四升五暑期奥数

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序言小学数学竞赛活动是小学生课外活动中最具吸引力的活动形式之一。组织小学生参加数学竞赛能够激发学生产生钻研数学的浓厚兴趣，形成勇于实践、敢于创新的良好品质，还能够拓宽学生的知识面，提高学生素质，发展学生个性特长。希望通过本教材加以教师对例题解析和学生对应训练的形式，帮助小学生系统地掌握小学数学竞赛的基本内容。很多家长误认为“我的孩子不需要参加竞赛，就没必要进行竞赛知识的学习和辅导”，其实不然。不参加竞赛，不代表就不需要对竞赛知识的掌握。掌握一定的竞赛知识，能使学生对平时基础知识的学习掌握起来更轻松，理解起来更容易。同时对解答平时的基础点上的强化题目有自己独立的思维和独到的见解，更能掌握一题多解的巧妙方法。本书精选了典型例题加以详细分析，强化了学习方法的指导，练习题与例题做到匹配一致，难易有序，既源于例题，又逐步提高，促使学生深刻理解，牢固掌握。金榜教育数学组

1目录第1讲能被2,5整除的数的特征3第2讲能被3整除的数的特征6第3讲被4,8,9整除的数的特征（一）9第4讲被4,8,9整除的数的特征（二）7…"2第5讲弃九法*14第6讲植树问题（二）i16第7讲鸡兔同笼问题含…“您19第8讲盈亏问题与比较法（一）管…•：［…22'iVs/第9讲盈亏问题与比较法（二）24第10讲还原问题（一）$27第11讲还原问题（二）螺"，30第12讲智取问题532一7

2第1讲能被2、5整除的数的特征?二二：知识要点同学们都知道，自然数和o统称为(非负)整数。同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数;两个整数相乘，乘积也是整数：两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数。两个整数相除时，情况就不那么简单了。如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。例如，84能被2,3,4整除，因为84+2=42,84+3=28,84+4=21,42,28,看都是整数。而84不能被5整除，因为84+5=16……4,有余数4。也不能被13整除，因引取+13=6……6,有余数6。因为0除以任何自然数，商都是0,所以0能被任何自然数整除。这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征，也就是讨论什么样的数能被2或5整除。1、能被2整除的数的特征因为任何整数乘以2,所得乘数的个位数只有0,2,1,6,8五种情况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0,2,4,6或8。也就是畛，凡是个位数是Q12,4,6,8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1,3,5,7,9的整数一曾不能被2整除。例如，38,172,960等都能被2整除，67,881,235等都不能被2整除。能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。0,2,4,6,8,10,12,14,…就是全体偶数。11,3,5,7,9,11,13,15,…就是全体奇数。偶数和奇数有如下运算性质：偶数土偶粉偶数，奇数土奇数=偶数，偶数土奇数=奇数，I奇数,偶数/数，偶数X偶数=偶数，偶数X奇数=偶数，奇数又膏数=奇数。4例题精讲例1、在1〜199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？分析与解：由于1,2,3,4,…，197,198,199是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对■:(1,2),(3,4),(197,198),

3还剩一个199。共有198+2=99(对)，还剩一个奇数199。所以奇数的个数=198+2+1=100(个)，

4偶数的个数=198+2=99(个)。因为每对中的偶数比奇数大1,99对共大99,而199-99=100,所以奇数之和比偶数之和大,大100.如果按从大到小两两配对：(199,198),(197,196),(3,2),那么怎样解呢？例2、(1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？(2)数(42口+30-147)能被2整除，那么，口里可填什么数？(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？1X3X5X7X9X11X13X14X15,解：根据奇偶数的运算性质：(1)因为524,42是偶数，所以(524+42)是偶数。又因为429是奇数，所以(524+42F29)是奇数。(2)数(42口+30-147)能被2整除，则它一定是偶数。因为147是奇数，所以数(42口+30)必是奇数。又因为其中的30是偶数，所以，数42口必为奇数。于是，口里只能填奇数1,3,5,7,9。(3)1,3,5,7,9,11,13,15都是奇数，由1X3为奇数，推知1X3X5为奇数……推知1X3X5X7X9X11X13X15为奇数。因为14为偶数，机以(1X3X5X7X9X11X4§X15)5W为偶数，即1X3X5X7X9X11X13X14X15为偶数。由例2得出：”(1)在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数：若参加运算的奇数的个数是奇数，则结果是奇数。(2)在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数。例3、在黑板上先写出三个自然数3,然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和。照这样进行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？解：根据奇偶数的运算性质知：第一次擦后，改写得到的三个数是6,3,3,是“二奇一偶”；第二次擦后，改写得到的三个数是6,3,3或6,9,3或6,3,9,都是“二奇--偶”。以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦去的是奇数，则改写得到的数为一奇一偶之和，是奇数。总之，黑板上仍保持“二奇一偶”。

5所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇・偶”。它们的乘积

6奇数X奇数X偶数=偶数。故进行100次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它们的乘积一定是偶数。2、能被5整除的数的特征由0X5=0,2X5=10,4X5=20,6X5=30,8X5=40,…可以推想任何一个偶数乘以5,所得乘积的个位数都是0。由1X5=5,3X5=15,5X5=25,7X5=35,9X5=45,…可以推想，任何一个奇数乘以5,所得乘积的个位数都是5。因此，能被5整除的数的个位数一定是。或5。也就是说，凡是个位数是0或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0或5的整数一定不能被5整除。例如，闻?0,6勿5,12M5678gb等都能被5整除，264,3588等都不能被5整除。例4、由0,3,5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？解：因为个位数为0或5的数才能被5整除，所以由0,3,5写成的没有重复数字的三位数中，只有350,530,305三个数能被5整除。力习鹿精练练习181、在20〜200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？2、不算出结果，再接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：(1)1+24-3+4+5；%(2)1+2+3+.4+5+6+7；(3)1^29+10；(4)1+3+5+…+21+23；(5)13-12+ll-10+—+3-2+lo3、由4,5,6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数?

7暑假班学习资料4、两个质数之和是13,这两个质数之积是多少？5、用0,1,2,3,4,5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被5整除的有几个？能第2讲能被3整除的数的特征声、识要点上一讲我们讲了能被2,5整除的数的特征，根据这些特征，很容易就能判别出一个数是否能被2或5整除。同学们自然会问，有没有类似的简便方法，直接判断•个数能否被3整除?我们先具体观察一些能被3整除的整数:18,345,4737,2567418能被3整除，1+8=9也能被3整除;345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除;4737能被3整除,4+7+3+7=21也能被3整除;

8怎么这么巧？我们再试一个：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了，不用再试了，同学们可能已经在想：“是不是所有能被3整除的数的各位数字的和都能被3整除？”结论是肯定的。它的一般性证明这里无法介绍，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。由99和9都能被3整除，推知(7X99+4X9)能被3整除。再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，山(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。因此，判断一个整数能否被3整除的简便方法是：如果整数的各位数字之和能被3整除，那么此整数能被3整除。如果整数的各位数字之和不能被3整除，那么此整数不能被3整除。,7I“例题精讲'例1、判断下列各数是否能被3整除：2574,38974,587931.解：因为2+5+7+4=18,18能被3整除，所以2574能被3整除；因为3+8+9+7+4=31,31不能被3整除，所以38974不能被3整除；因为5+8+7+9+3+1=33,33能被3整除，所以587931能被3整除。为了今后使用方便，我们介缩7%表示多位数的方法。当一个多位数中有一个或几个数字用字母来表示时，为防止理解错误，就在这个多位数的上面划一线段来表示这个多位数。例如，315表示这个三位数的百、I、个后依次是3,a,5；又如，万向■表示这个四位数的千、百、十、个位依次是a,b,crd«/例2、六位数257a38能被3整除，数字a=?解：2+5+.7鬼+345+中耍使25+a能被3整除，数字a只能是2,5或8。即符合题意的a是2,5或8。Z'例3、由1,3,5,7这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？解：在1,3,5,7这四个数中，任取三个，共有4组：1,3,5；1,3,7；1,5,7；3,5,7。其中，1+3+5和3+5+7能被3整除，所以，由1,3,5或3,5,7写成的没有重复数字的三位数能被3整除。由1,3,5可写成135,153,315,351,513,531六个三位数；同理，由3,5,7也能写成6个三位数。

9例4、被2,3,5除余1且不等于1的最小整数是几？解：除1以外，被2除余1的所有整数是3,5,7,9,11,…，27,29,31,33,…被3除余1的所有整数是4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…被5除余1的所有整数是6,11,16,21,26,31,36,—上面三列数中，第一个同时出现的数是31,所以31是同时满足被0,5除均余L且不等于1的最小数。例4中使用的方法是解这类题型的基本方法，但不够简捷。一个较简捷的方法是：因为5大于2和3,所以先从被5除余1的数1,6,11,16,21,26,31,36,―中找出第一个（1除外）同时满足被2和3除都余1的数31,就为所求。到五年级学了更多的知识后，还可直接由2X3X5+1=31得到所求数。少习精后小1、直接判断25874和978651能否被3整除。、//2、由2,3,4,5这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？3、（1）被2,3除余1且不等于1的最小整数是几？（2）被3,5除余2且不等于2的最小整数是几?

104、同时能被2,3,5整除的最小自然数是几?5、一根铁丝长125厘米，要把它剪成长2厘米、3厘米、5厘米的三种不同规格的小段。最多能剪成多少段？任错题纠正家长签名：第3讲被4,8,9整除的数的特征(一)1：二：知识要点数的整除具有如F性质：性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除例如，48能被16整除,/6能被8整除，那么48一定能被8整除。性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与蓄能被3整除，那么21+15及21-15都能被3整除。性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除，例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9X7=63整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：(1)一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个，那么这个数就能被2整除。(2)一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除。

11(1)一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。(2)一个数的末两位数如果能被4(或25)整除，那么这个数就能被4(或25)整除。(3)一个数的末三位数如果能被8(或125)整除，那么这个数就能被8(或125)整除。(4)一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除.其中(1)(2)(3)是三年级学过的内容，(4)(5)(6)是本讲要学习的内容。因为100能被4(或25)整除，所以山整除的性质1知，整百的数都能被4(或25)整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。这就证明!(4)。类似地可以证明(5)。(6)的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明施;837=800+30+7=8X100+3X10+7=8X(99+1)+3X(9+1)+7=8X99+8+3X9+3+7=(8X99+3X9)+(8+3+7机。，因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，(8x99+3x9)能被9整除。再根据整除的性质2,由(8+3+7)能被9整除，就能判断837能被9整除。利用(4)(5)(6)、途可以与好一个数除以4,8,9的余数：(4，)一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。(5,)一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。(6))一个数除以3的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。华/例题精讲例1、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234,789,7/8865,3728.8064.解：能被4整除的数有7756,3728,8064；能被8整除的数有3728,8064；能被9整除的数有234,8865,8064。例2、在四位数56口2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9,8,4整除？解：如果56口2能被9整除，那么

12或5672时能被8整除；如果56口2能被4整除，那么口2应能被4整除，所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除。岂少习题精练1、6539724能被4,8,9,24,36,72中的哪几个数整除？2、个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少夕今3、一些四位数，百位上的数字都是《卜彳立上的数字都是6,3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？—错题纠正X*N7V7\"Jk并且它们既能被2整除又能被家长签名:

13第4讲被4,8.9整除的数的特征（二）1上知识要点到现在为止，我们已经学过能被2,3,5,4,8,9整除的数的特征。根据整除的性质3,我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6=2X3,2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3,可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。例1、从0,2,5,7四个数字中任选三个，组成能同时被2,5,3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。解：因为组成的三位数能同时被2,5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，Jr'、1飞数字和2+7+0与5+7+0都能被3整除，因此所求的这些数为270,570,720,750。例2、五位数说而能被72整除，问：A与B各代表什么数字？分析与解：已知A329B能被72整除。因为72=8X9,8和9是互.质数，所以A329B既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求丽能被8整除，山此可确定B=6。再根据能被9整除的数的特征，说曲的各位数字之和为A+3+2+9+B=A+3-f-2+9+6=A+20,-

141、习题精练五位数4A97A能被12整除，求这个五位数。2、有一个能被24整除的四位数口23口，这个四位数最大是几？最小是儿？3,从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数?4、在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。任错题纠正家长签名:

15从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3+6+4+5+7+3+2=30,30被9除余3,所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为④：但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉,如3+6=9,4+5=9,7+2=9,把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图）.所以这个数除以9的余数是3。、6X3区这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。yVr7一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。»例题精讲例1、求多位数7645821369815436715除以9的余数。分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。16ZWxZ&ZZZX15只剩下7,6,1,5四个数，这时口算一下即可。口算知，7,6,5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。所以这个多位数除以9余1。例2、将自然数1,2,3,…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100,那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。我们已经熟知

161+2+3HF9=45,而45是9的倍数，所以每一组1,2,3,9都可以划掉。在1〜99这九十九个数中，个位数有十组1,2,3,9,都可划掉；十位数也有十组1,2,3,…，9,也都划掉。这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。所以这个数除以9余1。在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。本题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9的余数相同，所以题中这个数各个数位上的数字之和，与1+2+…+100除以9的余数相同。利用高斯求和法，知此和是5050。因为5050的数字和为5+0+5+0=10,利用弃九法，弃去一个9余1,故5050除以9余1。因此题中的数除以9余1。例3、检验下面的加法算式是否正确：2638457+3521983+6745785=12907225。分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为8,6,8+4+6的九余数为0；和的九余数为I。因为0W1,所以这个算有手正确/一例4、检验下面的减法算式是否正确：J/1/7832145-2167953=5664192。分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的九余数上加9,然后再减）应当等于差的九余数。如果不等，戒么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是3,减数的九余数是6,由（9+3）-6=6知，原题等号左边的九余数是6。等号右边的九余数也是6,因为6=6,所以这个减法运算可能正确。值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见例5）运算的结果是否善确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么坯不能确定算式是否正确，因为九余数只有0,1,2,…，8九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。少习题精练1、求下列各数除以9的余数：（1）7468251（2）36298745

17(3)2657348(4)6678254193

182、求下列各式除以9的余数:(1)67235+82564(2)97256-478233,2783X6451(4)3477+265X841有一个2000位的数A能被9整除，数A的各个数位上的数字之和是B,数B的各个数位上的数字之和是C,数C的各个数位上的数字之和是D。求D。家长签名:任错题纠正第6讲植树问题(二)修，识要N在三升四的课程中，我们学习了植树问题的相关例题的解答方法，本节课我们接着学习与植树问题相关的变形问题。虽然是变形的形式，但是还是要根据植树问题的相关特征和关系式解答。(1)非封闭线的两端都有“点”时,

19"点数”=“段数”+1。(2)非封闭线只有一端有“点”时,“点数”=“段数”。

20（3）非封闭线的两端都没有“点”时,“点数”=“段数”-1。“点数”="段数”。%例题精讲///1,例1、一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共24辆，每辆车长5米，前后•每辆车相隔6米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶3米，那么这列车队要通过642米长的检阅场地，需要多A>ZKZZ*少时间？解：车队间隔共有24-1=23（个）,每个间隔6米，所以，间隔的总长为（24-1）X6=138（米），而车身的总长为24X5=120（米），故这列车队的总长为（24-1）X6+24X5=258（米）。由于车队要行258+642=900（米），且每秒行3米，所以，车队通过检阅场地需要（258+642>:3=300（秒）=5分钟。答：这列车队共长265米，通过检阅场地需要5分钟。例2、下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？6亳米,4厘米

21解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数（每个长6毫米）。根据植树问题的第（3）种情形知,五个连在一起的“环扣”数为5-1=4（个），所以重叠部分的长为6X（5T）=24（毫米），又4厘米=40毫米，所以五个铁环连在一起长40X5-6X（5—1）=176（毫米）。同理，十个铁环连在一起的长度为40X10-6X（10-1）=346（毫米）.答：五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米。例3、父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上工《台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？（重复踏的台阶只算•个）。解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的台阶数为300+2=150（个）,父亲踏过的台阶数为300+3=100（个）J由于2X3=6,所以父子俩每6个台阶要共'而踏个台跻，其重复踏了300+6=50（个）。所以父子俩共踏了台阶150+100-50=200（个）呼答：父子俩共踏了200个台阶1、测量人员测量、孝路的长度。先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？2、学校举行运动会。参加入场式的仪仗队共180人，每6人一行，前后两行间隔120厘米。这个仪仗队共排了多长？

223、在一条长1200米的河堤边等距离植树（两端都要植树）。已挖好每隔6米植一棵树的坑,后要改成每隔4米植•棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？任错题纠正家长签名:4、一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？第7讲鸡兔同笼问题知识要点鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。例题精讲例1、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2X16=32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32=12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2,就可以求出兔的只数。解：有兔（44-2X16）4-（4-2）=6（只），

23当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4X16=64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64—44=20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2=2（只）。因此只要算出20里面有几个2,就可以求出鸡的只数。有鸡（4X16-44）+（4-2）=10（只），有兔16—10=6（只）。由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。例2、100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？/分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、’小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍如个，比实际多300—140=160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1=2（个），因为160+2=80,故小和尚有80人，大和尚有100-80=20（人）。、同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。例3、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套,用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？分析与解：我们设想有--只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。假设买了16套彩色文化用品，则共需19X16=304（元），比实际多304—280=24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19-11=8（元），所以买普通文化用品24+8=3（套），买彩色文化用品16-3=13（套）。

24习题精练1、鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？2、学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？3、班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本身.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本?4、小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信序g贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？家长签名：第8讲盈亏问题与比较法（一）

25人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。盈亏问题的主要公式有：（盈+亏）+两次分配之差=份数（大盈一小盈）+两次分配之差=份数（大亏一小亏）+两次分配之差=份数%例题精讲xXz例1、小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案，第一\ZAy\7、、种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9+6=15（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5—4=1（粒）；每人相差1粒，篆少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为154-1=15（人）*糖器的粒数为4X15+9=69（粒）.解：（9+6）4-（5-4）=晦；（必，4X15+9=69（粒）。、：J答：有15个小朋友，分69粒糖。'''由例1看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不巧的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+号数），山此得到求解盈亏问题的公式：1-分配总人数盈亏总额+两次分配数之差,需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一躲盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。例2、小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？分析与解：第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16X3=48（粒），所以盈亏总额是0+48=48（粒），而两次分配数之差是16—10=6（粒）。由盈亏问题的公式得

26有小朋友（0+16X3）+（16—10）=8（人），下面的几道例题是购物中的盈亏问题。例3、一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元。问：有多少个小朋友？东西的价格是多少？分析与解：两种购物方案的盈亏总额是8+4=12（元），两次分配数之差是10-7=3（元）。由公式得到小朋友的人数（8+4）+（10—7）=4（人），东西的价格是10X4—8=32（元）。例4、王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？分析：本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把小提琴差110元,买5把小提琴差30元。从买7把变成买5把，少买了，仑=2（把）提琴，诟钱的差额减少了110—30=80（元），即80元钱可以买2把小提琴，割血、提琴的单价为每把40元钱。解：（110—30）+（7—5）=40（元），40X7—110=170（元）。答：小提琴40元一把，王冬师带了禺0企钱+力习题精练俞1、小朋友分糖器,每人3粒，奈30粒；每人5粒，少4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？一，2、一介汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3500千克，那么货物还剩下5000千克；如果每辆汽车运4000千克，那么货物还剩下500千克。问：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？3、学校买来一批图书。若每人发9本，则少25本；若每人发6本，则少7本。问：有多少个学生？买了多少本图书？

274、参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分4支，那么多12支；如果每人分8支，那么恰有1人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩色笔?第9讲盈亏问题与比较法（二）号力知识要点有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题H条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。例题精讲

28分析：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件“如果增加一条船……”表示“如果每船坐6人，那么有6人无船可坐”；“如果减少一条船……”表示“如果每船坐9人，那么就空出一条船”。这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为6+9=15（人），两次分配的差为9—6=3（人）。解：（6+9）+（9—6）=5（条），6X5+6=36（人）.答：有36名学生。4J例2、少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？分析：我们将“其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑”转化为“猫人都挖6个坑，就多挖了4个坑”。这样就变成了“典型”的盈亏问题。盈亏总额为4+3=7（个）坑，两次分配数之差为6—5=1（个）坑。./r、/XI7例3、在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？分析与解：因为把绳子对折余8米，所以是余了8X2=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了3X2=6（米）。两种方案都是“盈”，故盈亏总额为16—6=10（米），两4分配数之差为3-2=1（折），所以桥高（8X2-2X3）4-（3-2）=10（米），绳子的长度为2X10+8X2=36（米）。例4、乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5

29分钟。问：乐乐家离学校有多远？

30分析与解：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有50X8=400（米）：若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走（50+10）X5=300（米）。所以盈亏总额，即总的路程相差400+300=700（米）.两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为7004-10=70（分）,也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟。所以乐乐家到学校的距离为50X（2+70+8）=4000（米），或50X2+60X（70—5）=4000（米）。习题精练1、筑路队计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑80米，这样在完成规定任务的前三天，就只剩下1160米未筑。问：这条路共有多长？.2、食堂采购员小李去买肉，如果买牛肉18千克，那么差4元；如果买猪肉20千克，那么多2元。已知牛肉、猪肉每千克差价8角，求牛肉、猪肉每千克各多少钱。3、用绳子测量井深。如果把绳子三折垂到水面，余7米；如果把绳子5折垂到水面，余1米。求绳长与井深。4、小明从家到学校去上学，如果每分钟走60米，那么将迟到5分钟；如果每分钟走80米,

31那么将提前3分钟。小明家距学校多远？

32错题纠正家长签名K]'V/4r|/r、、第10讲还原问题(一)较？知识要点/V有一位老人说：“把我的年龄加上12,.再宿4除，再减去15后乘以10,恰好是100岁。”这位老人有多少岁呢？解这个题目要从所叙述的最矗果出发，利用已给条件一步步倒着推算，同学们不难看出，这位老人的年龄是Q(1004-10+15)X4—12笏81岁)。从这一例子可以看出，对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。l例题精讲例1、有一个数，把它乘以4以后减去46,再把所得的差除以3,然后减去10,最后得4。问：这个数是几？分析：这个问题是由(□X4—46)4-3—10=4,

33求出口＜＞我们倒着看,如果除以3以后不减去10,那么商应该是4+10=14；如果在减去46以后不除以3,那么差该是14X3=42；可知这个数乘以4后的积为42+46=88,因此这个数是88+4=22。解：[（44*10）X3+46]+4=22。答：这个数是22。例2、小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9,把十位上的8看成了3,结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？分析：利用还原法。因为把个位上的5看成9,所以多加了4；又因为把铤L的8看成所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。解：123-4+50=169。答：正确的结果应是169。例3、甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？7\7分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书，90+3=30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为甲组有30+3=33《麴，'乙组有30-3+5+3号费，丙组有30—5=25（本，。v\）\/C7例4、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？分析：由旭推法知，第二次用完还剩下15+7=22（米），第一次用完还剩下（22—10）X2=24（米），原来电线长（24+3）X2=54（米）.解：[（15+7—10）X2+3]X2=54（米）。答：这捆电线原有54米。，习题精练

341、某数加上11,减去12,乘以13,除以14,其结果等于26,这个数是多少？2、在125XD+3X8—1=1999中，口内应填入什么数？3、小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4,再减去6之后，乘以10,恰好是100。问:小乐爷爷今年多少岁？4、粮库内有批面粉，第,次运出总数的一半多3吨，第三次运出剩下的一牛少7吨，还剩4吨。问：粮库里原有面粉多少吨？\75、有一筐梨，甲取一半又w个，乙取余F的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？任错题纠正家长签名:第11讲还原问题（二）

35廿例题精讲例1、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？分析与解：棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚。由此逆推，得到第三次分之前有1X4+1=5（枚），第二次分之前有5X1+1=21（枚），第一次分之前有21X4+1=85（枚）。所以原来至少有85枚棋子。例2、袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？分析与解：利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作"有3个，第4次操作后有（3-1）X2=4（个），第3次……为了简洁清楚，可以列表逆推如亲》球数/个初始状态(18—1)X2=34123第1次操作(10—1)X2=18第2次操作(6—1)X2=10第3次澡作(4—1)<2-6第4次操作(3—1)X2=4第5次操作3所以原来袋中有34个球。例3、三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？分析与解：由题意知，最后每堆苹果都是48+3=16（个），由此向前逆推如下表：

36第T第二难第我跳懒8+14=2228+2=14!2第一瓶麟816+12=2824松12第二姣俑16+2:81616+8=24161616原来第一、二、三堆依次有22,14,12个苹果。逆推时注意，每次变化中，有一堆未动；有一堆增加了一倍，逆推时应除以[热一日歹堆减少了增加一倍那堆增加的数，逆推时应使用加法。力习题精练])1、有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半个，第二只猴妹走剩下的一半加半个，第三、四、五只猴照此方式办理，最后还剩下一个桃。问：，原来有多少个桃?q/」/2、书架有上、中、下三猥，一共放了192本书.先从上层取出与中层同样多的书放到中层,再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层现有的同样多的书放到上层，这时三层的书刚好相等。问：这个书架上、中、下三层原来各有多少本书？

373、甲、Z!噫於人各有若干元钱，甲拿出一半平分给乙、丙，乙又拿出现有的一半平分给甲、丙，最后丙又拿出现有的一半平分给甲、乙。这时他们各有240元。问：甲、乙、丙三人原来各有多少钱？

38家长签名：第12讲智取问题号二二：知识要点在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。\/\7F例题精讲课例1、桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1〜3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析与解：本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根;此时无论对方取1,2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是地倍数根，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。在例1中为什么一定要留给对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其它倍数根呢？关键在于规定每次只能取1〜3根，1+3=4,在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例1的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。

39例2、将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形会如何？分析与解：最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根(57除以4余1),以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜。由例2看出，在每次取1〜n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下(1+n)的倍数加1根火柴，谁将获胜。有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。例3、两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能抵〜5个数，谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？分析与解：对照例1可以看出，本例是取火柴游戏的变形。因为504(1+5)=8……2,所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩下48个数是(1+5=)6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必胜1、桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1〜3根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？2、有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？

40获胜？怎样获胜？3、甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1〜4个数，谁报到第888个数谁胜。谁将4、黑板上写着一排相连的自然数1,2,3,51o甲、乙两人轮流划弹连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？父

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