线性代数与解析几何(二)考试复习资料

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时间:2018-03-18

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1、答疑题库——线性代数与解析几何(二)例1试证,正交向量组一定是线性无关的。证,设是正交向量组,于是有设有数,使,两边与作内积得即,从而故线性无关。注显然,线性无关的向量级不一定是正交向量组。例2填空:已知n阶方阵A的特征值为,对应的特征向量分别为则(1)(为常数)的特征值为,对应的特征向量为;(2)(m为正整数)的特征值为,对应的特征向量为;(3)A可逆时,的特征值为,对应的特征向量为;(4)A可逆时,A*的特征值为,对应的特征向量为;(5)P为n阶可逆矩阵,的特征植为,对塑料布的特征向量为;(

2、6)设,则矩阵多项式的特征值为,,对应的特征向量为;(7)的特征值为。例3设A,B均为n阶正交矩阵,证明:,且(k为正整数)均为正交矩阵。证人  因,于是,即,故又所以是正交矩阵。而由知正交矩阵,由于设AB是正交矩阵,由数学归纳法易证是正效矩阵。注  即使A B均是n阶正交矩阵,但A+B不一定是正交矩阵,而(为实数)仅当时才是正交矩阵,读者试证之。例4 全体二维实向量集合V,加法与数乘运算定义为问V是否构成R上的线性空间?为什么?分析:需逐一验证两个封闭性及8条运算律,其中关键是零元及负元的确定

3、,这可采用待定法,设是V的零元,则对任意,有,即,解之得,故(0,0)是零元,同理,为求的负元,由,即,解得,故是的负元。解:显然V非空,且对所规定的两种运算封闭,因且对任意,有即(0,0)是V的零元;又即的负元为其余几条均可验证成立,故V构成R上的线性空间。注  对于一个具体的线性空间,加法与数乘运算都要事先加以说明或规定,如果运算不是通常的运算,则相应的零元与负元可能与我们熟悉的形式不同。例5 的下列子集是否构成子空间?为什么?(1)  (2)解  (1)不构成子空间。因为即对矩阵加法不封闭

4、,不构成子空间。(2)因非空,对任意有,于是满足,即,对任意有且,即故是的子空间。例6设为数域K上线性空间V的两上子空间,令(称为与的交);(称为与的并);(称为与的和)。问它们是否分别构成V的子空间?如果能构成子空间,证明之;如果不能,举出反例。证人(1)是V的子空间,因,所以即它非空。设,则因为子空间,故,于是。同样,对任意,由得,因而的子空间。(2)不一定是V的子空间,如取令则它们均为R2的子空间,取,显然,但,因而不是R2的子空间。(3)是V的子空间,这是因为,由和得,即非空,对任意,有

5、于是由于中子空间,所以,从而故是V的子空间。例7试论R2×2的元素的线性相关性。解设实数使得则有因系数行列式此方程组只有零解,故线性无关。例8设V是实数域R上所有实函数的构成的线性空间,试讨论V中元素的线性相关性。,解设实数使得,该式对求1阶和2阶层导数,并与原式联立得因系数列式齐次方程组只有零解,故线性无关。注一般地,若讨论函数的线性相关性,可对诸函数分别求1阶,2阶,阶导数(要求对有阶导数)。若行列式0则线性无关,反之,则线性相关。例9的充要条件是()(A)(B)(C)(D)解故选(C)该题

6、的几何意义是以为边的平行四边形两对角线相等。例10设向量已知在上的射影是1,则()。(A)0(B)(C)0或(D)解故,即,如,则不合题意,故,选(A)上的射影不少书记为projba,这些书把代数射景与几何射景混同一个记号,本书把代数投影记为。例11设是四个点,已知以此四点为顶点的四面体体积为,则()。(A)1(B)-3(C)或(D)1或-3解依题意得方程:即或-3.选(D)。四面体D-ABC的体积,等于乘以相应三个向量为棱的平行六面体体积。无实根。例12过点(1,0,1)平么于直线L:的直线方

7、程是()。(A)(B)(C)(D)解1首先检查所求直线的方向向量是否与所给直线的方向向量平行,这时,L由一般方程组成,可用数量积,比如与数量积不为0,故可排除它,同样排除,于是只有(C)(D)可能对,将代入(D)满足方程,因而选(D)。解2正面何等一做:求L的方向向量:故所求直线为,取得,故得方程。选(D)解这个题时,首先应检验所求直线的方向向量是否与所给直线的方向向量共线,而不应看点是否为(1,0,1),因为直线上的点有无数个,但平均向量的相应坐标成比例。解2中也可以得到所求向量为,便排除了(

8、A)、(B);再以(1,0,1)代入知应选(D)。例13已知两点A(1,-2,3)、B(2,1,-1),求A、B联线与三坐标的交点。解1用定比分点的方法:设联线与yoz间的交点为,则交点是(0,-5,7)。与zox的交点为,则交点是,与xoy面交点为,则,交点解2建立A、B两点直线方程:。令,得,得交点令,得,得交点令,得,得交点解3用向量,如设与yoz交点为则:。故等等,留给读者自行考虑。通过这样一个题的三种不同解法,目的是要读者熟悉向量的坐标与点的坐标及其相关系,这是空间解析几何最基本的、最

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