2023年新高考数学总复习考点题型突破第52讲 双曲线（原卷版）

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第52讲　双曲线1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±xa，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.学科网（北京）股份有限公司

1(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.(5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．Ø考点1双曲线的定义及应用[名师点睛]在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.[典例]　1.(2022·滨州质检)－＝4表示的曲线方程为(　　)A.－＝1(x≤－2)B.－＝1(x≥2)C.－＝1(y≤－2)D.－＝1(y≥2)2.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.[举一反三]　1.(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为，则双曲线C的实轴长为(　　)A．1B．2C．3D．62.已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．3.(2022·广州模拟)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________.Ø考点2双曲线的标准方程[名师点睛]求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠学科网（北京）股份有限公司

20)，再根据条件求λ的值．[典例]　1.(2021·北京)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)A．x2－＝1B.－y2＝1C．x2－＝1D.－y2＝12.若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的标准方程是________．[举一反三]　1.(2022·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D．x2－＝12.与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是________.3.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为________.Ø考点3双曲线的几何性质[名师点睛]1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0.[典例]　学科网（北京）股份有限公司

31.(2022·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)A.x±y＝0B.2x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝02.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.3.(2022·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)A．(1,2)B．(1,3)C．(3，＋∞)D．(2,3)[举一反三]　1.(2022·济南模拟)已知双曲线－＝1(m>0)的渐近线方程为x±y＝0，则m等于(　　)A.B.－1C.D．22.(2022·石家庄模拟)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)A.(1，＋∞)B.(1，2)C.(1，1＋)D.(2，1＋)3.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)A.4B.8C.16D.324.(多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则(　　)A.渐近线方程为y＝±xB.渐近线方程为y＝±xC.∠MAN＝60°学科网（北京）股份有限公司

4D.∠MAN＝120°5.(2022·湖北七市(州)联考)已知双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________.学科网（北京）股份有限公司