初3奥数资料1——9讲

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初三数学竞赛讲义（第一讲——第十讲）本讲义共分两部分，第一部分围绕株洲市竞赛进行试题分类汇编和解读，习题全部由中考原题组成，考虑班级层次和更加灵活的处理讲义内容，第一部分共分十讲，内容不具体划分到课时，教师可根据班级具体情况进行选择和调整。第二部分为综合模拟试卷（另行装订分发）。解读株洲数学竞赛I、竞赛试题思想与原则1、强化主干知识，加强初高中衔接，从学科整体意义上设计试题根据各部分内容的教学内容和初高中衔接学生数学知识的要求，确定试卷中各部分知识内容的分数比例。数学竞赛试题重视学科知识的内在联系，强调试题的综合性，喜欢在知识网络的交汇点设计试题。试题有知识之间的交叉、渗透与综合，常以主干知识为载体，同时考查几个知识板块，如绝对值与不等式，函数与方程，方程与不等式，面积与方程，方程与代数式的运算等。注重考查考生对数学知识的整体把握和理解。2、注重通性通法，强调考查数学思想方法运用数学思想方法分析和解决问题，是反映数学水平高低的一个重要标志.新课程强调过程，突出思想，重视探究，竞赛对数学思想方法的考查渗透于数学解题之中。竞赛要求掌握的数学思想有：函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想，化归与转换思想，特殊与一般思想。基本数学方法有：换元法，配方法等。竞赛对数学思想方法的考查贯穿于整份试卷之中，重思维，淡计算，但要掌握基本的数学技能和技巧。3、坚持数学应用，考查应用意识竞赛考查应用意识是设置应用性问题来实现的，要求考生依据现实生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题来解决.竞赛应用题的基本特点是：情境新颖，贴近生活；结合教材考查本学科重点内容；知识与方法有一定深度，突出数学在解决实际问题时的应用价值；背景公平，叙述简明易懂。4、开放探索，考查探究精神，开拓展现创新意识的空间竞赛对创新意识的考查，主要是应用所学知识和方法解决数学中和现实生活中情境新颖，有一定深度和广度的数学的问题，通过对新概念、新符号等信息的接收、加工能力的考查来实现。5、题目从2009年开始，逐年降低了难度，与中考更加接轨。

1IK历年株洲竞赛试题分析-、近儿年株洲竞赛试卷结构分析10年试题09年试题08年试题07年试题绝对值1小2小3小不等式1小2小1小方程3小+1大2小+1大4小+1大2小+1大二次根式1小1小1小1小统计与概率3小1小1小函数1小1大1大1小+1大代数式2小2小1小2小+1大等腰三角形1小1小1小1小相似三角形1小+1大1小+1大2小+2大1小+1大勾股定理1小1小最值问题1小1小面积1小1小1小1小+1大探究1小+1大1小+1大

2株洲市历年竞赛试题分类解析（一）绝对值【竞赛热点】1、利用绝对值的几何意义求代数式的取值范围2、利用绝对值的非负性解特殊方程3,利用绝对值的定义去绝对值符号【知识梳理】绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础.绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组”解不等（组）等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：{a（a>0）1.去绝对值的符号法则：向=[0（。=0）-4（4<0）2.绝对值基本性质；@|a|2=|a2|=a2①非负性：问20;②岫=即|小③口|=旧300）；网\b\3.绝对值的几何意义从数轴上看，时表示数。的点到原点的距离（长度，非负）；可表示数。、数〃的两点间的距离.【试题汇编】1、代数意义1、（2010•第2题）已知：三个数。、氏c的积为负数，和为正数，且abcahacbe„,uzx=f+77+pt+]—f+i—f+]—r»贝Ux的彳直为（）\a\\b\\c\\ab\\ac\\bc\A.1B.-1C.0D.与a,h,c的值有关2、（2008•第9题）若]_近_1）2=x,则x的取值范围是.

33、（2007•第1题）已知lal=3,⑸=4,且ab<0,则色的值是（）3bA.9B.--C.-9D.-994、（2007•第11题）已知实数a满足12006—3+一二^研=a,那么a—2006?的值是5、（2007•第13题）已知对所有的实数x,都有|x+[+—年一2|恒成立，则用可以取得的最大值为6、（2005•第2题）方程,+5|—|3"7|=1的解的个数有（）个A.1B.2C.3D.无数7、（2004•第9题）已知,一4|+（丁+1）2=0,则1/2006=\a\-a8、（2004•第10题）当a<0时，化简L——的结果是

42、几何意义：1、（2008•第1题）已知数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别是a、b、c,且满足|a-Z?|+1/?-c|=|a-c|,则A、B、C三点在数轴上的位置是（）A.A在B、C之间B.B在A、C之间C.C在A、B之间D.无法确定2、（2006•第9题）若实数x满足卜一2|+,一7|=5,则x的取值范围是3、（2001•第11题）设。=|尤一3|+卜|,x为任意实数，则a的范围是（）A.a<3B,a>3C.a<3D.a>3（二）不等式（组）【竞赛热点】1、含有字母系数的不等式2、由己知不等式来判断或解不等式3、建立不等式的模型，或利用不等式解决实际问题【知识梳理】现实世界既包含大量的相等关系，又存在许多不等关系，许多现实问题是很难确定（有时也不需确定）具体的数值，但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围或趋势，从而对所研究问题的全貌有一个比较清晰的认识.不等式（组）是探求不等关系的基本工具，不等式（组）与方程（组）在相关概念、解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在：等式、不等式两者都乘以（或除以）同一个数时，等式仅需考虑这个数是否为零，而不等式不但要考虑这个数是否为零，而且还需注意这个数的正负性；解方程组时，我们可以“统一思想”，即可以对几个方程进行“代人"或''加减”式的加工，解不等式组时，我们只能“分而治之”，即只能分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式组的解集。一般考察如下内容：

51、考查不等式的性质：不等号的是否改变方向2、重点考查学生的技巧，如代值，或变成同分母或同分子的情形不等式（组）的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围：求代数式的最值,列不等式（组）解应用题。列不等式（组）解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是：1、弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数：2、找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系；3、列出不等式（组）：4、解这个不等式（组），求出解集并作答。【试题汇编】1、（2009•第2题）设a、b、c均为正数，若工<，一<’一,则小从c三个数的大小关系a+bh+ca+c是（）A.c02x-n<0的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等式组的整数对（m,〃）共有对。3、（2008•第11题）一次函数/（无）=（〃一b）x+（a+b）,g（x）=+W力且〃00）,若使/（x）>0的实数的取值范围是x<1,则使g（x）>0的实数X的取值范围是.4、（2008•第2题）若a为正数，且（。一1）2比2/大，则a的取值范围是（A.0<。<—B・0

66、(2006•第8题)若小y、z是正实数，且个z=l,则代数式。+1)。+1)(>1)的最小值是()A.64B.8C.8a/2D.V2)2x+y—k]2x+y>3''的解x,y满足：\'.一,求&x-2y=3k+2[x—y<17的取值范围。8、(2010•初二第17题)某粮油公司要把240吨大米运往A、8两地，先用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批大米，且每辆车都是满载，已知这两种货车的满载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往A地的运费为：大车630元刷，小车420元隐；运往5地的运费为：大车750元/辆，小车550元/辆.(1)求两种货车各用多少辆；(2)如果安排10辆货车前往A地，其余货车前往8地，且运往A地的大米不少于115吨.请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.

79、（2008•第15题）有一批货，如果月初售出，可获利润10000元，并可将本利和再去投资，到月末获利润2.5%,如果月末售出这批货，可获利润12000元，但要付500元保管费，请你用所学知识分析，这批货在月初还是月末售出好？（三）一次方程（组）、分式方程【竞赛热点】1、一次方程组2、换元法解方程3、绝对值方程【知识梳理】1、解一些复杂的方程组（如未知数系数较大、方程个数较多等），需要观察方程组下系数特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧.2、可以通过换元，把复杂的式子简单化3、可构造函数将方程化归为函数问题解决；【试题汇编】1、（2009•第10题）已知"+"="+,="+’=k,则攵=ocbax—I2、方程上一二二=1的解是（）xx+1A.-1,—B.1,C.1D.

82221031523、(2008•第16题)已知小y满足：，一+，一二一5,」=一1,试求代数式x+yx-yx+yx-y1111s11bH的值。(x+4)(y+4)(x+5)(y+5)(x+6)(y+6)(x+100)(〉+100)卜=kl+i4、（2008•第12题）已知方程组4i,当人时，方程组只有一组解。[y=2X+b5、（2004•第8题）已知4名运动员体重（以千克为单位）都是整数，他们两两合秤称体重，共称5次,称得重量分别为99、113、125、130、144,其中有两人没合称过,那么这两人体重较大的是（）千克A.78B.66C.52D.47

96、（2010•第18题）某班进行一次智力竞赛，共a,b,c三题，每题或者得满分或者得0分，其中题a满分20分，题b题c满分均为40分，竞赛结果，每个学生至少答对一题，三题全对有3人，答对其中两题的有14人，答对题。的人数与答对题b的人数之和为45,答对题a的人数与答对题c的人数之和为35人，答对题b的人数与答对题c的人数之和为40人，问该班共有多少人，平均成绩是多少？（四）不定方程（组）【竞赛热点】1、求不定方程的整数解2、由已知条件构造不定方程【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定.对于不定方程（组），我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设a、b、c、d为整数，则不定方程以+刀=,有如下两个重要命题：⑴若（a,b）=d，且He,则不定方程ax+by=c没有整数解：（2）若见,凡是方程以+处=。且（小b）=l的一组整数解（称特解），贝"。为整数）是方（7=%一4程的全部整数解（称通解）.解不定方程（组），没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形,并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。配方利用非负数

10性质、穷举，乘法公式，不等式分析等.【试题汇编】1、（2008•第6题）若x、y是正整数，且满足，一_1=_1,则y的最大值是（）■xy20A.20B.40C.380D.4002、（2009•第7题）如图：三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，图（1）,图（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则要在它的右盘中放置（）球x\oHa/\/5△5A.3个B.4个C.5个D.6个3、（2005•第6题）在等式』=」一+—'—的括号填入适当的正整数，使等式成立，不同的填法种6（）（）数有（）A.2B.3C.4D.5

11（五）二次方程、一元二次方程【竞赛热点】1,多元二次方程（未知数的个数大于方程的个数）的解法2、构造一元二次方程求解3、求字母系数和取值范围或有关方程的根的代数式的值【知识梳理】1、换元法，将多个未知数用一个字母表示，或用配方法，利用非负性来解题2、判别式的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。bC3、韦达定理：若公~+bx+c=O（tzH0）有两根是为,x2＞则X]+.=—；X[X2=—a~a运用韦达定理，求方程中参数的值：运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。4、构造一元二次方程模型：（1）利用根的定义构造：当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根.（2）利用韦达定理逆定理构造：若问题中有形如x+y=a,xy=b的关系式时，则x、y可看作方程z?-az+力=0的两实根.（3）确定主元构造：对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程.5、解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数（设△=/）,通过穷举，逼近求解：从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解.注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与

12整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关.【试题汇编】1、（2009・第3题）已知。0人,且。2一而/-11=0,从一而6-11=0,则2+@的值是（）abA.3B.-3C.一一D.以上都不对22、（2010•第15题）已知关于x的一元二次方程炉+（2加一1）X+加2=0有两个实数根土和々.（1）求实数〃的取值范围；（2）当x；-x；=0时，求加的值.3、（2009•第11题）关于x的方程履2+（k+l）x+k=0的根都是整数，则上的值是4、（2009•第15题）已知关于x和方程一一（火+2）+2忆=0（1）求证：无论及为何值，方程总有实数根；（2）若等腰AABC的一边长。=1,另两边的长b,c恰好是这个方程的两个根，求这个三角形的周长。

135、(2008♦第3题)若/+盯+y=5,y2+xy->rx=l,则x+y=()A.-4B.3C.-4或3D.-3或46、（2007•第16题）某购物商场在“十一”黄金周间，将进价为每台3200元的彩电出售，若售价为每台4600元，则每天只能售出20台，若售价每台高于4600元，则没有人购买，若每一台售价从4600元起，每下降100元，则每天可多售出10台。（1）每台彩电售价定为多少时，该商场可获取利润64000元？（2）有没有可能获得大于64000元的利润？为什么？7、（2006•第15题）若方程尤2一伍+1）3+。-/=0有两个相等的实数根，求方程x2+2ax+b-3=0的根28、（2003•第7题）已知Jr?+尤+-；——+3=0,则/+x+2的值是（）。X'+xA.0B.1C.1或0D.不存在9、（2003•第13题）已知关于无的方程（。2-1［六）—（2a+7［六）+1=0有实数根。

14（1）求。的取值范围；rY3（2）若原方程的两个实数根为尤;x2,且一+—-=±,求。的值。Xj—1%2—11］10、（2001•第1题）1、关于X的方程3/+x+'=0没有实数根，则根的取值范围是（311,1、1A.m>—B.m<—C.m<—D.in>—444411、（2001•第10题）若方程版-2y+l|+岳M=0中x,y同号，则关于z的方程az—-（2a—l）z+a—/=0的根的情况是（）A.无实根B.有两相等实根C.有两个不等正根D.有两个不等负根

1512、（2001•第20题）以3+后和3-血为根，且二次顶系数为1的一元二次方程是13、（2001•第21题）已知方程/一41+加=0的两根为再，/，且无12-工22=8，求方程:X厂+11F—+=m一一的根。x2+1x2（六）代数式的运算【竞赛热点】1、求等式中的字母系数2,利用公式求代数式的值3、因式分解4、分式的化简求值5、代数式的恒等变形【知识梳理】（一）因式分解：1、常用的公式：平方差公式：a2-b~=（a+b\a-b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±bY；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+&+c）2；a~+b~+c~+2ab—2bc-2ca=(a+b—c)~；a~+b~+c~-2ab+2bc—2ca=(a—b—c)~；立方和(差)公式：/+〃-，=(a+9(/—qb+/?~)；

16a3-b，=(a—b^a2+ab+Z?2)；2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果:(1)ab±b±a^-l=(a±\\b±l)；(2)«/?±a+Z;-l=(a+lXZ;±l)；(3)+4=(a~+2。+-2。+2)；(4)4〃4+1=(2a~+2a+l*2a~—2a+1)；(5)a2+Z?2+c2+lab4-2bc4-2ac=(a+/?+c)2；(6)ci^-\-b^—3abc=(a+/?+c)(a~+b~+c~—ub—be—uej。(二)分式：1、分式的意义A形如一（A、8为整式），其中8中含有字母的式子叫分式。B当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。2、分式的性质（1）分式的基本性质：（其中M是不为零的整式）。（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。（3）倒数的性质：a—=l(a#O),Va--j==l(tz>0)；若。・工=1,则=1(awO,〃是整数);aylaayaJa+—N2(a>0)。a3、分式的运算八一辽…但jni4a.ba±ba,cad±bc分式的博算法则有：一±—=,-±-=:cccbdbdacacacad（aXanz口，士…、=—，一+—=—，—=一（〃是正整数）。bdbdbdbe

173、（2009•第8题）已知a-/?=4,〃b+c2+4=0,则a+b=（A.4B-2C.2D.04、（2008•第2题）2、若。为正数，且仅一1尸比2a3大，则。的取值范围是（）A.0<。<-B・0

1810、（2007•第9题）若（3x+l）4=ax4+bx3^cx2^dx-^e,则。一b+c—d+e=11、（2（X）6•第15题）已知实数x、y满足x+y=l,x2+y2=2,求/+y7的值12、（2006•第3题）已知四边形ABCD的边长分别是〃、b、c、d,且〃4+/?"+c"+d4=4〃/?cd,则此四边形是（）A.任意四边形B.正方形C.梯形D.菱形13、（2005•第4题）Z\ABC的三条边长分别是〃、b、c,且且满足。4=//+/一人2c2,bA=a4+c4-a2c2,c4=fe4+a4-a2b2,则AABC的形状是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形14、(2005•第15题)已知x,y都是实数，且xy+x+y=17,x2y+初？=66,求x4+x3y+x2y2+盯3+y4的值

1915(2003•第1题)分解因式：(a+b+c)3+(3a-28-3c)3+(2c+b-4a)3=16、(2001•第18题)18、分解因式：l+a+8-c+a8-bc-ac-a8c=.（七）二次根式

20【竞赛热点】1、对无理数的小数部分和整数部分进行代值计算2、二次根式的加减法3、已知代数式的值，求另一个代数式的值【知识梳理】1、当a20时，称。为二次根式，显然五20。2、二次根式具有如下性质：(1)(ja=a[a>0)；(3)y[ab=>[ay[b[a>0,Z?>0)；3、二次根式的运算法则如下：(1)ay/c±b>[c=(a±byJc(c>0)；(2)(Va)=(a>0)o4、设a,b,c,d,meQ,且“不是完全平方数，则当且仅当a=c,b=d时,a+h\[m=c+d4m。【试题汇编】1、(2009•第9题)x,y分别表示3-JJ的整数部分和小数部分，则4xy—V=,2、(2008•第4题)4、若4+豆，且OVxVy，则满足题意的整数时(x,y)有(A.1组B.2组C.3组D.4组3、(2007•第3题)已知而二？■一加二^=2,则二P'+JIM二彳的值为()A、3B、4C、5D、64、(2005•第10题)若百的小数部分记作机，则ni?+胆+8=5、（2003•第1题）设a为一实数,记符号团为不超过a的最大整数，如[2.31=2,符号{a}=a-[a],已知x={1+

216}y={1—V3）,则（x-y）2=。（八）函数、一次函数【竞赛热点】1、求函数值的最值或范围2、已知图象求解析式3、建立一次函数模型解决实际问题（2009、2010每年都考了大题）【知识梳理】1、利用一次函数的性质（函数的单调性）求解2、考查对一次函数图象的理解一般地，若y=kx+b（k、b是常数，k#0）,则y叫做x的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式y=b+b式中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性（y随x的变化情况）。如图所一次函奴、-兀一次力柱、且我内看"你到附联系，仕总一1、一次由奴丫=人+。部可看作是关于x、y的一个二元一次方程fcr-y+b=0；任意一个关于x、y的二元一次方程以+by+c=0,可化为形如、，=-州*-£*#0）的函数形式。坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用bb方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解山函数解析式联立的方程组。3、联系实际问题一次波函数的知识，并求最值，多以方案抉择问题为主。【试题汇编】1、（2010•第7题）某个游泳池有2个进水口和一个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间的关系如图2所示，某天早上5点到10点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3所示.蓄水量八

22在下面的论断中：①5点到6点，打开全部进水口，关闭出水口；②6点到8点，同时关闭两个进水口和一个出水口；③8点到9点，关闭两个进水口，打开出水口；④10点到11点，同时打开两个进水口和一个出水口.正确的是:A.①③B.①@C.②③D.②④2、（2010•第10题）若一次函数y=fcr+b,当一时，对应的y值为则一次函数的解析式为。3、（2010•第16题）小刚和小强在一条山西向东的公路上行走，出发时间相同，小强从A出发，小刚从A往东的B处出发，两人到达C地后都停止。设两人行走x分钟后，小强、小刚离B的距离分别为必、必(胆)，M、力与x的函数关系如图所示：(1)根据图像可得：A、C两地间的距离为m；a==(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义：(3)由于有雾，两人的距离不超过50m时才能够相互望见，求小强过了B地后至小刚到达C地前，小强可以望见小刚时x的取值范围.

234、(2009•第16题)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，到达目的地后不再前进，设慢车行驶的时间为x(/i),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图象进行以下探究：(1)甲、乙两地之间的距离为多少？(2)求慢车和快车的速度；(3)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。5、(2009)在一次远足活动中，某班分两组，第一组匀速步行由甲到乙后，原路反回，第二组也匀速步行，由甲到乙后继续前进到丙，再原路反回，两组同时出发，步行时间为/(〃)，两组距乙地的

24距离分别为S1(km),S2(km)如图中的折线表示的关系(1)甲乙相距km,乙丙相距km(2)第二组首次由甲到乙，由乙到丙的时间分别是.(3)求线段AB的关系式，并写出自变量r的取值范围。1，S(km)°4图102/（h）6、（2008•第5题）已知一1＜。＜0,则丁=。*+!（1一元）（0«*«1）的最大值是（）a1211A.-B.aC.——。D.—aaa22a7、(2008•第15题)有一批货，如果月初售出，可获利润10000元，并可将本利和再去投资，到月末获利润2.5%,如果月末售中出这批货，可获利润12000元，但要付500元保管费，请你用所学知识分析，这批货在月初还是月末售出好？8、(2003♦第1题)轴函数y=4》一3|和y=-x+6的图象围成的几何图形的面积是9、(2001•第23题)如图：在正方形ABCD中，AB=2,E是AD边上一点(E与A、D不重合),BE的垂直平分线交AB于M,交CD于N。

25(1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;(2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？A10、(2001•第24题)如图：式地上有A、B两个土墩，洼地E和河滨F,两个土壤的土方数分别是781方，1584方，洼地E需填土1025方，河滨F可填土1390方，要求挖掉两个土墩，把这些土先填平洼地E,余下的填入河滨F,(填入F的实际只有1340方)如何安排运土方案，才能使劳力最省？(提示：把土方•米作为运土花费的劳力单位)11、(2001)如图：AAOB为正三角形，点B的坐标为(2,0),过点C(-2,0)作直线L交AO于点D,交AB于点E,且使AADE与ADCO的面积相等，求直线L的解析式。

26（九）统计与概率【竞赛热点】1、统计图表2、列举法求概率3、与其他知识的整合【知识梳理】1、熟悉折线统计图、条形统计图、扇形统计图2、平方数、中位数、众数、方差等的应用。3、古典概率模型的概率。【试题汇编】1、（2010•第6题）某校初三运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋。已知该队伍有20名同学，统计表如下表：由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到。鞋码3839404142人数532下列说法中正确的是A.这组数据的中位数一定是40,众数是39B.这组数据的中位数与众数一定相等C.这组数据的平均数比39大，比40小D.以上说法都不对2、（2010•第13题）学生王芳、李聪、张涛三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票1500张，统计其中1000张选票的结果如图（方框上方数字表示得票数），则李聪在剩下的500张选票中

27只要再得票，就可确保以得票最多当选该校的学生会主席.（第2题图）3、（2010♦第14题）六个面匕分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体的表面如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标。按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内的一个点的坐标。已知小明前再次掷得的两个点能确定一条直线/，且这条直线/经过点P（4,7）,那么他第三次掷得的点也在直线/上的概率是.4、（2009•第5题）如图，图①某城市十二月份十天中最低气温天数的条形统计图；则下列说法错误的是（）A图②中0°C的条形框高度为2BC这十天最低气温的平均数是0°CD到10日的最低气温随时间变化的图象；图②是这这卜天最低气温的众数是2°C这十天最低气温的中位数是一1℃12345678910-3-2-15,（2007•第5题）如图（2）所示的正方形ACDE花园中，ABGF是正方形，AB为2米，BC为3米，则小鸟任意落下，落在阴影部分中的概率为（）

28B、C、1225D、13256、（2006•第7题）某人写了3封信，和3个信封，然后把3封信随意地装入3个信封，则至少有一封信装对了地址的概率是（）7、（2006•第11题）11、已知修，工2，七的平均数是方差是从则优|//，a3的方差是8、（2005•第12题）随意从放4个红球和1个白球的口袋中摸出一个球，再放回袋中搅匀后再摸出一个，则两次摸到的球都是红球的概率是。9、（2004•第12题）•个袋中有1个红球，1个黄球和两个小立方体，两个球除了颜色外都相同，两个立方体一个涂红，•个涂黄，除此外都相同，从袋中摸出一个球和一个立方体，摸出2个都是黄颜色的概率是。（十）等腰三角形【竞赛热点】I,等腰三角形的定义

292、等腰三角形的性质【知识梳理】（-）等腰三角形的性质1、有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等：定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形：2、定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定1、有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3,等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【试题汇编】1、（2010•第5题）如图，等腰直角三角形ABC中，NC=90°AO为NCAB的平分线，DE_LA8于E,AC=4,则ABOE的周长为A.4B,6C.40D.4拒2、（2009•第4题）在平面坐标系xoy内，已知A（3,3）,点P是x轴上的一点，则使AAOP为等腰三角形的点P共有（）

30A.2个B.3个C.4个D.5个3、（2008•第2题）如图（1）在AABC中，AB=AC,D为AC边上一点，且BD=BC=AD,则NA等于（）A、30°B、36°C、45"D、724、（2008•第7题）如图,）在AABC中，AB=AC,ZABN=ZMBC,BM=MN,贝hm/NBC=A.D.2D.15、（2008•第6题）6、在等腰三解形ABC中（AB=ACHBC）,所有一平面内，使得APAB,APAC,△PBC都是等腰三解形，则满足此条件的点有（）个A.1B.2C.4D.66、（2005•第5题）等腰三解形的一腰上的高等于该三角形一边的长度的一半，则这个三角形的顶角为（）A.30°B.30°或150°C.120°或150°D.30°或120°或150"7、（2005•第8题）如图（1）在RTZXABC中，ZBAC=90",AB=AC,D为AC的中点，AE1BD交BC于E,连结ED,若NBDE=a,则/ADB的大小是⑴EC

31a.aaD.45°——2aA.900-ttC.90°——28、（2003•第10题）在正五边形ABCDE所在平面的直线BE上能找到点P,使得APCD与4BCD的面积相等，并且4ABP为等腰三角形，这样的点P的个数是（）个A.2B.3C.4D.59、（2001•第3题）等腰三角形ABC中，顶角B为120。，AABC的面积为百,则AABC的腰长为（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm（十一）相似三角形

32【竞赛热点】1、求相似三角形中的线段的比值2、没有确定对应边的相似三角形的证明3、画辅助线证三角形相似【知识梳理】1、比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c,那么b叫做a、d的比例中项。2、平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：。〃/2〃/3。,AB_DEAB_DEBC_EF~BC~~EF，~AC~~DF，~AC~~DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。3、比例的性质：(1)基本性质：若乌=£,贝bd,、人八，，ulhacn,a+bc+d(2)合分比性质：若一=一，则=bdbd(3)等比性质：若」=」•=…，则」~?2>=_1=上=…=k(其中,年b2bnA+4+…+b“b{b2bnbt+b2+...+bn#0)4、相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角形相似5、相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例

33③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方【试题汇编】1、（2010•第12题）如图为RfAABC的硬纸片，NBAC=90°,AB=3,BC=5,AD为BC上的高，从这张硬纸片上剪下一个如图示正方形EFGH,则正方形EFGH的边长为；若把四个顶点都在248C的三边上（包括顶点）的正方形叫A4BC的内接正方形，则该七A4BC的最大内接正方形的边长是。2、（2010•第17题）如图：在平行四边形ABCD中，过点B作BE1CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点，且NBFE=/C。（1）求证：△ABFs/\EAD；（2）若AB=7,BC=5,BE=DE,DE>EC,求BF长。3、（2009•第6题）如图：AB//EF//CD,AB=20,CD=80,BC=100,则EF=(4、（2009•第17题）在矩形ABCD中,2AB—AD——a,E是AD的中点，在AB上找一点F,3

34使得AEF与BCF但似但不全等，求此时4CEF的面积。5、（2008•第14题）如图（4）,ABCD中，M、N是AB的三等分点，DM、DN分别交对角线AC于E、F,贝ijAE：EF：FC=6,（2008•第17题）如图，ZiABC中，AB=AC,D在AC上，E在AC延长线上，且NDBC=NCBE,若AD=a,AC=b,AE=c,试分析关于x的一元二次方程ax2-2bx+c=0的根的情况。7、（2008•第18题）如图（6）QD是AABC边BC的垂直平分线，P为QD上一点，BP交AC于E,CP交AB于F,NEPC=NA,点M、N分别为BE、CF中点，MN交AB于R,交AC于S。

35(1)求证：BF=CE：(2)求证：ZARS=ZASR8、（2007•第14题）如图6,ABCD是正方形，E、F分别是AB、BC中点，连结EC分别交DB、DF于点G、H,则EG：GH：HC=BB(6)FC9、（2007•第17题）如图，在RrZ\ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,AE平分NBAC,交CD于K,交BC于E,F是BC上的一点，且BF=CE。

36求证：(1)CK=BF；(2)FK/ZABo10、（2006•第4题）4,如图（1）在平行四边形ABCD中，若E为AB的中点，—,EF与AC交于点G,贝ij史=（A.5GAB.4C.3D.211、（2005•第17题）如图已知RTZXABC中，NACB=90",CDJ_AB于D,/B的平分线交CD于E,交CA于F,G是EF的中点，连CG,SACEG,ABED,△BFC的周长分别是L4,，，且CF/BF1+1I+1（1）试用含x的代数式来表示匚型；（2）求匚乜的最大值II12、(2001•第7题)如图，AB1BD,CD1BD,AD与BC相交于E,EF_LBD于F,设AB=a,BC=b,则EF=()

37a+bA.aba+bB.2D.a2+b2lab(十二)直角三角形、【竞赛热点】勾股定理［、2、3、4、利用勾股定理求线段长度利用勾股定理构造方程在全等、相似、求面积问题中的应用一些常见勾股数的考察【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理逆定理二、直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余.2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半：4,勾股定理：直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即"+户=’2.5.直角三角形两直角边人的平方和等于斜边c的平方，即/+》=。2.由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响.在4ABC中，(1)若。2=/+/，则/c=90。；(2)若/〈^+户,则nc<90°；(3)若02>/+从，则nc>90。.勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用.5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c有下面关系：J+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.6、勾股数的定义：如果三个正整数八b、一组勾股数。简单的勾股数有：3,4,5；C满足等式/+必=,2,那么这三个正整数人从C叫做5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,4L【试题汇编】1、(2009•第12题)如图一个长为5米的梯子斜靠在垂直于地面的墙匕把梯子的底端向墙堆进1

38米，恰好梯子的顶端上滑1米，那么最初梯子的顶端离地面的高度是米。（3）2、（2008•第13题）如图，等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有两点M、N,NMCN=45。，AM=5,BN=12,则MN=3、（2005•第13题）设AABC的重心为G,且GA=2a/i,GB=2&,GC=2,则AABC的面积第6题4、（2003•第1题）在4ABC中，NACB=90°,CD_LAB于D,AC=b,BC=a,CD=h,则以（a+b）、h、（c+%）为边的三角形是三角形。5、（2003•第22题）如图：AABC中，AB=2,AC=百，且A、B、D三点共线，ZA=NBC。=45°,求BC的长及ABDC的面积22题图（十三）面积问题【竞赛热点】

391、面积比一线段比一线段比的相互转化2、一个图形分成几个图形的面积之和3、面积倍分问题，利用三角形的相似比求解4、面积的函数关系式问题5、面积的最值问题【知识梳理】1、利用三角形的等底或等高将三角形的高的比或底的比转化为面积比，或反之2、要求面积，先要有直角，要将一个多边形分成几个有直角的图形3、考查面积比是相似比的平方4、利用相似构造函数，利用面积的函数关系式求最值，往往用到二次函数求最值问题。【试题汇编】1、(2010•第4题)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，4DEF的面积等于2,则此正方形ABCD的面积等于A.6B.12A.16D.202,(2006•第17题)正方形ABCD的边长为1,点M、N分别在边BC、CD±,使ACMN的周长为2,求(1)NMAN的大小(2)AAMN的面积的最小值。3、(2009•第13题)如图，AABC中，AB=2AC,P是线段BC的黄金分割点，(BP>BC),PE1AC,

40PF1AB,4、（2008•第8题）8、如图（2）△ABC的面积是8,AB=8,AE=AC,BF=BC,ZEAC=ZFBC=90°,则四边形EABF的面积为（）A.16B.20C.24D.325、（2007•第18题）如图，在4ABC中，D是BC边上的中点，G是AD（不包括A、D两点）上一动点，BG、CG的延长线分别交AC、AB于点F、E,/、八、十AEAF（1）求证：=；EBFC人ITC।C（2）设生=X,用含X的代数式表示一卬MGF,并求出它的最大值。EBSMBC6、（2006•第5题）如图（2）已知点P为平行四边形ABCD内一点，S^AB=5,S^AD=2,贝ij5“用=（）

41A.5B.4C.3D.27、（2006•第13题）如图（4）正方形ABCD的面积为1,M是AD的中点，则图中阴影部分的面积是O8、（2004•第6题）如图（2）AABC中，点D、E、F分别在三边上，AD、BE、CF交于一点G,BD=2CD,若面积5aceg=3，5acdc=4,则5MBe=（）A.24B.28C.30D.459、（2003•第6题）在如图所示的半圆中，四边形ABCD、AFGH都是正方形，记四边形AFGH、BCKH的面积分别为£$2，则与§2的大小关系是。10,（2003•第11题）在矩形ABCD的边BC、CD上有P、Q两点，使AABP,APCQ,AADQ的面积分别为4。/,6cm2,8cm2,则矩形ABCD的面积为（

42A.16B.32C.24D.6411、A.（2001•第12题）在所有斜边为1的直角三角形中，最大的面积是（）D.112、（2004•第16题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,将它沿EF折叠，使C与A重合，求：（1）折痕EF的长，（2）若将折叠后的纸片放在桌面上，则纸片覆盖桌面的面积是多少？（十四）最值问题【竞赛热点】1、利用非负性求最值2、利用函数关系求最值3、利用轴反射求最值【知识梳理】求某个量、或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值，是数学问题中的一种常见类型，又在实际生活与生产实践中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、路程最短、材料最省等，这些问题我们称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的基本知识与基本方法有：1、穷举获取；2、运用非负数的性质；3、利用不等分析逼近求解；4,使用几何公理、定理、性质等.5、利用轴反射求最值（株洲竞赛热点）解这类问题时，既要说明最值可以达到，又要证明不可能比所求的值更大（或更小），前者需构造一个恰当的例子，后者需要详细说理.

43【试题汇编】1、（2008•第6题）若x、y是正整数，且满足!一上=1-,则y的最大值是xy20A.20B.40C.380D.4002、（2006•第8题）若x、y、z是正实数，且孙z=l,则代数式（x+l）G+l）（z+l）的最小值是（）A.64B.8C.8拒D.423、（2009初二第13题）如图，在等腰即ZVIBC中，CA=CB=3,E是BC上一点,满足CE=1,P是斜边AB上一动点，则PC+PE的最小值是；4、（2007•第7题）如图（4）,在直角坐标系中，设点A（4、-5）,B（8、-3）、C（m,0）、D（0,当四边形ABCD的周长最短时，m与〃值分别为（）

447一7A,一与一—7-7——与一23C、5、（2005•第14题）如图（3）在平面直角坐标系中有四个点，A（一8,3）,B（-4,5）,C（0,”）,777D（w,0）,当四边形ABCD的周长最短时，一的值为。6,（2003•第4题）如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，AE=3,BE=1,P为AC上一点，则PB+PE的最小值是（十五）探究问题【竞赛热点】1、规律探究题

452、抽屉原理的应用3、阅读理解类型的综合问题【知识梳理】通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。•般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1、一般地，常用字母〃为正整数，从1开始。2,在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。正整数…〃一奇数…2”一3,2〃-1,2〃+1,2〃+3…偶数...2〃-2,2〃2T+2…3、熟记常用的规律正方形数：1、4、9、16......n2三角形数：1、3、6、10……〃（”+）2折痕数：1、3、7、15……2"-1正整数和：1+2+3+4+…〃=迎上122【试题汇编】1、（2010•第8题）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2012次，点P依次落在点不P2,P3,乙，…，巴32的位置，则口on的横坐标工2012=A.2012B.2011C.2010D.2009PBPiP4J_111!ACP2(P3)X2、（2009•第14题）如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）,如此下去，得图（3）……，这样得到的图案叫雪花曲线，雪花曲线有一个奇妙的性质，其边行可以无限增加，但围成的图形的面积是有限的。如图可得,第1个图有3条边,周长为3,第2个图形有12条边,周长为4,则第4个图形的周长是第»个图形的周长是.

463、（2009•第18题）若干个1与2进行如下排列：1；2,1；2,2,1；2,2,2,1；2,……，规则是第1个数是1,第2个数是2,第3个数是I,…，一般地，先写一列1,再在第左个1前插入k一1个2,1=1,2,3,…）。试问：（1）第2009个数是1还是2,其前面有多少个是1?（2）前2009个数的和是多少？（2）前2009个数两两乘积是多少？4、（2005•第18题）如图在三行七列的小方格中，如果对每个小方格涂上红、篮两种颜色中任意一种，那么至少可以划出一个矩形来，使它的四个角上的小方格涂的颜色相同

475、(2004•第18题)如图：一个粒子在第一象限内及x轴，y轴上运动，在第一分钟内，它从原点运动到(1,0),第2分钟从(1,0)到(1,1),而后它接着按图中箭头方向在与x轴，y轴平行的方向来回运动，且每分钟移动1个单位长度。(1)当粒子所在位置是(I,1),(2,2),(3,3),(4,4)时所经过的时间是多少/(2)在第2004分钟时，这个粒子所在的位置的坐标是多少？