
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3（2017年全国新课标1·理·21）已知.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.
4解析：（1）若，则恒成立，所以在R上递减；若，令，得.当时，，所以在上递减；当时，，所以在上递增.综上，当时，在R上递减；当时，在上递减，在上递增.（2）有两个零点，必须满足，即，且.构造函数，.易得，所以单调递减.又因为，所以.下面只要证明当时，有两个零点即可，为此我们先证明当时，.事实上，构造函数，易得，∴，所以，即.当时，，，其中，，所以在和上各有一个零点.故的取值范围是.注意：取点过程用到了常用放缩技巧。一方面：；另一方面：时，（目测的）常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）
5第一组：对数放缩（放缩成一次函数），，（放缩成双撇函数），，，，（放缩成二次函数），，（放缩成类反比例函数），，，，，第二组：指数放缩（放缩成一次函数），，，（放缩成类反比例函数），，（放缩成二次函数），，第三组：指对放缩第四组：三角函数放缩，，.第五组：以直线为切线的函数，，，，.几个经典函数模型经典模型一：或.【例1】讨论函数的零点个数.
6（1）时，无零点.，.（2）时，1个零点.，.（3）当时，2个零点.（目测），，其中.（放缩）.，其中.（用到了）（4）当时，1个零点.，单调递增.，.【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1：）：1.讨论的零点个数（令，）；2.讨论的零点个数（令）；3.讨论的零点个数（考虑）；4.讨论的零点个数（考虑，令，）；5.讨论的零点个数（令，）；6.讨论的零点个数（令）.经典模型二：或【例2】讨论函数的零点个数.
7（1）时，1个零点.，单调递增.且，，所以在上有一个零点；（2）时，无零点.恒成立；（3）时，无零点.；（4）时，2个零点.，，.【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2：）：1.讨论的零点个数（令，）；2.讨论的零点个数（去分母后与1等价）；3.讨论的零点个数（移项平方后与1等价）；4.讨论的零点个数（移项开方后换元与1等价）；5.讨论的零点个数（乘以系数e，令）；6.讨论的零点个数（令，转化成2）7.讨论的零点个数（令，）；经典模型三：或【例】讨论函数的零点个数.
8（1）时，1个零点.，单调递增.，.（2）时，1个零点（）.（3）时，无零点.，（4）时，1个零点..（5）时，2个零点.，，，【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3：）：1.讨论的零点个数；2.讨论的零点个数（考虑，令）；3.讨论的零点个数（令）；4.讨论的零点个数；练习题
91.已知函数有两个零点，求的取值范围.2.设函数，讨论的导函数的零点的个数.3.已知函数有两个零点，求的取值范围.4.已知函数.当时，试讨论的零点的个数.
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