2023年新高考数学总复习考点题型突破第51讲 直线与椭圆的位置关系（原卷版）

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第51讲　直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.2．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0.常用结论已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)．(1)通径的长度为.(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－.(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.Ø考点1直线与椭圆的位置关系学科网（北京）股份有限公司

1[名师点睛]1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.[典例]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.[举一反三]　1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A.m>1B.m>0C.0

2(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.2.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB|＝|x1－x2|＝；②|AB|＝|y1－y2|(k≠0)＝.[典例]　1.(2022·百校联盟开学考)在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，且离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|＝，求直线l的方程．2.已知直线l与椭圆＋＝1相交于A，B两点，且线段AB的中点P(1,1)．(1)求直线l的方程；(2)求△OAB的面积．[举一反三]　学科网（北京）股份有限公司

31.(2022·济宁模拟)已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为(　　)A．3x－2y－2＝0B．3x＋2y－4＝0C．3x＋4y－5＝0D．3x－4y－1＝02.已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与E交于A，B两点，且AF1，BF2都与x轴垂直，则|AB|＝________.Ø考点3直线与椭圆的综合问题[名师点睛]1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法.2.直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝ty＋m避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋b的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.[典例]　已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.(1)求椭圆E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.[举一反三]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.学科网（北京）股份有限公司

4(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，求直线l的方程．学科网（北京）股份有限公司