陕西省西安市户县第四中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（文）Word版含解析

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西安市户县第四中学2022--2023学年高二第一学期期中考试数学文科试卷时间：120分钟；满分150分一、单选题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a8=2,S7=98,则a3+a9=()A.16B.14C.12D.102.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an−1，则a6等于()A.−32B.32C.−64D.643.已知ΔABC的面积为32，且AC=2,AB=3，则∠A等于()A.30∘B.30∘或150∘C.60∘D.60∘或120∘4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=2，b=7，B=120°，则a等于（）A.6B.1C.3D.35.不等式x−1x≥2的解集为（）A.[﹣1，0）B.[﹣1，+∞）C.（﹣∞，﹣1]D.（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）6.已知p：∀x∈R，2x<3x；q：∃x∈R，x3=1−x2.则下列命题中为真命题的是()A.P且qB.且qC.p或D.且7.已知实数a 、b满足ab>0，则“1a<1b成立”是“a>b成立”的()A.充要条件B.必要非充分条件C.充分非必要条件D.非充分非必要条件8.曲线与曲线的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等9.抛物线y=−4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.−1716B.−1516C.1716D.1516

110.已知双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为3x+by=0,则双曲线C的离心率为()A.102B.52C.62D.3211.设函数f(x)在x=1处可导，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)−2Δx=()A.f'(1)B.−12f'(1)C.−2f'(1)D.−f'(1)12.设函数f(x)=x−e-x，直线y=mx+n是曲线y=f(x)的切线，则m+n的最小值是()A.−1eB.1C.1−1eD.1+1e3二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.若x,y满足约束条件x+2y≥2,x-y≤2,y≤2,则z=x+y的最大值为.14.已知关于x的不等式mx2＋x＋m＋3≥0的解集为{x|－1≤x≤2}，则实数m＝.15.写出命题“若a≥0且b≥0，则ab≥0”的逆否命题：．16.若直线y=x+1和曲线y=alnx+2相切,则实数a的值为.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)已知命题p：{x|x²-8x-20≤0}，命题q：{x|1-m≤x≤1+m,m>0}，若p是q的充分不必要条件，求(1)求命题p的解集；（2）实数m的取值范围。18.(本题满分12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，b=3，∠C=2∠A．（1）求c的值；（2）求△ABC的面积．

219.(本题满分12分)求在[1,3]上的最值．20.(本题满分12分)已知an是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求an的通项公式；（2）求数列an2n的前n项和．21.(本题满分12分)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为22，过左焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆C于P,Q两点，且|PQ|=22.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若圆x2+y2=4上一点处的切线l交椭圆C于两不同点M,N，求弦长|MN|的最大值.22.(本题满分12分)已知曲线f(x)=ax+bx2lnx在点(1,f(1))处的切线是y=2x−1。（1）求实数a,b的值；（2）若f(x)≥kx2+(k−1)x对任意x∈(0,+∞)恒成立，求实数k的最大值.

3西安市户县第四中学2022--2023学年第一学期期中考试高二数学文科参考答案一、单选题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.【答案】A【解析】本题考查等差数列的前n项和公式及通项公式的应用,考查考生对基础知识的掌握情况,考查的核心素养是数学运算.设出等差数列{an}的公差,由a8=2,S7=98列出方程组并解出其首项和公差,可求得a3和a9的值,从而可得a3+a9的值,也可利用等差数列的性质求解.通解设等差数列{an}的公差为d,由a8=2,S7=98得a1+7d=2,7a1+12×7×6×d=98,解得d=-3,a1=23,所以a3=17,a9=-1,故a3+a9=16.优解由S7=7a4=98,解得a4=14,又a8=2,所以a3+a9=a4+a8=16.2.【答案】B【解析】根据an=Sn−Sn−1，可求得数列{an}的通项公式，进而求得a6的值。因为Sn=2an−1所以Sn−1=2an−1−1两式相减得an=2an−2an−1化简得anan−1=2，且a1=1所以数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列所以an=2n−1，且此时S1=a1=1所以a6=32所以选B3.【答案】D【解析】由三角形面积公式可直接求得角A的正弦值，进而求得角A的度数。根据三角形面积公式得S=12×AB×AC×sinA，代入化简得sinA=32所以A=60∘或A=120∘所以选D

44.【答案】B【解析】【解答】解：∵c=2，b=7，B=120°，∴由b2=a2+c2﹣2accosB，可得：7=a2+4+2a，整理可得：a2+2a﹣3=0，∴解得：a=1或﹣3（舍去）．故选：B．5.【答案】A【解析】【解答】解：x−1x≥2⇔x−1x−2≥0⇔−x−1x≥0⇔x+1x≤0⇔﹣1≤x＜0故选A.本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法．6.【答案】B【解析】本题考查含有量词的命题及复合命题真假判断.由20=30知p为假命题，令h(x)=x3+x2−1，则h(0)=−1<0，h(1)=1>0，∴方程x3+x2−1=0在(−1，1)内有解，∴q为真命题，故(¬p)且q为真命题.7.【答案】A【解析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.由1a−1b=b−aab，因为ab>0，所以若1a<1b成立，则b−a<0，即a>b成立，反之若a>b成立，因为ab>0，所以1a−1b=b−aab<0，即1a<1b成立，所以“1a<1b成立”是“a>b成立”的充要条件，故选A.8.【答案】C【解析】先利用椭圆的性质可分别求得两个曲线的长轴，短轴的长、焦距、离心率和准线方程，进而比较可推断出答案．由题可知曲线表示的椭圆焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为；曲线表示的椭圆焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为，所以曲线与曲线的焦距相等．故选C．

59.【答案】B【解析】由抛物线方程化标准方程为x2=−14y，再由焦半径公式PF=p2−yM=1，可求得yM。抛物线为x2=−14y，由焦半径公式PF=p2−yM=116−yM=1，得yM=−1516。选B.抛物线焦半径公式：抛物线y2=2px(p>0)，的焦半径公式PF=xP+p2。抛物线y2=−2px(p>0)，的焦半径公式PF=−xP+p2。抛物线x2=2py(p>0)，的焦半径公式PF=yP+p2。抛物线x2=2py(p>0)，的焦半径公式PF=−yP+p2。10.【答案】A【解析】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力.双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程为y=±b2x,由题意可知b2=3b,得b2=6,所以双曲线C的离心率e=ca=42+b22=102.11.【答案】B【解析】本题考查导数的定义.函数f(x)在x=1处可导，所以f'(1)=limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=−2limΔx→0f(1+Δx)−f(1)−2Δx，所以limΔx→0f(1+Δx)−f(1)−2Δx=−12f'(1).12.【答案】C【解析】本题考查导数的几何意义与最值.设切点是P(t，f(t))，由f'(x)=1+e-x，可得P点处的切线斜率k=f'(t)=1+e-t，∴P点处的切线方程为y−f(t)=f'(t)(x−t)，整理得y=(1+e-t)x−(t+1)e-t，∴m+n=(1+e-t)−(t+1)e-t=1−tet.记g(t)=1−tet，∴g'(t)=t−1et.当t<1时，g'(t)<0，g(t)单调递减；当t>1时，g'(t)>0，g(t)递增.故g(t)min=g(1)=1−1e，即m+n的最小值是1−1e.

6二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.【答案】6作出不等式组所表示的平面区域如图中△ABC及其内部,数形结合可知,当目标函数z=x+y所表示的直线经过点C(4,2)时,z取得最大值6.优解易知可行域为一个三角形区域(包括边界),且该三角形的三个顶点坐标分别为(4,2),(-2,2),(2,0),将上述三个点的坐标分别代入目标函数z=x+y,易知z的最大值为6.14.【答案】-1【解析】根据不等式解集与方程的关系，将不等式解集的边界代入方程求解即可求得参数。因为关于x的不等式mx2＋x＋m＋3≥0的解集为{x|－1≤x≤2}所以x=−1与x=2是一元二次方程mx2＋x＋m＋3=0的两个根代入可求得m=−115.【答案】若ab<0，则a<0或b<0【解析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若¬q，则¬p”，直接写出即可.因为命题“若a≥0且b≥0，则ab≥0”，所以它的逆否命题是“若ab<0，则a<0或b<0”.16.【答案】1【解析】本题考查导数的几何意义,考查的核心素养是数学运算.利用导数的几何意义求解即可.切点为(x0,y0),由y'=ax,可得ax0=1,y0=x0+1,y0=aln;x0+2,解得a=1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.【答案】(1){x|-2≤x≤10}.(2)m≥9.【解析】（1）解不等式可求得命题p的解集。（2）由p是q的充分不必要条件，可知p所表示集合是q所表示集合的真子集。（1）命题p的解集为{x|-2≤x≤10}

7(2)因为p是q的充分不必要条件，所以p所表示集合是q所表示集合的真子集所以有1−m≤−21+m≥10，解得m≥9，经检验两个不等式等号不会同时成立，所以m≥9.18.【答案】（1）10；（2）3154【解析】（1）由正弦定理及∠C=2∠A，得c=2acosA，再代入角A的余弦定理，求得c=10。（2）由角C的余弦定理求得cosC,sinC，再由面积公式S△ABC=12absinC求得面积。(1)∵∠C=2∠A，a=2，b=3，∴sinC=sin2A=2sinAcosA，∵在△ABC中，由正弦定理asinA=csinC=c2sinAcosA，∴可得c=2acosA=2a⋅b2+c2−a22bc，可得：bc2=a(b2+c2−a2)，即：3c2=2(9+c2−4)，∴解得：c=10(2)在△ABC中，由余弦定理cosC=a2+b2−c22ab=14，可得sinC=1−cos2C=154，故S△ABC=12absinC=3154解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果，判定是否符合条件，或有多解情况。19.【答案】最大值是f(3)＝－6，最小值是f(2)＝－283.【解析】求得f'x=x2+2x−8，令f'x=x2+2x−8可得函数的极值，与区间端点值的函数值比较大小即可得结果.因为fx=13x3+x2−8x，所以f'x=x2+2x−8，令f′(x)＝0，得x＝2(x＝－4舍去)，由于f(1)＝－203，f(2)＝－283，f(3)＝－6，所以f(x)在[1,3]上的最大值是f(3)＝－6，最小值是f(2)＝－283.

820.【答案】（1）an=n．（2）Sn=2−n+22n．【解析】（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得an的通项公式。（2）数列an2n可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解。（1）由题意得a22=a1a4，∴(a1+1)2=a1(a1+3)，故a1=1，所以{an}的通项公式为an=n．（2）设数列C的前n项和为Sn，则Sn=12+222+323+⋯+n2n，12Sn=122+223+324+⋯+n2n+1，两式相减得12Sn=12+(122+123+124+⋯+12n)−n2n+1=1−12n−n2n+1，所以Sn=2−n+22n．21.【答案】(1)x28+y24=1;(2)22.【解析】（Ⅰ）根据通径和离心率及椭圆中a、b、c的关系，可求得椭圆的标准方程。（Ⅱ）讨论当斜率是否存在。当斜率不存在时，易得切线方程和切点坐标，进而得到|MN|的值。当斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到m2=4(1+k2)；联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式表示出|MN|=42|k|1+k22k2+1，再用换元法及函数单调性判断|MN|的最值。（Ⅰ）由已知，设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，因为|PQ|=22，不妨设点P(−c,2)，代入椭圆方程得，c2a2+2b2=1，又因为e=ca=22，所以12+2b2=1，b=c，所以b2=4，a2=2b2=8，所以C的方程为x28+y24=1.（Ⅱ）依题意，圆上的切点不能为(0,±2)，①当直线l的斜率不存在时，其方程为x=2，此时M,N两点的坐标为(2,±2)，所以|MN|=22.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由直线l与圆相切，得|m|1+k2=2，

9即m2=4(1+k2)，设M(x1,y1),N(x2,y2)，联立y=kx+mx28+y24=1得，(2k2+1)x2+4kmx+2m2−8=0，x1+x2=−4km2k2+1,x1x2=2m2−82k2+1，所以|MN|=1+k2|x2−x1|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=1+k2(−4km2k2+1)2−4(2m2−8)2k2+1=1+k2⋅−8m2+64k2+322k2+1=42|k|1+k22k2+1所以|MN|2=32k2(1+k2)(2k2+1)2，令t=2k2+1，则t>1，k2=t−12，|MN|2=32⋅t−12⋅(1+t−12)t2=8(1−1t2)，t越大，|MN|2越大，所以|MN|2<8，即|MN|<22.综合①②知，弦长|MN|的最大值为22.22.【答案】（1）a=1,b=1；（2）1【解析】（1）求出函数的导函数，由f(1)及f'(1)求出两个参数值；（2）将不等式变式分离参数，分析不等号一侧的函数，通过求导分析函数的单调性，通过其最值确定恒成立问题中k的最值.（1）f'(x)=a+2bxlnx+bx，则f(1)=a=1，f'(1)=a+b=2⇒b=1；（2）由题x+x2lnx≥(kx+k−1)·x恒成立，即k≤2+xlnxx+1恒成立。令g(x)=2+xlnxx+1,g'(x)=(lnx+1)(x+1)−2−xlnx(x+1)2=lnx+x−1(x+1)2显然y=lnx+x−1单调递增，且有唯一零点x=1，所以g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调激增，所以g(x)min=g(1)=1，所以k≤1，故k的最大值为1.