2023年新高考数学总复习考点题型突破第52讲 双曲线（解析版）

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第52讲　双曲线1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±xa，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.学科网（北京）股份有限公司

1(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.(5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．Ø考点1双曲线的定义及应用[名师点睛]在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.[典例]　1.(2022·滨州质检)－＝4表示的曲线方程为(　　)A.－＝1(x≤－2)B.－＝1(x≥2)C.－＝1(y≤－2)D.－＝1(y≥2)答案　C解析　的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则－＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则－＝4表示的曲线方程为－＝1(y≤－2).2.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.答案　2解析　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝2.学科网（北京）股份有限公司

2[举一反三]　1.(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为，则双曲线C的实轴长为(　　)A．1B．2C．3D．6答案　B解析　由题意知，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，又离心率e＝＝，|F1F2|＝2c＝2a，所以cos∠F1PF2＝＝＝－，sin∠F1PF2＝，所以＝·a·3a·＝a2＝，所以a＝1，实轴长2a＝2.2.已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．答案　9解析　设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|＋4即|PF|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.3.(2022·广州模拟)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________.答案　24解析　由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.Ø考点2双曲线的标准方程[名师点睛]学科网（北京）股份有限公司

3求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．[典例]　1.(2021·北京)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)A．x2－＝1B.－y2＝1C．x2－＝1D.－y2＝1答案　A解析　∵e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此，双曲线的方程为x2－＝1.2.若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的标准方程是________．答案　y2－＝1解析　设双曲线的方程是y2－＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，)，所以λ＝2－＝1，故双曲线的标准方程为y2－＝1.[举一反三]　1.(2022·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D．x2－＝1答案　D学科网（北京）股份有限公司

4解析　由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1.2.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是________.答案　－y2＝1解析　法一　椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0).设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2，1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1.法二　设所求双曲线标准方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.3.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为________.答案　－＝1解析　由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.Ø考点3双曲线的几何性质[名师点睛]1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0.学科网（北京）股份有限公司

5[典例]　1.(2022·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)A.x±y＝0B.2x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝0答案　C解析　∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos60°＝，即＝，∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0.2.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.3.(2022·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)A．(1,2)B．(1,3)C．(3，＋∞)D．(2,3)学科网（北京）股份有限公司

6答案　A解析　在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝<2，又e>1，所以10)的渐近线方程为x±y＝0，则m等于(　　)A.B.－1C.D．2答案　A解析　由渐近线方程y＝±x＝±x，所以＝，则＝，即＝，m＝.2.(2022·石家庄模拟)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)A.(1，＋∞)B.(1，2)C.(1，1＋)D.(2，1＋)答案　B解析　由题意易知点F的坐标为(－c，0)，A，B，E(a，0)，因为△ABE是锐角三角形，所以·＞0，即·＝·＞0，整理得3e2＋2e＞e4，∴e(e3－3e－3＋1)＜0，∴e(e＋1)2(e－2)＜0，解得e∈(0，2)，又e＞1，∴e∈(1，2).学科网（北京）股份有限公司

73.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)A.4B.8C.16D.32答案　B解析　不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b)，则|DE|＝2b.∴S△ODE＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.当且仅当a＝b＝2时，等号成立.∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，∴C的焦距的最小值为2×4＝8.4.(多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则(　　)A.渐近线方程为y＝±xB.渐近线方程为y＝±xC.∠MAN＝60°D.∠MAN＝120°答案　BC解析　由题意可得e＝＝，设c＝2t，a＝t，t＞0，则b＝＝t，所以圆A的圆心为(t，0)，半径长为t，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，圆心A到渐近线的距离d＝＝t，所以弦长|MN|＝2＝2＝t＝b，可得△MNA是边长为b的等边三角形，即有∠MAN＝60°.故选BC.5.(2022·湖北七市(州)联考)已知双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c学科网（北京）股份有限公司

8，0)，若双曲线存在一点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________.答案　(1，1＋)解析　在△PF1F2中，由正弦定理知＝，又＝，∴＝，所以P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝.由双曲线几何性质知|PF2|＞c－a，则＞c－a，即e2－2e－1＜0，∴1＜e＜1＋.学科网（北京）股份有限公司